1 i
2 4 -j. A
n — parce qu’iilors l’cquation de l’ordre m dont
les tbii6tioi>s arbitraires ont etc éliminées, fera une
intégrale qui ayant etc cüflcrentiée un nombre n — m
tic fois. produira la propolce.
Il pourra y avoir clans rinîcgrale finie un
nombre • de fonctions tranfcenclantes
l'ormees lesunesdesautrescomme celles qui entrent
dans les intégrales des équations aux difîcrc'nccs ordinaires,
Si toutes celles de ces fonctions qui ne le-
ront j)as une fontfion logarithmique, ajoutée aune
fonélion arbitraire çA,c>\\ une fonction qui entre
dans A lans fc trouver dans d A ou c l a n s p o u r r a
être éliminée après 9^, Si on en aura une valeur qui
ne contiendra pas 9 A. Il y a aufii des cas oh il peut
difparoître un nombre indéfini de tranfcendanies ; foi t
en ertèt par exemple 9 A une fonction arbitraire, l’in-
légrale pourra contenir V A ' q- V A '' q- V " A " \
Sic.-\-oA.A \ A " , A '" , Sic. étant des fonctions algébriques
du A V"^ &c. des fondions dont
les dili'crences font algébriques. En effet, il elt aifé de
voir que dans ce cas routes les tranfcenclantes contenues
d.ms C'. tte fonction, doivent s’éliminer en meme
îems que 9 A. Il y aura des formules femblables dont
les tranfcenüantes clifjjaroitront avec les arbitraires,
mais })ar un ’plus grand nombre de différentiations.
5'^. Si on a une fonction 9 A que la comparaifon
de deux équations ait fait clil'paroître , les coéfHcicns
dos variabios i^ourront erre dans l’intégrale des fonctions
de ^ ^ données par des équations
différentielles indéfinies entre ces fondions &
A ^ ç, A , Sic. Mais comme ç>.A eft tout ce
cu’on veut, on peut toujours regarder ces cocfficiens
comme des fondions algébriques de A (p A ,
&c. l’ordre des différences de 9 ^ étant indéfini. CeS
fondions ne difparoifi'ent que parce qu’on a toujours
J_z_A_____(\jA__
d. i dA '
Chacune des fondions arbitraires qui entrent dans
la pro[>ofée peut ocre fuppofée s’évanouir après
toutes les autres, à moins que la fondion qui dif-
paroîc par la comparaifon de deu.'-: équations, ne foit
de la forme -^1— , > ou d’une forme femblabie,
parce qu’alors on peut ajouter à 9 .<4 une
fondion A ' , pourvu que d A ' d A '■ S>id A '-
=2d A % Sic. équations plus étendues que A =. A '.
6°. Lorfqu’on a une intégrale de la propofee, on
peut toujours s’affurer fi clic efi complerte ou non ;
en effet, faifant difparoître les arbitraires ou fonctions
arbitraires qui s’y trouvent, par des différentiations
fucccffives, enforte qu’on foie fur que l'inîé-.
grale de l'équation ainfi produite n’en contient pas
d’autres que celles qui fe trouvent dans l’intégrale
donnée ; on mettra dans celle-ci pour d'' { & fes différences
, leurs valeurs tirées de ia p ropofee, & l’intégrale
ne fera completîe que lorfque tout fe détruira
après cette lubffitution.
7”. Si on a quatre variables H u n e
équation entre ces variables qui contienne des différences
premières de 2, prîtes par rapport à x , à y
bc<à n , il efi clair que fi Z " 0, ell l’intégrale de
cette équation, écque Z contienne une fonclion arbitraire
de A Si B que j’appelle p, d Z contiendra
, d A d B,d Z conciendra \ d A-\.—'‘ d.B. d A ’ ‘ du ’ dA ' dB ’
& d ' Z , ^ d V:? -P tl ' A ; donc à l’aide de Z = o,
des trois équations d Z — n d Z z= n, d 'Z = u , on
peut faire évanouir une de ces fonclions. Le refie fe
trouvera par analogie comme pour les autres équations
ci-defiiis. voy. Mim. de Cacad. lyyo & '772.
La folution generale des cqiiationsaux différences
partiellis renfermant par la nature des fonctions ar-
P A R
bitraîrcs des variables, demande pour être appliquée
à des problèmes déterminés tels que ceux de la nature
, qu’on ait une méthode aufii générale de déterminer
la valeur de ces fonclions arbitraires, pour
que l’intégrale trouvée par le calcul, donne l’équation
du problème particulier.
Je n’entrerai point ici dans le détail de cette méthode
, ]C me contenterai de faire Icntir par un
exemple comment dans tous les cas on peut rappeller
cette détermination à l’intégration d’une équation,
partie aux différences finies, partie aux différences
infiniment petites, ou feulement d’une équation
aux différences finies.
Soit une équation en a;,y, qui contienne deux
fonélions Z Si Z 'd e deux fonctions déterminées
A Si B de X { , je fuppofe que faifant a j’aie
y égale à une fonction donnée de .v, j’aurai A 6c B
égaux à des fondions de a-, & une équation en Z ,
Z ' & ,v. Je fuppofe enfuite que ^ & que )’aie,y
égale à une autre fondion de x , fubfiitiiant dans la
propofée A Si B leront d’autres fondions de .v que
j’appelle A ' Si B 61 Z , Z ^ feront Z i Z ‘ , Z i
étant compofé de A ' comme Z l’efi de , & Z ' , de
B ' comme Z ' de i? ; j’aurai donc une nouvelle équation
en .V, Z ,& Z '. Je Ihppofe que dans cette équation
qui doit être identique, jc mette à ia place de a-,
il cil clair que l’équation aura encore lieu;
je détermine ^ par la condition que A " B " étant ce
que devient A ' , B ' en mettant pour a-, a A "
— A , par conlcquent Z — Z éliminant donc Z à
l’aide des deux équations, j'en aurai une en x Z ' Si
Z',^, Z ',, étant une fonélion compofee de B" comme
Z ' efi comjiofée de B.
Je fuppofe enfuite que Z Z ' A Z ' , d’ohje
tire B " =z B B ; donc ciimmant a- des deux
équations en Z ' & a , en i î -j- a 6c a- , j’en aurai
une en A & Ci R , & une en Z ' A Z ' 6c a-, ou A ,
cl’oîi éliminant A ou j’aurai une équation en Z ' ,
A Z ' a -l Z intégrant cette équation, elle contiendra
a ', quantité dont la différence finie eft confiante.
L’équation en B S l^ B contiendra la même variable
dans fon intégrale ; donc éliminant x j’aurai Z ‘ en
R ;d o n c , &c.
Par la même raifon, fi j’avois 9 . v - } - — 9 a —
=: b, S i- -1- ^ay-y- - , foit A ay = 7^,Si A^—
% a y, j’aurai 1^. p i ~ <p i = b , Si faifant 9 ^
— Z a Z — b , Z x x ^ Pc. , F défignant
une fonélion arbitraire alTujettie aux conditions qui
ont été développées dans VanicU D ifféren’CES
FINIES.
L’équation • = c devient après la même
fubfiiluticn---- ;------ = Cn, dont l’intéaralc eft -----
: x c x ' - \ - F ' c ‘’ ^‘ -, éliminant x' , j’aurai Z en Si
par confequenr la maniéré dont i entre dans 9
Si toutes les fonclions font algébriques, les éliminations
dont je viens de parler feront polTibles immédiatement,
6c l’on aura i’équalion définitive en Z ,
A Z , A A Z. Mais fi elles ne font pas algébriques, il
faudra diilcrcntier par rapport aux différences infiniment
])ctites. Alors l’équation definitive contiendra
de plus d Z , d A i , Sic. Si fera aux différences finies
6c infiniment petites. Voye{_ca article.
Nous obferverons ici que les fonélions arbitraires
des variables ne font pas aflujctries par elles-mêmes
h la loi de la cominuilé,c’eft-à-dirc, .'i être f'ernblable-
ment formées de leur fondlion génératrice pour
toutes les valeurs des variables , mais feulement à
ce qu’elles difparoifi'ent toujours des équations; en-
fortc que foit i^une de ces fonclions, il faut au moment
oh elle deviendroi: F ', que d “ F=. d" F ', ou
P A
A".F” , fi c’efi^ï'" i^ou A” A", que îa comparaifon
des "différentielles a fait difparoître; ce qui
afliijettit ces fonctions non h la continuité analytique
, mais à une continuité réelle ou de defeription.
Voyez les Mémoires de l’académie , année ‘ypi. {o')
p a r t ie s , differ entier par parties. {Calcul intégral.)
ündifférentie ]nir parties lorfqu’ayant une fonction
de A,7 , par exemple, on la différentie en regardant
a , 7 comme conllans 6c { comme variable,
ou A-, I comme confions Si y comme variable.
Si on appelle V cette fondlion, on en exprime la
différence prife cn ne faifant varier quc7 par ^^£^7,
& la même différence prife en ne faifant varier que
^par — (î'ç, enforte que îa différence totale
dF , ^ dV J X d V ,
Leibnitz a employé le premier ces differences par
p.irties y 6c a démontré que la différence de V fonction
de -V , 7 , prife deux fois d’abord par rapport à a
6c enfuite par rapport à 7 , efi la meme chofe que la
différence de V, prife d’abord par rapport à 7
Si enfuite par rapport à a , ou que d .~ — d
dy d .V
En effet, foit V ce que devient ^en y faifant a =;
A -{-dx, V " ce que devient la même fondlion en
îà\.(dxnxy—y-\-dy. Si V " ce qu’elle devient après
les deux fubfiiîutions , o n a— d x =: V ' — V, ^
d y = V " — V ; donc en faifant varier 7 dans la
premiere fonction, en a
d ^ i X
— o f f - dy = r " ' - ^ + r , & par la même
raifon
dy d y
- d x ^ V ' " - l ' ” ■ V V-^ Jonc &c.
donc fi A d X -f B dy = d Vz.
a A xz </ .ï ’ B — d y d y d~ -V ' ce q“ui efi le ihcorenie
de M. Fontaine pour les équations de condition.
Voyei Vart. POSSIBLE, Suppl.
Si on différentie V deux fois par rapport à a , en
divifant toujours par <^a , on écrira^— ; fi on tliffé-
rentie par rapport à d x , puis par rapport à dy, en
divifant toujours par a & 1/7, on écrira / enfin
fi V contient, outre a 6C7, la différence dy. S i qu’on
ne différentie V qu’en faifant varier dy, on écrira
d dy, 5c ainfi de fuite, (a)
P A R T in O N , f. f, pl. {terrue de Blafon.) Il y a
quatre partitions ; le parti, \e coupé, le tranché Si le
taillé.
Le p.arti divife l’écu en deux également par une
ligne perpendiculaire.
Le coupé, par une ligne horizontale.
Le tranché, par une ligne diagonale à droite.
Et le t.iillé, par une ligne diagonale à gauche.
Parti 6c partitions viennent du verbe partir, divi-
fer en parts, cn portions égales. ( G. D . L. T. )
_§ Pa r t it io n , Il y a des cas où l’on
joint dans une partie féparce d’autres parties en partU
non partielle , pour la commodité des exécutans.
Dans les parties vocales , on note ordinairement
la bafi'e continue en partition avec chaque partie récitante
, foit pour éviter an chanteur la peine de
compter les paufes en fuivant la bafi'e, foit pour
quil fe puiffe accompagner lui-même cn répétant
ou récitant la partie. Les deux parties d’un duo
chantant fe notent en partition dans chaque partie
féparce, afin que chaque chanteur ayant fous les
yeux' tout le dialogue, cn laififfe mieux l’efprit,
& s accoi de plus aUcment avec fa contre-partie.
V A 245
3^, Dans les parties infirumentales, on a foin pour
les récitatifs obligés, de noter toujours la partie chantante
en partition avec celle de l’infirumcnt, afin que
dans ces alternatives de chant non meiuré 6: de
lymphonie mefurée, le fymphonille prenne jufie le
lems des ritournelles fans enjamber & fans retarder.
(■ O
PASEWALK, {Geos^r.) ville d’Allemagne, dans
le cercle de haute-Saxe, Si dans la Poméranié
Brandebourgeoife fur la riviere d’ücker. Elle eft du
nombre de celles que l’on appelle immédiates d<.ns le
pa ys, c’efi-à-dire, que ne faifant partie d’aucun
bailhage', elle reffortit directement du prince. La
riviere dont elle eft baignée 6c qui va tomber dans
le Frifchhaff, lui procure un afiéz bon conimorce de
denrées, & fait écouler avec facilité les ouvrages en
fer qui fe travaillent à fes portes. Eüc efi peuplée de
luthériens Si de réformés Vallons. Dans Ia*guerre
de 30 ans elle fut fort rnaîtrailée. {^D. G-)
PASPALÜM, [. rn, {Botan.') M. Linné nomme
ainfi un genre de plante graminée, dont les fleurs
font à trois étamines Si deux fiyles à fiigmates en
houppe, & contenues chacune dars un calice de
deux balles rondes , avec une corolle de même grandeur.
Linn. triand. dig. Les efpeces de ce gi\.iiien font
étrangères. ( )
I-’ASSAGE, {Mujîquc.) On entendoit ci-devant
par le n\oipalJage,^ une fuite de figures muficales qui
n’étoient ni des tirades, ni des circuli. Voyc^ ces
mots {Mujîque) Supplément. On appeiloir encore
paffage un compolé de circuli, de tirades & de ƒ -
gurez bombilantes ; ce cpii revient à ce qu’on entend
aujourd’hui par ce mot. (A’. D . C.)
V KSS.KQB.fur le foleil, ( A (Iron.) Les planètes inférieures
, mercure Si venus , iorfqu’elles paffent pré-
cilémententre le foleil Si la terre, formem un phénomène
trcs-remarquable Si très-important pour
l’afironomie.
Averrhoes crut avoir apperçu mercure fur le
foleil, mais Aüategnius 6c Copernic ne penloient
pas qu'il fut fi alfe de les voir à la vue fimple fur
le foleil, 6c ils avoient raifon. KépLrciut auffiavoir
apperçu mercure fur le foleil à la vue fimple ; mais
il reconnut enfuite que ce ne pouvoit être qu’une
tache du foleil ; il s’en trouve en eft'et d’alî'ez groffes
pour qu’on puiffe les entrevoir fans lunette. Galilée
alîuroic cn avoir vu 6c les avoir montrés à d’autres à
la vue fimple , 6c nous en citerons des exemples au
mot T a c h e. Mais à l’égard de mercure qui n’a que
douze " de diamètre , il efi impolîîble qu’on l'ait
jamais apperçue fur le foleil; c’cll tout ce que l’on
pouvoit faire, en 1761 , C[ue d’y appercevoir venus
qui avoit fè" de diamètre, je n’oferois même alTu-
rer qu'on l'ait apperçue fans lunettes.
Kepler fut le premier qui en 1617, après avoir
drefi'c lur les oblervaiions de Tycho fes tables Ru-
dolphines , ola marquer les teins oii vénus 6c mercure
paiîeroient devant le lolell ; il annonça même
un paffage de mercure pour 163 1 , & deux pafages
de venus, l’un pour 1631, & l’autre pour 176 1 ,
dans un avertiflenient aux afironomes, public à Leip-
fick en 1619.
Kepler n’avoit pas pu donner à fes tables un degré
de perfeétion affez grand , pour annoncer d’une maniéré
exaéle Si infaillible ces phénomènes qui tiennent
i\ dos quantités fort petites 6c fort difficiles à bien
déterminer; le pafage qu'il annonçoit 'pour 1651
n’eut pas lieu; 6c Gafi'cncii qui s’y croît rendu fort
attentifà Paris ne l’avoit point apperçu ; mais aiiiîi
il y eut cn 1639 P'-ff‘i^'^ ée vénus que Kepler
n’avoit point annonce & qui fut obfervé en Angleterre.
Kepler mourut en 1631, quelques jours avant
le pajfage de venus qu’il avoir annoncé pour 163 i ;