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i. t
riche abbaye de Kiittieva, & plulieurs feigneunes
particulières. ( Cr. )
POSSESSION, ( M U .U § . ) Voy eiXariicU M ÉDECINE
LÉGALE, dans ce Supplément.
POSSIBLES , équationspo(Jiblcs. {C a lc u l intégral?)
On appelle équations p offihles les équations différen-
tieiles qui ont des intégrales finies ou d’un ordre
moindre ; celles qui ne lont pas pojjibles s’appellent
abfurdcs. Cette impofiibilité eft dificrentc de celle
des racines imaginaires , en ce que celles-ci font exprimées
par une formule finie, & que les autres ne
font fufceptibles d’aucune exprefiion ; ce qui les fait
encore difTcrer des fonfliOns qui feroient exprimables
par une férié infinie fans l’ctre par une formule
finie, & il y a lieu de croire que les intégrales d’une
infinité d’équations différentielles poJJibUs font dans
ce cas.
Le principe général d’où on déduit cette pofiibilité,
eff que , fi une équation qui efi nulle en meme tems
& qui a la meme étendue que la propofée, cfi la différentielle
exaéle d’une fonélion d’un ordre moins élevé
d’une oïl plufieurs unités, la propofée efi pojpbl:.
Il faut donc d’abord connoître les conditions,
pour qu’une fonctionfoit une différentielle exaefe.
M. Fontaine &l M. Euler font les premiers qui
aient déterminé ces équations pour le premier ordre,,
oil les fondions font. de la forme yi d x B d y +
C d . . .T o u s deux ont déduit leur folution d’un
théorème de Leibnitz, qui efi le fécond de l’ouvrage
de M. Fontaine, l^oyei XariicU D ifférentiat
io n p a r parties , dans ce Suppl. M. Euler a depuis
déduit de fa méthode des maximum une condition
qui doit avoir lieu , pour qu’une fonélion à
deux variables , dont une des différences efi confiante
, foit une différentielle exafie. J’ai trouvé une
demonfiration direfie de ce théorème aufii-tôt qu’il
me fut communiqué, & j’ai étendu ma méthode à
des cas plus généraux & qui n’avoient pas encore
été confidérés. Je vais en donner ici une expofitioa
abrégée.
Soit F'une fonélion des variables & de leurs différences,
fi y cfi une différentielle exafie, on aura
Vz=. d B ^ A F ~ A d B ; ^ comparant terme à terme
ces deux fondions, comme je l’ai développé
dans l'art. M a x i m u m , on aura i'’ . des valeurs de
,éB dB d B d B c, . l'iT'
d l y ' " ’ differences partielles
de Vy 2^. l’équation identique ~ ~ - d ~ - ^
d ' , . = 0 S>c une équation femblabîe pour chaque
variable.
Si on veut que B = f y foit aufii une différentielle
exafie, ou aura 1 ° . par ce qui precede une équation
en différences partielles de B ; 1®. les valeurs de ces
différences en différences partielles de V : donc en
fubfiituant on aura des équations de condition en
différences partielles de V , on les trouvera de même
pour c^ u t f B ~ d B ' ; pour que V x z d ’' B nombre
des variables étant m , on aura en tout n m équations
de condition, & /z de moins s’il y a une différence
confiance.
LorfqueF=z^fi?,ona4^^ , * d x ’ dy d dx' ddy '
donnés en F ; faifant donc V d x -{■ -
1 d B J J , ^
+ i T A ‘‘ ‘ + j.
' ! ^
5 Ty‘‘ y - - \ d d y . . . on aura B par les quadratures.
Si maintenant on a F = o , & qu’on cherche fi
cette équation a une intégrale de l’ordre inférieur, on
fuppolcra d y = A d B , A étant un faétenr,&c i?
une foneVion de l’ordre inférieur égale à zéro en même
tems que F , on aura donc, par la théorie ci-defi'us,
réquation A ^ d A -A-d^ __ = o & une
équation femblabîe pour chaque variable, d’oii en
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éliminant A , on déduira les conditions chercheesj
Faifant enfiiite A ' A B ‘ = d A B , o n aura de nouvelles
équations de condition fans B , d’où éliminant
.<4 ', on aura les équations pour que B ~ o foit/q/l
Jible , & ainfi de fuite jufqu’à ce qu’on parvienne k
l’intégrale finie. La propofée a une intégrale com-
plette , lorfque ces équatjons font identiques ou ont
lieu en meme tems que F = 1 0 , parce que la condition
de 0 lorfque Kefi nul, fuit de la nature
de la quefiion , quoiqu’elle ne paroifie pas entrer
dans la recherche des équations de condition. Dans
tout autre cas , la propofée peut avoir une intégrale
incompleite qui feroit une équation qui auroit lieu
en mème tems que F = z o & les équations de condition.
Le nombre des équations de condition efi:
ici égal pour chaque intégration au nombre de variables
diminué de l’unité, s’il n’y a point de différence
confiante , & de deux unités s’il y en a une.
MM. Euler & Fontaine ont donné chacun une méthode
differente pour trouver les équations de condition
, des équations différentielles du premier ordre.
Celle du premier confifie à regarder -i- A d x - \ - S
d y = c?comme la différentielle exafie de ^ F x , y ,
ce qui donne l’équation de condition 4^-f- ~
- A Sc — B ; Aonc &ci
on voit que cette méthode fuppofe que -F A d x
-F B dy — o o u V — 0. M, Fontaine regarde d x - { -
^ + C ^ comme une différentielle exafie , é c
par la comparaifon des trois équations de condition j
il parvient à une équation divifible par C.
On trouvera un plus grand détail fur cette matière
dans nos E j ja is d ’analyfe^Atins les Mémoires de Turin,
tome I F , dans ceu.x de Paris, année 1770.
^ On trouvera les équations de condition pour l’intégralité
des fondions , Si des équations aux différences
finies, par les mêmes principes que ci-deflùs
Si par les procédés développés a V a n . M a x i m u m
Voyez les Mémoires de l'académie, ^oux l’année 1770.
On voir en général pour ces équations comme
pour celles aux différences infiniment petites , que
fl aucune différentielle n’eft fuppofée confiante , le
nombre des conditions efi pour chaque intégration
égal au nombre des variables pour les fondions Si
pour les équations ce nombre diminué de l’unité ;
Si fl une différentielle efi confiante , il y aura à chaque
intégration une condition de moins. Il fuit de-là
que lorlque la propofée efi entre deux variables,
elle efi toujours poJfibU dans l’hypoihefe d’une
différence confiante ; cette pofiibilité fignifie feulement
qu’il y a toujours une différentielle exaéle
qui a lieu enmême tems que la propofée. Mais cette
fonétion cft-elle toujours la différence d’une fonélion
finie des variables ? les articles Q u a d r a t u r
e s , In t é g r a l Si D i f f é r e n c e s f in i e s , vers la
fin , dans cq S uppl.
On pourroit trouver pour les équations aux différences
partielles, dans toutes les hypothefes Si
pour toutes les claffes d’équations , des équations
de condition, d’après les mêmes princi[ies que
ci - delTus ; mais je ne m’arrêterai point ici à
cette recherche , Si je me contenterai de donner
un moyen plus fimple, une équation quelle que foit
étant donnée , de voir fi elle efi po(Jible. Soit cette
équation entre i , X i , y \ , &c. je mets v/-F^au lieu
de XI, Si E _ + y au lieu dey' ' y A ^ B font ici des
confiantes indéterminées. Je fuppofe enfuite que
l’ou ait ^ = <Ï-F ^ X -F ‘ j + e x i + c « .vy/ -F ciiy- 2...
+ P x m ^ p i X ’n - i y ^ p i y x ’’' - ^ y l . . . - \ . p i i - . . ’n - t
y ...........
Jefnbfiituc cette valeur dans la propofée, fi I»
propolcc efi pojjible , alors cette fubfiitiition l’efi
aufii j il reficra autant de coéffiçiens indéterminés
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qu’il doit y avoir d’arbitraires dans l’intégral'e: ainfi,
par exemple, 1®. dans les équations aux différences
ordinaires, le nombre de ces coéfficiens fera toujours
finij 2®- dans les équations aux différences
partielles, il y anfît autant de coéfficiens indéterminés
dans chaque rang de la férié que de fondions arbitraires
dans l’intégrale ; ce qui donne le moyen de
juger, une équation étant donnée, de la généralité &
de la forme delà folution qu’elle admet; 3®. dans
les équations aux différences partielles à quatre variables
, & à trois difîërences où il peut y avoir des
fondions arbitraires de plufieurs variables, alors
ayant fait, fi les quatre variables font { , x » ,y 'i, u i ,
ati = A A - x > y ^ = .B -A-y y = C-f- « , la fubfiitution
comme ci-deffus, il y aura autant de ces
fondions arbitraires que dans chaque rang de la
férié ordonnée par rapport à u , de rangs de termes
en X , & y dont tous les coéfiîciensfoienr arbitraires;
4®. pour les équations aux différences finies, les
coéfficiens arbitraires feront des fondions de eA
{^Foyei Variicle DIFFÉRENCES FIMES,
S u p p l. ) ; mais fi l’équation efi aux différences finies
& infiniment petites en meme tems , il faudra faire
entrer dans la férié qu’on fubfiitue , des coéfficiens
F ef^y au lieu de coéfficiens confians, & félon le
nombre qui en refiera arbitraire, ou feulement égal
à des confiantes arbitraires, on jugera de la forme
de l’intégrale , &c. (0)
POSTPOSITION, Tact, des G r e c s .)
La po ß p o ß tio n chez les Grecs confifioit à placer
l’infanterie légère à la queue de la phalange. Foye^
P h a l a n g e . (^ F .)
POSTUME (M arcus Ca s sius ) , H iß . Rom.
fut le premier des trente tyrans qui fe rendirent in-
dépendans dans les provinces particulières de l’empire
dont ils avoient le gouvernement. La réputation
de fes talens & de fes vertus lui mérita la faveur de
Valerien qui lui confia l’éducation de fon petit-fils
Salomine. Le jeune prince , pour fe former dans le
grand art de gouverner, fut envoyé dans les Gaules
avec Poßume , qui fut chargé de l’inllruire de la
fcience de la guerre & de la politique. II s’acquitta
de ce devoir avec une exalfitude qui lui mérita tous
les fuffrages. Sa modefiie mit un nouveau prix à fes
talens. Il attribuoit au jeune prince toute la gloire
des fucccs, & jamais les Gaules ne furent plus à
couvert des incurfions de l’étranger. L’habitude de
commander le rendit feiifible aux promeffes de l’ambition.
On le fbupçonna d’avoir fait afiaffiner Salomine
par la foldatcfque , dont il avoit excité le mécontentement.
Cet injufte foupçon n’affeéla que les
envieux de fa gloire , & fut démenti par la pureté
de les meeurs , & par la modération qu’il conferva
dans fa plus grande profpéritc, U efi plus vraifem-
blable que les légions des Gaules, mécontentes de
Valerien & de Galien fon fils , punirent Salomine
d’être formé de leur fang. Ce jeune prince prépara
lui-même fa ruine , apres fes vléloires fur les Allemands.
Scs foldats étoient revenus chargés de butin ;
il eut l’inipriulencc de vouloir fe les approprier, &
préféra les confcils de fes flatteurs à ceux de P o ß um e ,
qui fît des efforts inutiles pour réprimer cette avarice.
Les légions, indignées de ce qu’on leur enlevoit
des dépouilles achetées au prix de leur fang, le niaf-
facrcrem , & proclamèrent empereur, en
i ô i . Ce choix tut applaudi de tous les peuples de la
Gaule. La tranquillité & l’abondance fcmblerent
renaître dans les provinces; la dlfcipline reprit une
iiouvolle vigueur dans les armées. Les Germains ,
accoutume;; à finre des incurfions dans les Gaules ,
lurent renerrésdans leurs anciennes jioffefiions; &C
chaque fois qu’ils rcnouvellercm leurs hofiilités, ils
en furent juinis par de langlantes défaites. Galien,
gui lui impiuoit en public le meurtre de ion fils,
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quoîqu’en fecret il l’en crût innocent, arma toutes
les forces de l’empire pour le précipiter du trône ;
mais P o p iim e , fécondé des Gaulois, dont U faifoit
la félicité , gagna autant de viéloires qu’il livra de
combats. Les foldats, qui avoient été les artifans de
fa fortune , crurent qu’à la faveur de ce bienfait ils
pouvoient tout enfreindre avec impunité. P o jlum t
réprima leur licence. Il s’éleva beaucoup de mecon-
tens. Lolius , qui tenoit le fécond rang dans les
Gaules, aigrit encore leur reffentiment : il excita une
fédition, & ce prince bienfaifant fut affaffiné par les
foldats q ui, fept ans auparavant, l’avoient proclamé
empereur. Son fils le jeune, qu’il avoit
créé céfar & augufte, fut maffacrc avec lui. Ce jeune
prince avoit fait de fi grands progrès dans l’éloquence
, que plufieurs de fes harangues furent confondues
avec celles de Quintllien. La critique la
plus exaûe n’a pu les diftinguer. ( T ~ n . )
POTENCÉE , adj. {erme de B la fo n .) fe dit d’une
croix dont les extrémités repréfentent une double
potence. Foyc^ p l . I F , fig. iCc} & t S y de Bla fon ,
D i c l, raif. des Sciences , &c.
Rubat de Thuilliere , d'Efclès, de Monfesar , en
Breffe ; d'azur à une cro ix potencle d'or. {G . D . L . T . )
§ POTERIE , (^ Artsm éc /i.) Ce font en général
les terres glaifes ou argilles avec lefquelles on fabrique
toutes \qspoteries, à caul'e de la propriété qu’ont
ces fortes de terres de fe laiffer pétrir, & de pouvoir
prendre toutes fortes de formes lorfqu’elles font
crues , & d’acquérir enfuite beaucoup de folidité &
de dureté par l’aélion du feu. Mais il y a à cet égard
de grandes différences entre les argilles ; les unes, ce
font les plus pures, rcfiftent à la plus grande violence
du feu , fans recevoir d’autre changement que
de fe durcir jufqu’à un certain point, mais cependant
trop peu pour avoir la plus grande compacité & la
plus grande dureté. Les autres, expofées à la grande
violence du feu , y prennent une dureté comparable
à celle des cailloux ,Ôe une fi grande dcnfitc , qu’elles
paroiffentlifies& brillant es dans leur frafture comme
les bonnes porcelaines. Ces argilles refifient malgré
cela au plus grand feu fans fe fondre : elles doivent
ces propriétés à des matières fondantes , telles que
du fable , de la craie , du gyps ou de la terre ferru-
gineufe , qui y font contenues en trop petite quantité
pour procurer une fufion complette de la terre ,
& feulement en proportion convenable pour lui
faire prendre un commencement de fufion : d'autres
argilles enfin commencent par fe durcir à un feu médiocre
, & le fondent enfuite entièrement à un feu
fort. Il efi aifé de fentir que ces dernieres font celles
qui contiennent la plus grande quaniité des matières
fondantes dont nous venons de parler.
On doit conclure des propriétés de ces trois ef-
peces principales d’argilles , qu’on peut en faire ,
ians avoir recours à aucun mélange , trois efpeces
principales de poteries ; favoir, avec la premiere ,
des pots ou creufets qui refifieront au plus grand feu
fans fe fondre , qui leront capables de contenir en
fufion des métaux , & même des verres durs qui n’entrent
point dans un flux trop liquide; mais q u e ,
faute (le compacité fuffifante, ils ne pourront contenir
pendant long-tems en fufion les fubfiances très-
fufibles , telles que le nitre, le verre de plomb , les
verres dans lefquels il entre beaucoup d’arfénic, S’c-..
que ces matières les pénétreront & pafi'eront à travers
leurs pores. Ces terres font employées avec
fucccs pour faire les pots ou grands creulcts dont
on le fert dans les verreries où l’on fait des verres
durs, tel que le verre commun des bouteilles à vin
autres.
Avec les terres de la fécondé efpece on peut faire
& bn fait, dans prefque tous les pays , des creulcts
autres po te r ie s , qu’on appelle coniQiunénientdu