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•nil II; i* :
\ J 1 O R D
bien Ibuvent il y Airvient des difputes, tant pour ce
qu’il y a de local dans l’arrangement, que lur-tout
pour ce qui regarde l’évaluation de chaque qualité
dont les dignités font compofées. Ce dernier point
n’entre pas dans le plan de cette addition. J’admettrai
donc les dignités comme déterminées , & U
s’agira de voir comment, dans chaque arrangement,
les degrés ou plutôt les défauts de Vordre, peuvent
être évalués.
D ’abord il eft clair qu’on numérote les places,
enforte qu’elles cadrent avec les numéros des dignités
; & cette convenance ou cet accord des numéros
correfpondans ou homologues, ell ce qu’on appelle
le rang. Quand tout ell arrangé , de façon que les
numéros conviennent, Vordre ell abfolu : c cil une
unité qui relie abfolument telle. Mais fi dans l’arrangement
il y a des c^iù pro quo .y alors il y a des rangs
blefles, & voilà ce qui fe calcule. Le defaut tordre
's’accroît fiiivant une double dimenfion. D ’abord il
efl plus grand en raifon du nombre des places dont
un objet ell mis en arriéré. Enfuite ce défaut s’aggrave
encore, à raifon de la dignité de l’objet qu’on
a mis en arriéré. Il eft donc en railon compolée de
la dignité & du nombre des places : mais ce n’efl
pas tout ; car on manque également en mettant un
objet de moindre dignité à la place d’un objet plus
éminent. On lui fait plus d’honneur qu’il ne lui en
convient ; & comme cela entre également dans le
compte du qui pro quo, la lomme des défauts à'ordre
en doit être augmentée. Si bien donc que pour avoir
cette fomme , il faut multiplier la dignité de chaque
objet déplacé , par le nombre des places dont il a
été avancé ou reculé , & la fomme de ces produits
fera celle des défauts, & indiquera en même tems
le degré de répréhenfibilicé du défordre.
Apres avoir trouvé cette regie , je n’ai pas manqué
<le l’appliquer à un exemple qui ne fut pas trop
prolixe. Par les principes du calcul des permutations,
on fait que quatre objets peuvent être îranfpofés ou
changer de place en vingt-quatre maniérés différentes.
J’ai donc numéroté les 4 places ; & en donnant
aux objets les dignités équidifférentes i , 2 , 3 ,4 ,
qui dans cet exemple font arbitraires, j’ai calculé
les défauts d’ordre ou les degrés de leze-rang , pour
toutes les 24 tranfpofifions pofîibles. Les voici fui-
vant Vordre des défauts.
A rrangeroens. D éta u ts. A rrangem ens. D efauts.
1 2 5 4 0 2 4 3 1 13
2 1 3 4 3 3 2 4 1 13
1 3 2 4 5 2 4 1 3 ■ s
1 2 4 3 7 3 1 4 1 ' 5
2 3 1 4 7 4 2 3 1 ■5
3 2 1 4 8 4 1 3 2 17
3 1 2 4 9 4 2 1 3 17
2 1 4 3 10 4 1 2 3 ib
1 3 4 2 11 3 4 2 1 19
1 4 3 2 12 3 4 1 2 20
2 3 4 1 12 4 3 2 1 20
j I 4 1 3 "3 4 3 1 2 21
Ces défauts font calculés d’après la regie que je
viens de donner , & qui n’a point de difficulté.
C ’efl ainfi, par exemple , que pour le dernier arrangement
on aura :
4 eft tranfpofé de 3 places, ce qui fa it. . 1 ^ = 4 • 3
3 ................. d’une place . . . . 3 — i
I ................. de 2 places . . . . 1 = 1 . 2
1 .................de 2 places . . . . _4 = 1 . 2
La fomme eft i i .
J’obferve en paffant, que dans les fix cas où le n°. 4
eft à fa place , les défauts font les mêmes que lorf-
qu’ii n’y a que trois objets j comme ces défauts
O R D font O, 5 , 5 , 7 , 8 , 9 , o n volt qu’ils font beaucoup
moins grands : la railon en eft claire ; c ’eft
que le 4 fait un grave perfonnage , & le nombre
des places eft pareillement augmenté d’une unité.
Dans le cas que je viens d’expoler , on volt que
ce ne font pas les degrés de Vordre, mais bien ceux
des défauts qui doivent être évalués. Chaque objet
doit occuper la place qui répond à fa dignité ; &
dès que cela eft , tous les rangs font obfervés &
Vordre eft abfolu , enlorte qu’alors il n’y a rien à
calculer ; car le nombre des objets & des places ne
produit tout au plus qu’une lérie ou une procellion
plus ou moins longue ou nombreule ; & il c’eft une
fülemnité , elle en peut devenir jiliis pompeufe :
mais tout cela n’en rend Vordre ni plus ni moins
grand, dès qu'il eft abl'ohi , ou qu’il n’y a point de
rang bleft'é. Mais dès qu’il y en a , il cil clair que
les déplacemens peuvent être comptés , & qu’ils
s’aggravent encore en raifon des dignités lézées par
ces déplacemens. Du refte, U y a encore d’aiures
cas où , au lieu de ce qu’on croiroit d’abord devoir
être calculé, on trouve que c’eft tout le contraire
qui doit l’être. C’eft ainfi, par exemple, que lorf-
qu’il s’agit des degrés de la vue dilHnde, ce ne font
pas ces degrés, mais les degrés de confufion qui
doivent être calculés ; car la vue ablolumeiit
dillinèle eft uniié abfolue , comme Vordre ablolii
des rangs. L ’un & l’autre a lieu par-tout où la confufion
ou le détaut d’ordre ell = o.
Mais palîons à d’autres cas où Vordre abfolu eft
unité, qui, pour les degrés intcneiirs , admet des
fractions. Ces cas font ceux où les objets qu'il faut
mettre en ordre ont leurs places alfignées , mais en-
forte que pour les remplir dignement, ils doivent
répondre en tout aux conditions attachées à chaque
place. Tel eft , par exemple, le cas d’une bibliothèque
bien rangée. Les livres s’y clafiifient d’abord
fuivant les fciences ; enluite on a égard à leur ancienneté
, au format, à la reluire , &c. Et il eft clair
que fi chaque livre laiisfait à routes ces conditions ,
il occupera fa place par tous les titres, &c la bibliothèque
fera abloUiment bien arrangée. Vordre dans
lequel elle fe trouve , fera cette unité abfolue dont
je viens de parler. Elle ne fauroit devenir plus
grande, quoiqu’elle admette des fraèlions ; & ces
fradions expriment les degrés inferieurs de Vordre,
quiaura lieu lorfqu’il y aura des exceptions à faire ,
c’ell-à-dire , lorfque les livres d’une meme claffe
ne faiisfont pas à toutes les conditions.
Obfervons cependant que , quoique cette unité
foit abfolue dans tous les cas , elle ne lailTe pas de
dépendre d’autant d’unités qu’il y a de regies l\ ob-
ferver ; & fi ces regies ne font pas d’une même
importance , ces unités ne faurolent non plus être
prifes fur une même échelle , mais fur des échelles
proportionnellement plus ou moin* grandes ; de
Ibrte qu’après qu’on a faille calcul, il faut y joindre
la rédudlon que demande la diveriifé des échelles.
Voici maintenant comment ce calcul doit être fait ;
& , pour plas de clarté , retenons l’exemple des
livres & de la bibliothèque.
Suppofonsque le nombre des livres foit = / ; , &
que chaque livre doive fatisfaire à trois conditions,
dont l’importance foit défignée par h, c. Je dis
d’abord que le produit n (ü + é-f-c) ell l’iinltc abfolue
; & fi tous les livres latisfont à ces conditions ,
chacun féparément, Vordre fera pareillement ablolii.
Enfuite je remarque qu’il y a toujours moyen d’arranger
les livres , enforte que du moins ils fatis-
faffent tous à la condition principale , qui foit a.
Suppofons donc qu’ils ne fatisfaffient pas tous aux
deux autres conditions c , mais qu’il y en ait
m qui y fatisfaftent ;
P qui ne fatisfalîent qu’à la condition b ;
O R D q qui ne fatlsfafi'ent qu’à la condition c ;
T qui ne fatisfaflèiit à aucune de ces deux conditions.
Il ell clair que Vordre né fera pas abfolu , mais
qu’il l'era d’autant plus petit, que les nombres p ,
q , r feront plus grands. O r , pour trouver ce degré
inférieur, il faut multiplier le nombre de chaque cf-
pece par la lomme des valeurs a , b , c , alfignées
aux conditions auxquelles elles latisfont, ce qui
donne m b c ) + + f +
ra ; &c la fomme de ces produits étant dlvifée par
„ b + c ) , qui marque l’unité abfolue, ou aura
, + + + 0 + •
la trachon — — — ----------------
exprime la valeur de Vordre de la bibliothèque arrangée
de la façon que nous venons de fuppofer.
S’il s’apifi'oit de calculer la valeur de Vordre qui fe
trouve dans la verfification, on procéderoit de la
meme maniéré. Dans chaque vers les places pour
les fyllabes longues & brèves font affignées, & c’eft
au pocte à arranger fon vers enforte que la condition
à l’égard de chaque place foit remplie. La langue
offre des fyllabes de trois ou quatre longueurs différentes
, au lieu que le vers n’en veut que de deux
elpeces. Et fi le poète remplit ces ])laces enforte
que fon poème foit bientôt achevé, il eft clair qu’on
trouvera fouvent pour la valeur de Vordre, non
l’unité abfolue, mais une fraélion affez petite. 11 y
a une remarque affez femblable à faire à l’égard du
nombre oratoire des périodes. Il faut que l’harmonie
qui doit s’y faire fentir foit conforme au lujet,
&L quelques membres de la période étant donnés ,
les autres en font d’autant moins arbitraires, fi on
veut que la période foit bien arrondie, Si que Vordre
ou l’arrangement des paroles Si des phrafes foit abfolu.
Il en eft de même de l’arrangement des différentes
parties d’une théorie, iorfqu’on veut que
Vordre y foit abfolu. II s’agit, dans ce cas , non feulement
d’éviter les redites, mais fur-tout de faire
enforte que tout ce qu’on établit foit précédé de ce
qui eft requis pour l’entendre, pour s’en convaincre
, & pour l’exécuter lorfqu’il s’agit de la pratique.
Tel eft, ou peu s’en faut, Vordre qui régné dans les
élcmens d’Euclide. Mais fi à cet égard on repaffe
la plupart des inftltuiions de chymie, on y trouvera
im ordre d’un degré bien inférieur ; & quand il s’agit
des écrits où Vordre eft = o , c’eft aux alchymiftes
qu’il faut s’adreffer. Le calcul, dans tous ces cas &
dans beaucoup d’autres, eft à très-peu près le même.
Tout fc réduit à évaluer les degrés d’importance des
réglés auxquelles chaque partie doit fatisfaire. J’obferve
feulement que dans les écrits théorétiques il
peut arriver que toutes les réglés concourent à
alfigner fa place à chaque énoncé. Dans ces cas les
défauts d’ordre s’évaluent fuivant les déplacemens.
Et comme chaque énoncé peut être regardé comme
d’autant plus important que fa place eft plus près
du commencement, il eft clair que fon déplacement
s’aggrave par fon degré d’importance ; & voilà ce
qui rend le calcul parfaitement femblable à celui
que nous avons donné ci-deffus pour les rangs. ®
Mais 11 fe jieut auffi que les réglés ne s’accordent
pas à affigner une même place à chaque objet, 6c
que les déplacemens puifiènt être comptés. Dans
ces fortes de cas il fe peut que l’une des réglés l’emporte
de façon qu’elle doit être ablolument obfervée.
Mais fi cela n’eft pas, & qtie chaque réglé garde fes
droits, il eft clair que , de quelque façon que l’objet
foit placé, Vordre ne fera pas abfolu , mais qu’il y
aura des défauts qu’il convient de calculer. Pour cct
effet, il faut d’abord évaluer l’importance de chaque
réglé. Ce degré doit être multiplié parla diftance
qui eft entre l’objet 6i la place que la réglé lui affi-
gne, & la fomme de tous ces produits marquera le
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degré de défaut tordre qui, fuivant l’arrangem.cnt
qu’on a fait, peut être plus ou moins confidcrable.
De là il fuit que, quand il n’y a que deux regies, on
manque le moins quand on s’en tient à celle qui ell
de plus grande importance. Quand il y en a plu-
fieurs, c’eft ordinairement à une des intermédiaires
qu’il faut s’en tenir , à moins que celle qui demande
la place la plus avancée ou la plus reculée , ne l’emporte
en importance fur la fônline des degrés d’importance
de toutes les autres. Comme dans ce
calcul, la diftance de l’objet de la place que chaque
regie lui affigne, fe prend toujours pofitivement,
de quelque côté de cette place tjue fe trouve l’objet,
cela fait qu’il n’y eft pas queftion de la continuer :
par cette raifon le calcul refte toujours numérique ,
6c le changement des fignes — n’y a pas Heu.
Cependant, les regies que je viens de donner peuvent
être d’ufage en plufieurs cas. J’ai obfervé qu’on
les fuit affez bien dans les folemnités , oîi il s’agit
d’évaluer les prétentions à tel ou tel rang , & où (es
différens titres font qu’il faut fe décider pour Pua
aux dépens des autres. Cela arrive également dans
l’arrangement d’un fyftême, d’un ouvrage théorc-
tique , où les regies de la méthode ne s’accordent
pas à alfigner une même place à quelque partie du
fyftême. Toute la difficulté qu’il y a , c’eft d’évaluer
l’importance de chaque règle. Cependant ce que je
viens d’établir , fait voir que par-tout où il n’y a
que deux regies, il fuffit de lavoir en gros quelle eft
la plus importante, parce que c’eft celle-là qu’il
faut fiiivre. Mais quand il y en a plufieurs , alors làns
doute la connoillance exaète du degré d’importance
de chacune devient plus nécell'aire, fur-tout où il faut
s’en tenir à une de celles qui alfignent une place intermédiaire.
Du refte il eft clair que fi plufieurs regies
exigent une même place , elles équivaudront à une
regie dont l’importance eft égale à la fomme de
toutes celles qui alfignent la même place.
Eclairciffons néanmoins ce que nous venons de
dire, par le cas où il n’y a que trois regies.
J .....................B ........................C ,
m n
Soient 5 , C, les places alfignées par chacune deâ
trois regies : que le degré d’importance foit pareillement
défigne par A , B ,C . Failons v;ég?.l au nombre
des places ou à l’intervalle A B ^ 6c n égal à l’intervalle
A C : foit enfin a; la diftance de l’objet de la
place A , de forte que cet endroit foit quelque part
entre A 6c C , nous aurons donc
X la diftance de l’objet de la place . . A
...............................................................................B
n — .......................................... ..... « C
6c par conléqnont le défaut d'ordre fera
y z:z A X B (^rn ~ x~) C {^n — x^.
Séparons dans cette valeur les parties variables , &
nous aurons
y zx. X A — B — C 'V' B in C rt.
D ’où l’on voit d’abord que , dès que la regie A
équivaut à la fomme des regies B C , on aura
A — B — C z x o ,6c par confequentj zx B m -\-C
c’eft-à-dire, que dans ce cas il ell indifferent laquelle
des trois places on donne à l’objet, le dét.uit
tordre fera toujours le même.
Mais fuppofons , en fécond lieu , que là regie A
l’emporte fur la fomme des deux autres, noiis.mrons
A y & ainfi ^ — 5 — C'erant une quantité
pofitive , il eft clair que le defaut d'ordre lera le
moindre poftible, en faifant .v = o , c’eft-à-dire , en
plaçant l’objet en A.
Réciproquement, fi la fécondé regie R l’emporte
fur les deux autres , la valeur A — B — C çid négative
; ce qui fait que le défordre diminue, jufqu’à
ce qu’il foit .V = rn. Faifons donc x — m -V-h^ nous
aurons, puifqvic x tombe entre B 6c C , y rx A