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880 T A
par M.Clairaut, & clans fa D ip r ta t io n qui a remporte
le prix de l’académie de Touloufe, dans les ouvrages
de MM. Maclaurin, Clairaut &: d’Alembert, cités
dans le D i& . r a if d is Scitnets., &c. Torn. , p . y 6 i ,
plufieurs hypothefes relatives principaléinent aux
profondes recherches de ces géomètres fur la denfitc
des parties intérieures de la terre.
M. Klingenftierna a publié des formules pour
trouver les degrés de latitude de longitude, &c.
au moyen de deux degrés de latitude connus , dans
les Mémoires de S u e d e , /y44. Ce mémoire intcrel-
fant efl accompagné de plufieurs remarques dans la
traduélion allemande.
M. de la Condamine n’a point donné à e cables du
degré dans fon ouvrage Mefure des trois premiers degrés,
mais voici une remarque qui lui appartient. Si df efl
le dégré fitué fous l’équateur & À le degré au pole,
l’applatilTement eft exprimé en vertu du théorème
de Newton, i , par : o r , M. de la Conda-
inine trouve qu’en fubftituant dans cette formule les
degrés mefurés en France & au Pérou, Tapplatifle-
ment ell mais qu’il eft 7-i-;, fi on fublHtue le
dégré du nord & celui du Pérou. Cette remarque
paroît confirmer que la terre n’a pas une figure régulièrement
elliptique.
M. de la Lande, par différentes confidératlons fur
les degrés mefurés, a tait voir dans les Mémoires de
l'a ca d . ly S x , qu’on pourroit prendre t|t pour l’ap-
platilïement ; mais en fuppolant le méridien elliptique
& en ne confidéram que les degrés du nord &
du Pérou , il trouve 7^.
Le pere Bofcovich a déterminé par une méthode
fort élégante l’ellipticité ou l’applatiffement de plus
de dix maniérés, en comparant les degrés mefurés,
dans fon ouvrage D e expediiione lïtteraria. Le favant
tradudfeur de cet ouvrage a appliqué la même méthode
aux degrés mefurés depuis la publication de
l’original, ce qui a augmenté le nombre des réful-
tats. L’auteur avoic aufli trouvé plufieurs autres
ellipticités conclues par deux hypothefes différentes,
des alongemens obfervés du pendule à fécondés.
Nous remarquerons avec lui que le dégré mefuré
en Italie, s’accorde allez bien avec la fécondé hy-
pothefe de M. Bouguer, au lieu que la mefure de
M. de la Caille la renverfe. Enfin, nous conclurons
aufii avec le pere Bofcovich, que la figure de la
terre n’cft rien moins que déterminée.
Üne méthode de trouver le diamètre de la terre
que nous devons cependant indiquer, comme eff
celle du doéteur Letherland, expofée dans les E le ments
o f navigation ^ de M. Robertfon , ce font les
formules dont M. Maskelyne s’eff fervi dans les
Tranf, p h ilo f. ly S S . On trouvera auffi dans l’ouvrage
fuedois de M. Mallet, n ° . ; /, un réfumé affez complet
de toutes les déterminations relatives à cette
matière, & plufieurs nouvelles ellipticités.
13. M. l’abbé de la Grive, dans fon Manu e l de
Trigonométrie ( livre devenu rare, que j’ai cite quelquefois
, & que les foins obügeans de M. de la Lande
m’ont procuré) donne deux fuites de tables ; l’une
de tables igyéon peut regarder comme fubfidiaires,
l’autre de tables relatives direétement au fujet qui
nous occupe.
Premiere fu ittL i . Hautement du n iv e a i apparent au-
dejfus du vrai. ( Voyc:^fecl. IF^ n ° . 12.)
L’auteur a calculé ce hauffement en toifes, pieds,
pouces, lignes & points pour chaque 50« toife de
diftance de l’oeil à l’objet, depuis 50 jufqu’à 1300, &
chaque lootoifesde plus jiifqu’à 6000, & il a inter-
pofé auffi dans cette table les haulTemens pour les
diffances 6 0 ,7 0 , 80, 90, 1 10 , 140, 160 . . . 580.
Il femble par ce qu’il dit, pag. 63 & 64 , qu’il s’efi:
fervi de la regie qui exprime le hauffement par le
T A B
quarre de la diffance divifé par le diamètre de la
terre , qu’il a fiippol'é ce diamètre de 6 millions 540
toifes, & qu’il a fait ufage , pour ne pas calculer
tous les nombres , de la propriété par laquelle les
hauflémens du niveau font entr’eux comme les qiiar-
rés des difiances. Mais M. L. D. L. G. expofe aufU
deux autres méthodes plus exaéles , $C préférables
quand on cherche le hauffement pour de plus grandes
diffances.
2, Table pour la réducllon des arigles au centre.
Cette celle que je crois avoir citée au/z“. <5
de la fe c lion I F . Quand on ne peut pas placer le
quart de cercle au centre du lieu où l’on obfervc ,
l’angle obfervé entre deux objets/n & n peut être
ou plus grand ou plus petit que s’il éîoit pris au
centre , ou il peut lui être égal liiivant les différentes
fituations de celui qui opéré. L’obfervateur peut
avoir à l’égard de ce centre & des objets trois pofi-
tionsdifférentes ; ou ileff dans la direélion môme
d’un des objets, par exemple, de wz; 2°. ou il eff:
dans une direction intermédiaire , c’eff-à-dire, que
la ligne du centre à l’obfervateur étant prolongée ,
paffe entre les objets; 3°. ou enfin il eff dans une
direction oblique , de forte que cette ligne paf-
feroit du centre en-dehors des deux objets. Dans
le premier cas , & fi l’obfervateur eff entre le centre
& l’objet vz, pour avoir l’angle au centre, il faut
Oter de l’angle obfervé l’angle m formé par les lignes
qui vont de l’objet m au centre & à l’oeil de l’ob-
fervateur ; il faiulroit au contraire ajouter m , fi
l’obfervateiir elt plus éloigné de l’objet que ne l’eff:
le centre. Dans le fécond cas, il faut ôter ou ajouter
du même angle obfervé, la fommedes angles w & rr.
Dans le troifieme cas, on ajoute à l’angle obfervé
celui des deux angles m ou n qui eff du coté de l’ob-
fervateiir , & on retranche l’autre. I! eff clair que
les angles m & /z fe déterminent facilement par la
trigonométrie reéliligne, & ce font ces angles qu’on
trouve dans la table étendue dont il s’agit pour chaque
cinquième dégré de l’angle au centre, ou plutôt
de l’angle obfervé pour les diffances de i , x , jufqu’à
12 pieds de Tobfervateur au centre, & pour les
diffances de 100 en 100 toifes , depuis 100 jufqu’à
16000,dont l’objet eff éloigne du centre. Quand la
diftance d’un objet au centre eff de 16000 toifes,
que l’oeil de l’obfervateur eff éloigné du centre &:
de 12 pieds, le plus grand angle de correéHon, celui
qui a lieu quand l’angle au centre eff de 90‘•j n’eff
plus que de 24", mais il eff de i ** 8^45", quand
l’objet n’eff diffant du centre que de 100 toifes ôc
que l’obfervateur en eff éloigné de 12 pieds. Quand
les diffances furpaffent les plus grandes qui Ibienc
adoptées dans la ta b le , on peut y fiippléer en conff-
derant que les angles m S e n diminuent dans la même
proportion que les diffances des objets //z Ôc /z au
centre augmentent àz v icev erfd.
Différences entre Les logarithmes des p roduits par
les J in u s & les logarithmes des produits p a r Us nombres,
4. Reiranchemens à fa ir e a u x logarithmes des produits
p ar Us f i n u s , 6* Us logarithmes des produits p ar Us
nombres.
5. Reiranchemens à fa ir e a u x logarithmes des differences
entre d eu x j in a s , dont l 'u n f a i t partie de L'autre.
6 . Reiranchemens à fa ir e a u x angles p r is entre d eu x
objets., dont l'u n e f au p la n de l'obfervateur 6' l'autre
p lu s élevé ou p lu s abaiffé.
7. A d d itio n s à fa ir e a u x angles pris entre d eux objets
également élevés au-deffus du p la n de Cobfervateur ou
également abaijjés.
Toutes ces cinq font relatives à un même
objet, c’eft pourquoi je les ai indiquées de fuite,
& on remarquera d’abord que la quatrième ou n ° . 6'^
eff analogue à celle de M. Caffini de Thiiry,clans le
M ém. de L'acad. /yj b) mais elle eff plus étendue.
Les
n H-f'’' 'i '1
I l W t j ! ’ i
Lî i r H
T A B
Les angles pris entre des objets placés fur le plan
de celui qui obferve , ne font pas conformes à ceux
qui feroient pris entre des objets plus élevés ou
plus abaiffés, conime il ell facile de s’en convaincre ;
les hauteurs & abailTemens des objets pouvant
avoir différens rapports , foit entr’eux, foit avec
robfervaieur, il en réfulie des principes de correction
différens qu’on peut réduire à quatre cas. ^
I®, Si les deux objets font également élevés ou
abaiffés, il faudra ajouter à l’angle obfervé pour
avoir l’angle réduit au plan de l’oblervateur.
2®. Si l’un des objets étant fur le môme plan que
l’obfervateur, l’autre fe trouve au-deffus ou au-
deffous, on retranchera de l’angle oblervé pour
avoir l’angle réduit au plan.
3®. SU’un des objets ell au-deffus du plan & 1 autre
aii-deffous, ilfaut encore retrancher de l’angle obfervé
pour avoir l’angle au plan.
4®. Si les deux objets font au-deffus ou tous deux
au-deffous du plan , mais d’une hauteur ou d’un
abaiffement inégal, alors l’angle au plan pourra être
égal à I’obfervc. Il pourra auffi être ou plus grand
ou plus petit.
Dans le premier cas , on fait cette analogie. Le
co fn iis de la hauteur égale des objets obfervés , exprimés
p a r l'angle entre U fommet & labafe , e f au rayon comme
le fin u s de la moitié de l 'a n f .t obfervé entre U s .d eu x obje
t s e/i au fin u s de la moitié de l'angle réduit. C ’eff fur
cette analogie & pour en épargner le calcul, qu’ eft
conftruite la table n ° . 7 , pour chaque hauteur des
objets de 10 en 10 minutes, depuis 10 ' julqu’à 7"^,
& pour tous les angles obfervés de 5 en 5 dégrés,
depuis 4 & 5 jufqu’à 95«*. La correélion va julqu’à
56' 36 " pour l’angle entre les objets de 9 5 6c celui
de leur hauteur de 7^.
Dans le fécond cas, on fait la proportion fuivante.
L e cofinus de la hauteur de l'objet qui efi au-deffus du
p la n , efi au f in u s to tal comme le cofinus de L'angle obfe
r v é efi au cofinus de L'angle réduit. Elle a fervi pour
le calcul de la fixieme table qui fuppofe la hauteur
de l’objet de 1 ^ jufqu’à 4<* de 10 en 10 minutes , &
la valeur de l’angle obfervé de x 30', 5 7^* 30',
& ainfi de fuite jufqu’à 90«*. On y trouve même
auffi les correffions qui répondent à chaque dégré
de l’angle obfervé »depuis i^jufqu’à 8 La correction
eff nulle quand cet angle eff de 90^ , mais elle
eff nulle auffi dans plufieurs autres cas, c’eft-à-dire,
toutes les fois que l’angle de la hauteur de l’objet
eff égal à l’angle entre les objets; cela fait qu’on
trouve dans la ta b le , pour les angles de une cor-
reftion nulle d’abord à côté de la plus grande cor-
reffion qui foit dans la table ; favoir, x<i 51 ' xi " ,
pour l’angle entre les objets de 4^* ôc la hauteur de
l ’objet élevé de 3 50'.
Pour le troifieme cas, foit e l’élévation de l’un
des objets, a l’abaiffement de l’autre, c la fomme
de ces deux quantités, d leur différence ; qu’on con-
lidere que la ligne qui joint les objets , traverfe l’horizon
ou le plan de l’obfervateur dans un certain
point ôc qu’on nomme f l’angle à l’obfervateur entre
ce point & l’objet élevé , & a l’angle entre le même
point 8c l’objet abaiffé. Cela pofé, la folution du
problème eff contenue dans l’analogie fuivante.
Comme la fomme c efi à la différence d , a in fi la tangente
de la moitié de la fomme des d eu x angles j & a.
(^quiprïs enfembUjont égaux à l'angle obfervé j à la
tangente de la moitié de leur différence. Mais pour former
cette analogie , la difficulté eff de connoître le
jufte rapport de la fomme c avec fa partie e , & avec
la différence d qui eff entre la hauteur 8c I abaiffement,
vu que toutes ces quantités font données en
arcs de cercle ; car de ce que la fomme c eff com-
poféededeux parties, favoir, «que nous fuppo-
ferons d’un dégré ou de 60 minutes ou parties, 6c a
Tom i IF»
T a b 883
que nous fiippoferons de 30 minutes ou parties, il
ne faut pas conclure qu’en rapportant a &L e k une
meme ligne, la fomme c puiflé être regardée comme
le finus de i ^ 30'; elle eff toujours plus grande;
On doit donc comparer ces grandeurs l’une à
l’autre, non comme des finus, mais comme des
grandeurs contenant chacune un certain nombre de
parties égales ( ce nombre fera celui des minutes
que contient chaque grandeur ) , & comme dansles
angles très-aigus, tels que font ceux des abaiffemens
ou des hauteurs qui vont rarement à deux degrés, le
finus de óo' peut être réputé donner une longueur
double de celle que donne le finus de 30 la fomme
c peut dans la pratique être reg.irdce comme com-
püfée de trois parties égales à a , 6c l’analogie ci-
deflus fera dans cet exemple. Comme la fomme c (90)
efi a la différence d (30) , ain fi La tangente d e là moitié
de L'angle obfervé eff à la tangente de la moitié de la.
différence qui eff entre les angles « & a. Ces deux angles
étant connus, on les réduira chacun féparément
au pian , au moyen des analogies précédentes ou
des tables (T 7 , & M. l'abbé de la Grive confeille
de s’en tenir à celte méthode dans la pratique.
Cependant comme les quantités a , «qu’on de-
vroit employer font proportionnelles proprement
aux finus des petits arcs, par lefquelles on les exprime
, & non à ces arcs même, l’auteur, pour ne
pas laiffer à defirer des principes plus exaffs, indique
la maniéré de reftifier cette méthode , & voilà
ce qui l’a conduit à la conffruâion des ta bles^, 4 & 3 .
On fait que les finus qui s’alongent à mel'ure que
les angles grandiffent, n’augmentent pas avec égalité
6i par gradation arithmétique. Le finus de x'* n’eff
pas double du finus de i & le finus de 3 ** n’eft pas
le triple. S i, par exemple , le finus de i ^ donne 300
parties, le finus de x*^ n’en donnera pas 6oo ; il
n’aura pour logarithme que X778085X, au lieu que
le logarithme de 600 eff 27781513 ; la différence
entre ces deux logarithmes eff 66t. Si le finus de
donne 300 , celui de 3 ne donnera pas 900. Le logarithme
du finus de 3 par 300 ou du produit, fera
feulement de X4540Ó62, tandis que le logarithme
de 900 cft 14542425 ; la différence entre ces deux
logarithmes eff 1 7 6 3 , 6c l’auteur fait voir par des
exemples, que les réfultats pour les différences des
logarithmes feroient les mêmes, fi on prenoit pour
le finus de i ^ quelqu’autre valeur que 300, comme
800, ou 400 ou 500.
Si au contraire de ce qui vient d’être fappofé , le
finus de x'* donne 300, le finus de i donnera plus
que la moitié 1 50 , fon logarithme excédera de 6 6 1
celui du nombre 150. Si donc du grand finus x'* on
conclut au petit il faudra retrancher 661 du logarithme
du produit de 300 par finus pour avoir
la jufte moitié de 300, 6c au contraire fi du petit
finus 1*=^ on conclut au grand 1'^, on ajoutera 661
au logarithme du produit, pour avoir jufte le double
de 300.
D ’un côté donc,quelque valeur que l’on donne
aux finus , le réfultat des différences eff toujours le
même, de 1 à x ** qui eff le double, ou de l à i
qui eff la moitié. Il eff encore le même de i'* à3
que de 3 i , 6c le même de 30' à l'^que i ‘*à 30’.
Mais d’on autre côté, fi l’on compare le finus de x
avec le finus de 1 ^ qui eff fa moitié, ou avec le finus
de 40' qui n’en font que le tiers, ou avec le finus de
30' qui n’en font que le quart, les différences 661 ,
783 , 81.7 entre les logarithmes ne font pas les
mêmes, elles varient fuivant les difparltés des angles
que l’on compare, 6c c’eft ce qui a donné lieu à la
troifieme table où toutes ces différences font indiquées.
Elle eff calculée pour tous les angles des
hauteurs de 5 en 5 minutes, depuis 5' jufqu’à 3^* 25
6clés angles des abaiffemens, que l’on peutcompare?
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