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7 8 : S E R
iiianiere quelconque, on aura a-^ b x x a; . . .
X a " '" 4- " A.-. . . . = + ^ = o r , nous
avons (an. DlFFÉRENCESFINÏES,5 ?//7»/.)2 /a'"n-ji>
- x = S t {a ^ " X ) i n ~ l^ a + b X
+ A + B , & c .
Si ail lieu de cela on a a " ' n 6c b "' " données par
ties fondions 6c « , Sc en a ‘ ^ ~ ‘ &c. en
nombre fini, on aura encore faifant/a"^" -{-b'"'‘ x =
<i>, 4» par une équation aux differences finies entre
S i n.
On pourroit meme fe difipenfer de cette tranf-
formation en logarithmes, confervant en effet le
numérateur & le denominateur, & appellant 4> la
valeur du produit de n — i termes , on auroit
^ - ; ce qui fe réduit immédiatement
à des équations aux différences finies, & fi on
vouloit les avoir en /erûs, on auroit ( cidelîus
ik ŸartîcU D i f f é r e n c e s FiNiES, Suppl.)
J + i r r + 7 7 ^ + r T ï 7î >
:= o , équation qui relie à refoudre en férus. On volt
donc que la fomxnation indéfinie de cette efpece de
férics dépend encore du calcul des différences finies.
Si on cherche comment une équation en y S i x a
pu donner pour J cette valeur en produits infinis,
on trouvera que , foit fait y = o, ceite/rWr doit être
le produit de toutes les racines de ce que devient
alors cene équation en .v Scy. Il fuit de-Ià que dans
J’érat aduel de J’analyfe il n’y a que quelques cas
particuliers où l’on ait le moyen d’avoir ces produits,
de maniéré que chaque terme foit fous une forme
finie. Voyezîes Inftituiionsdc M, Euler,déjà citées.
La troifieme forme de fériés eff celle par les fractions
continues. Voyei cet ankle dans ce Suppl.
Si l’on cherche à réduire en fraétlon continue une
fonélion donnée par une équation, on fera d’abord
_y = b , on cherchera fonélion donnée fous la forme
a - \ -b x - \ - c x -+ e x ^ .... ( « ) x ” . . . . & on aura
^ »-,5..........^{n)xn................
enfuitc au lieu de c jc- -EcatX ., . &c. on prendra
f ____■ >, $C ainfi de fuite.
Maintenant je dois examiner le rapport qu'il y a
entre la forme du terme général d'uneJérie Sc la fonction
génératrice.
J®. Si le terme général eff pour un terme n de la
forme (/z^'-Eæ/î e A ff-(a' )
La forme génératrice fera une férié dont le dénominateur
fera i — f X i — + i & c.
& le numérateur dépendra des premiers termes de
la férié en nombre fini.
1®. Si le terme générai eff, l’appellant (/z)]pour un
terme n , donné par une équation
'11’^ (^n) an — \ m (^n — i) -^ b n ~ (^r^~^),.„
4 -u ‘ 1 '" - ! (n — i) + ^’ («—2)«- 1 (/z-i)... = o
la fonction génératrice fera la valeur de y tirée de
l’équation A = A y + ^ 1+ i C l z , Ü l o
OU I a x -\-b x -SCq. P = .a '- \ - b ' x-\ - c ' S ic .
& ainfi de fuite.
Ainfi, toutes les fois que l’équation en jy & a: fera
algébrique , la Jérie fera de cette forme ; mais il n’eft
pas vrai réciproquement que tant que le terme fera
de cette forme la Jérie iera algébrique.
Ainfi, il reftera ces deux queflions à examiner;
1°. fi le terme général d’une fonction étant donné,
il eff fiifiieptible de cette forme.
S E R
Si cette forme convient à une fonélion algébrique
, qn pourroit prendre encore pour les racines
des équations algébriques cette forme du terme oé-
néral, c’ eft que l’on doit avoir “
{ n ) ->[■ A { n — i ) B (^n — i ) . , ,
-\-A' ( /î ) ^ 4“ -5 ^ ( «— i)^ ........
4 - ^ î ( r z ) ( ’" ) ..............= o.
les A étant fans n , cette équation eff linéaire &
A , B donnent le coefficient de y dans l’équation
en a; & j (_y eff la fomme ). Les &c. font les
cücfficicns des puiflances clc x dans le coefficient de
les A B les coëfficiens des puilTances de .v dans
le terme eny''(;i)i",(/t) - 6cc. défignentle coefficient
de -V'’ dansy^yK
Maisjufqu’ici on n’a point de méthode générale de
diftinguer, le terme général étant donné par une
équation, fi on peut le rappeller à cette forme.
Voyez les Infihuiions de M. Euler, & le premier
volume de l'académie de Marine qui contient fur cette
matière un favant mémoire de M. le chevalier de
Marguerie.
D i la reJuclion des fonctions indéterminées en
fériés. Soit réquailon jy — .r 4- O -v = o ; <t a: défî-
gnant une fondion quelconque de x , & que je cherche
une valeur de 'i' x , autre fonéfion de x eny,
j’aurai par le théorème de M. d’Alembert,
-f-Ar=z>Fy4- —^ < P at4- 4. .v ^ 4. & c.
par le même théorème
<i> a; = 4> J 4- 4> AT 4- 0 x 2 4 - &c.
donc faifant 4>Arz=4)y'4--5,5 = i' y ^ C, St
ainfi de fuite; j’ai, en ordonnant par rapport aux
puilTances de ‘Vy oc de fes différences,
^ x = ^ y + - ■ +&C*
6d^ <l’ I
3. 4^y‘^ 2.
- & C .
2. 3 • 2. 3.4‘^y ‘ 2 - 3 - 4 - 5 - ‘‘ y^
fubftituant donc ces valeurs dans celle de 'f-x,on
aura, en ordonnant par rapport aux puiflances de
■ Ÿy , 6c "f^y 6c de leurs différences >
l'y y •j.y^d^ J '^ > '3 y s 'F jy
d y ^ id y - ■ ^2.3 dy^
à i'y d-i'y . 2. d. ^ y , d^'l'y
dy dy 2. 3 dy J y
a» (p ^ 3 d'i'y
" * T p 7 I 7 ]T
-F AT = 4- ■î’
Sc réduifant
'i' X zx: 'i 'y 4 ~ ^ £itZ-4- d'f'y , d '
dy
î a't-v
& C .
^dy 2.3 dy^
formule dont la loi eff facile à faifir.
Cette formule eff due à M. de la Grange.
On voit que fi * contient y , en regardant Ies_y
contenus dans ^ comme conftans dans la fonéfion
ci-delTus, on aura également la valeur de 'F x.
Si même on a y = ƒ* 4-
I = f ' 4- 4’ '
x = P"-\-<i"
les étant des fondions de x , y,i^, Sc d’une quatrième
quantité , P' 6c P " étant des fonéfjons de P
6c qu’on veuille avoir 'î^Ar,y', ^ en R, il eff clair qu’on
aura par l’article précédent 'i' x ,y , i , en ■ i' P , P' P-',
& tp, 4'' 4>; mais on aura en'*-P, P J P " , & 4, ‘ 4 “ , & ainfi des deux autres , le premier terme de
ces valeurs étant fans 4 , 4‘ ou " ; donc fubftituant
perpétuellement les valeurs de ces fondions & ordonnant
par rapport aux puiflances de -i* P P ' P
on aura*F a: ,y , { en P.
Ce théojême peut être d’un grand ufage dans les
S E R
folutions approchées des équations différentielles,
puiiqu’il donne en fériés telles valeurs qu’on veut,
fans avoir befoin d’élimination. _
N o u s a v o n s fait dans c e t a r ticle Si clans 'Cankle
D if f é r c n c f : s f i n i e s , é'«/’/’ /. tro p d’ u lag e du th é o r
èm e de M. d’A lem b e r t , p o u r ne le pas d ém on tre r
ic i.
Soit 4.V, & que je cherche la valeur de 4.r H-A at
en férié ordonnée par rapport il A .v, j’ai 4 ,v4- x = 4 -v 4-<r A a: + ^ A at2 4- c A X t &c. maintenant il eff
.aile de voir que fi je differenrie ia Jérie précédente
par rapport à a x , que je la divil'e par d ù.x 6c que
je fafl'e cnfiiite a .v = o , la J'érk fe réduit à a ; donc
H — ~ 1 lorfqiic o = Jorfque
A at = o = -^ ^ , de meme b eff égal à la J'érk diffé-
rentiée deux fois par rapport à ^ .r, i/ a étant regardé
comme confiant plus divifée par i d S x'-, lorf-
qu’on y fait A X = O ; d o n c f :=— lorfque
A.r = o ; donc b — il en fera de même des
autres termes, (o)
S E PMA h ICOMAGl/S , ( Géogr, anc, ^ La table
Theodoflenne décrit un chemin romain qui fe deta-
choit près d’Aunai en Poitou (^v4iZ'o;?rtc«/,’2) , de la
grande voie de Bordeaux à t o u r s , 6c paflanr par
AîigufQvkum,\Jwnooii% conduifoit à Augujh-
Tumctiiîti, Clermont en Auvergne. II commençoit
par Aurai 6c Sennamcoma^ns : c’eff Chermez , fitué
entre deux petites rivieres, au nord-oiieff de Manffe,
éleélion d’Angoulcmc. Ce lieu , affez confidérable,
eff compofe de 200 feux. Le nom Serrnanicomagus
a diT être abrégé dans le moyen âge, comme la plupart
des noms anciens. Sermagus a de l’analoo'iç avec
le nom moderne Chcnnei ; Sc ce qui affure cette
pofition, dit M. 1 abbe B e lley, c’eff que la voie
lomaine pafToit a Chermez , comme on le voit dans
une charte de Bernard, abbé de Nanteuil en An^ou-
m03S, de l’an i i y i j A Defe:^ ufque ad v'tain quee
diciiur la chaucada. Ce heu de Défens eff très-voilin
de Chermez , comme Salas, Salles , Juliacnm , Juil-
ie i, lieux nommés dans la charte. Ün fait qu’on
donnoit aux anciens chemins romains qui étoient
élevés , le nom de calciaia, calcelu , d’où eff venu
le pom de chauffée , de cauchie, dans les provinces
qui font en-deçà de la Loire ; & dans celles qui font
au inidi de cette riviere , oii la langue romaine a été
moins altérée , de a formé chaucada, eau.,
fada, d’où dérivent les noms des lieux de chaußade,
cauffade , placés ordinairement fur d’anciennes
voies.
A treize lieues de Sermanicomagus étoit fltué Caßi.
qmeff Chaflenon, bourg de l’Angoumdis,
du diqcefe de Limoges, où l’on trouve tous les jours
quantité de médailles des empereurs, depuis Au-
guffe jufqu’à Conftantin. On y v o it, dans le lieu
rominé Lonjas , un vaffe fouterrain conilriiit de
briques Si de pierres de taille, dont un des murs a 73 8 pieds de long 6c 7 d’épais. AVy. lesMém. de l'acad.
dcsinfcripc. torn. X X X l l , édit, in.,2 , lyyo. ( C. )
SERRÉ, adj. (^Mußq. des anc.) Les intervalles
Jenes dans les genres épais de la mufique grecque,
font le premier 6c le fécond de chaque tétracorde.
oyci E p a i s , ÇMufq.) Dictionnaire raifonné des
Sciences , Sec. { S )
SERRURERIE, (^Arts méch.) Nous devons
rivernr ici que cet important article fe trouve dans
^‘'ppié'^nnt qui eff â la fin du tome X F i l du
dJidionn. raif des Sciences, 6cc.
^SERVIUS-TULLüS , {Hiß. Bom.) monta fur le
tione de Rome après I.1 mort de Tarquin l’Ancien,
n avûit encore rien fait qui pût lui niériler ce
S E S 783 rang, Sc la tache de Ton origine fcmbloit devoir
l’en exclure. Il étoit fils d’une femme cfclave qui,
par la fouplellcde Ion efprit, s’infiruta dans la faveur
de Tanaquil , époiife de Tarquin. Cette princefle
bienfaifante donna à l’enfant de i'a favorite une éducation
qui fut comme le préfage de fa grandeur fu-
tuie. Taïquin, charme de la vivacité de Ton cfpric
& d c la douceur de foncaraaere, lui donna fa fi^Ie
en mariage ; & ce rut cette alliance qui lui fraya le
chemin au pouvoir fuprème. Le prince, en mourant
le nomma tuteur de fes enfans. La fagefiè de fa
régence prouva qu’il étoit véritablement digne de
commander. Le poids des impôts fut adouci, & le
droit de propriété fut refpeflé. L’abondance ou'ii fit
régner bannit le fpeclacle de la pauvreté. 11 acquitta
de fes propres deniers les dettes des pauvres infol-
vables. Cette générofité toucha le peuple qui voulut
l’avoir pour roi. Le fénat qui, jufqu’alors, lui avoit
marqué beaucoup d’oppofition, réunit la voix à cebe
de la multitude dont il redouioit la fureur. Dès qu’il
fut revêtu de la puiflâncc fouveraine, il s’occupa du
foin de répartir les impôts avec égalité; & , oour
y réuflir, il fit un dénombrement des citoyens, qui
lui fit connoître les rcffbtirces de l’érar, Sc ic trouva
plus de quatre-vingt-dix mille chefs de famille. Une
fi prodigieiife population ne lui parut pas encore
luffifame pour être redoutable au-dvhors ; c’^-ff pour-
Cjuoi les affranchis furent gratifiés du droit dv bour-
geoifle.^ Après avoir rétabli la lûreté fur les routes
qui étoient infeffées de brigands, il forma le deffein
de former une puiffance fédérative de tous les états
d’Italie dont Rome devoir être le centre. Ce fût pour
en fayorifer rexécuiion qu’il fit bâtir en l’ho.nncu-
de Diane un temple fur le mont Aventin , où les
dùférentes villes 6c provinces devoiem envoyer
leurs députés pour y expofer leurs prétentions
avant d’en venir aux hoffilités. Cet ctablifiement
pacifique allarma fes voifins ; les Tarquiniens,
les Véiens 6c les Tofeans prirent les armes, ôc
commencèrent une guerre où ils perdirent quarante
mille hommes. Leur faute fut fuivie d’un
prompt repentir : ils implorèrent la clémence du
vainqueur qui eut la générofité de leur pardonner.
Dès que le calme fut rétabli, il orna Rome d'édifices
magnifiques ; il en étendit l’enccinie , en renfermant
dans fes murailles les monts Quirinal &
yiminal qui en étoient léparés. avoir deiix
filles qu’il maria aux deux fils de Tarquin l’Ancien.
Cette union réparoît J’injiiffice faite à ces deux
jM-tnees qu’il avoir écartés du trône. L’aince , qui
étoit d’un caraélerc altier Sc féroce, époufa Lucius-
Tarquin, aufTi méchant qu’elle. Ces deux époux ,
également ambitieux ck corrompus , ne i)urenr attendre
la mort d’un roi décrépit pour recueillir fon
héritage. Tarquin fit aflémbler le fenat, où il accuia
Serviiis d’être rufurpateur d'un tiône que lui feul
.avoit droit d’occuper. Le roi fc rendit au fenat, où
fon gendre, fans refpeéler fa vicillefie, le faifu par
le corps, 6c le prccijfita du haut de l’efcalier en bas.
II tâche de regagner fon palais , Sc dans le même
moment il eff environné d’all'aflins qui le percent de
leur poignard. 1 uliie , inffruiie d’un parricide qui
clevoit fon mari fur le trône , s’eniprefTa de l’aücr
féliciter. Son charriot fut contraint de paffer dans la
rue où fon pere étoit étendu. Au lieu de fe détourner,
elle ordonna à l'on cocher de pafl'er fur le cadavre
, dont les os furent brÙés par les chevaux Sc
le charriot. Il fut affaffiné l’an de Rojue deux cent
vingf-iin. ( T —A'.)
SÉSAC, {Hijt. d'Egypte.) Ce roi d’Egypte fut
un prince dont le nom iercit reffo dans l’oubli, s'il
n’eût été configné dans les annales des Juifs. Le li-
lence des bifforiens profanes eff une preuve qu'il
n’eut ni de grands vices ni de grandes vertus. Les
l i 'r' '
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