i) ’ ^ f ^ 4 8 P A S
’ 1 3;
Pour calculer les phafes d’un pa£"age de mercure
& de venus vu du centre de la terre, lorl-
eju’on connaît l’heure de la conjonâion en B , jh^.
3 4 , pl. d'Afbon. SuppL 6c la latitude pour ce teins-
lii, le procédé ell le ineme que pour les cclipres
de lune. On cherche le mouvement horaire rcladt
lur l'orbite coinpol'ée , rinclinailbn de l’orbire relative
, égal à l’angle M N C ; la plus courte dillance
CM , eft le côté B M qui, converti en teins, donne
le milieu du p^lfagc en M. Dans le triangle C M H^
on connoît C H égal au demi-diainetre du foleil, fi
l’on veut avoir l’entrée du centre de venus, égal à
la Tomme ou à la difFcrence des demi-dianietres de
foleil & de venus , fi l'on veut avoir un contact
extérieur ou intérieur avec la plus courte diliance
C A f, on trouvera le côté M H : le cems corrcl'pon-
danr fera la demi-durée du qui fera trouver
rentrée 6c la l'ortie , ou le commencement 6c la hn.
L’inégalité du mouvement de mercure doit aulîi
entrer dans le calcul, fi l’on veut être alluré du ré-
fiiltat, à quelques l'econdes prés , dans te p^ijl'cige de
1756 , le mouvementhéliücentrique de mercure fur
fon orbite relative, dans la premiere demi-durée du
p-t{f<!gi ctoit de 34' z i " 18'"; 6c dans la leconde
demi-durée, il ctoit de 34' z6" «jy'", c’efi-à dire plus
grand, en teins égal, de 4" 89'". La moitié de cette
inégalité vaut i i " -j de tems , dont le vrai milieu
du pj'J'.ii’c cil différent du milieu pris entre l’entrée
6c la fortie, oblervécs en & en Q , enforte que
la fécondé demi-durée, ;i compter du point A/, ctoit
plus courte de 23" que la premiere demi-durée
M M .
J’ai donné dans les Mémoires de l’académie pour
1762 une méthode exacte , pour trouver avec la
précilion d’un centième de fécondé , les mouvemens
horaires de mercure 6c de venus, 6c par conféquent
leur inégalité; mais les bornes de cet article ne me
permettent pas d’en donner ici la demonfiration.
Lorfqu’on a calculé le pajfage pour le centre de la
terre, il faut avoir l’elfet de la parallaxe pour chaque
endroit & pour chaque inllant, c’efi-là le plus
difficile dans ces fortes de calculs: quand on ne veut
l ’avoir qu’à-peu-près , il fuffit d’une opération graphique
fort courte 6c fort commode que j’ai expliquée
dans mon Aftronomii; mais quand on veut calculer
des obfervations exaéles , & en tirer des con-
féquences pour la parallaxe du fole il, on ne fauroit
y mettre trop de fuin.
Je prendrai pour exemple le pitjfagi de venus
obfervé en 1769, & je joindrai le précepte avec
l’exemple , en donnant la méthode la plus rigou-
reiife que l’on ait employée pour cet effet.
J’ai calculé avec foin par les tables qui font dans mon
AJironomie les élémens qui dépendent du foleil, pour
deux tems différens, par le moyen delquels on peut
les trouver à une heure quelconque. A 10 heures
14' 12" tems v ra i, lieu du foleil ■£’ 13^^ 10" 7 " ', il
augmentoit en 6 heures de 14 21": déclinaifon du
foleil 12^ 26' 27", elle augmentoit de 15^24" 7'" en
6 heures : équation du tems 2' 1 5'' o, elle diminuoit
de 1'' 4"' en 6 heures, d’où il ell ailé d’avoir ces
élémens à tout autre inllant.
Pour calculer l’effet de la parallaxe fur une obfer-
vation de l’entrée ou de la l'ortie de venus, je fup-
pol'e dans la fig. S. qu’on calcule un des cas où l ’entrée
de vénus le faifoit le foir, dans un pays fepten-
irional ; mais j’aurai foin de marquer les exceptions
pour les autres cas.
La circonférence du difque folaire efi repréfentée
par S OG y le centre du foleil efi en C, la ligne
M V elH’orbite relative de venus, vue du centre
de la terre ; Z V D A efi le vertical de vénus ; C E
une ligne parallèle k Z P' 6c tirée par le centre du
foleil ; C M la plus courte diltance des centres ou la
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perpendiculaire à l’orbite relative de vénus;
une petite portion du cercle de déclinaifon qui palfe
par le loleil, ou plus exaélement une ligne parallèle
à l’arc de cercle de la declinailon qui pall'eroii parle
vrai milieu A'de vénus ; le point où le trouve vénus
lur Ibn orbite dans le moment du contatl, étant
fuppolé en Ion lieu apparent lera en D dans le
vertical Z y D ; au moment du contaél intérieur, la
dillancc apparente C D au centre du foleil, efi de
915'' 1 1^'',différence des demi-diameires du foleil 6c
de venus; la difiance vraie (7 eft ce qu’il s’agit principalement
de trouver , pour avoir l'effet de la
parallaxe au moment de ce coniaél.
'On fuppofe dans les premiers calculs qu’on con-
nailfe du moins à-peu-prcs le milieu du pajfagi en Af,
6c la plus courte difiance C M ; nous lavons aéluci-
lement que le milieu efi arrivé le 3 juin 1769 à 10
heures 36' 40" au méridien de Paris, 6c que la perpendiculaire
C M étoit de 10' 8" : on connoît le tems
de l’obforvaiion : on le réduit au méridien de Paris,
6c l’on a l’intervalle de tems qui répond à b Ai : on
le convertit en dégrcs, à rail'on de 4' o" 11 <ÿ"' par
heure , & l’on a leco'é M V. On dit alors CM: M A^: :
tang. M C V , 6^ colinus M CF: C M C V c’efi la
vraie difiance de vénus au centre du foleil pour le
moment de l’obl'ervaiion , trouvée ù-peu-près , bc
feulement pour les opérations préliminaires.
L’angle M C E formé par la perpendiculaire M à
l'orbite , & par le cercle de déclinailon qui pa^e par
vémis , efi la fomme de i’inclinaiion de l’orbite
relative , 8^* 28' 59" , 6c de l’angle de pofition qui
à 7 heures 30 ' , étoit de j ^ i ' 45 & A 13 heures
30' de 7 ‘* 39" pour le centre de vénus. Cette
lomme qui donne l’angle M C E , fe retranche de
l’angle M C A^, quand il s’agit de l’entrée de vénus ,
on les y ajoute pour la fortie- Ce feroit le contraire
pour le pujjagi de 1761 , oii venus s’éloignoit du
lüleil par Ibn mouvement en déclinaifon , parce
qu’elle étoit au midi du foleil 6c qu’elle alloit vers
le midi. Cette regie eft générale pour les pays fep-
tentrionaux ou méridionaux pour le matin 6c pour
le loir : elle donne l’angle F C F àw cercle de déclinailon
, du rayon mené par le vrai lieu de venus.
Quand on a par cette opération l’angle F C F , on
mulriplie la difiance vraie C ^ pa r le cofinus de cet
angle, 6c l’on a la différence de déclinaifon C/'entre
vénus 6c le foleil, qu’on ajoute à la déclinaifon du
foleil; ])arce que vénus étoit en 1769 au nord du
loleil, 6c l’on a la déclinaifon vraie de vénus : elle
étoit 7 heures 30' de 22«^ 38' 50", & à 15 heures
30' de zz'* 34' j " , quelques fécondés ne font
ici d’aucune importance; car 10" ne font pas ordinairement
un millième de fécondé fur la parallaxe
de hauteur.
On multiplie auffi le rayon C'A’" par le finiis de
l’angle F C F ; on divile le produit ou la valeur de
F par le cofinus de la déclinaifon de vénus pour
la réduire à l’équateur; & l’on a la difference d’af-
cenfion droite entre vénus 6c le foleil, qu’on ôte
de l’angle horaire du foleil ou de fa difiance au méridien
comptée en dégrcs, fi la fortie arrive le
matin ou l’entrée le loir, & qu’on ajoute dans les
autres cas. Cette différence étoit pour 7 heures -5
de 10' 4 " , 6c de 15' 5" à 13 heures f , le changement
en 6 heures étant de 9” » on a par cette
opération l’angle horaire de vénus , ou la vraie
difiance au méridien.
Par le moyen de la déclinaifon de venus 6c de
fon angle horaire, on calcule la hauteur vraie &
l’angle du vertical avec le cercle de déclinailon ou
l’angle E C F , la parallaxe horizontale de vénus feule
29"4'"multipliée parlecofinusde fa hauteur vraie,
donne la parallaxe de hauteur qu’il faut ôter de la
hauteur
| : î ; i 1'
P A S
hauteur vraie pour avoir la hauteur apparente de
vénus , de laquelle dépend la parallaxe.
La différence des parallaxes de vénus 6c du foleil
21" O 5 2 multiplié parle cofinus de la hauteur apparente
de venus , donne la différence des parallaxes
de hauteur, ou la petite ligne F D ; cette opération
efi auffi rigoureufe que I1 l’on calculoit Icparément
la parallaxe du foleil en hauteur, 6c celle de venus ,
pour en prendre la différence ; puil'que l’une 6c l’au-
rre dépendent de la hauteur apparente du point D
du difque folaire oîi fe trouve le centre de vénus.
L’angle parallaflique E C F 6c l’angle F C F employés
ci-deffus, s’ajoutent pour les pays fepten-
trionaux, fi c’efi l’entrée qui arrive le matin , ou la
fortie le loir. Dans les deux autres cas on prend leur
dilîcrencc, 6c l’on a l’angle E C F ou C F D. Dans
les pays méridionaux , comme Hle de T a iti, c’efi le
contraire. Dans le pafiage de 176 1 , c’étoit auffi le
contraire , parce que vénus étoit au midi du foleil.
Pour 1769 , oîi vénus étoit au nord du foleil, on
juge que l’entrée 6c la fortie de venus fe font faites
au-delfus du centre ,lorfque l ’angle E C F étoit aigu
pour les pays feptentrionaux , ou obtus pour les
jiays méridionaux. C ’efi le contraire pour le pajj'age.
de 1761,
Lorlque vénus eft au-delîbus du diamètre horizontal
C (2 du foleil, la parallaxe fait paroître l’entrée plus
lard, 6c la fortie plutôt qu’on ne la verroit du centre
de la terre ; mais fi le lieu apparent D étoit au-
deffûus du diamètre horizontal, & le lieu vrai F
au-deffus de la meme quantité, l’effet de la parallaxe
feroit totalement nul. L’obfervation de la lortie à la
baie d'Hudfon 6c en Californie, font les feules en
1769 oil j’aie, trouve l’angle E C F obtus ; 6c la for-
lie y a paru plutôt, en vertu de la parallaxe.
Dans le triangle C F D l’on connoît C D , D F",
Sc l’angle F : on fait cette proportion CD : fin.
F D F : fin. D CF. On cherche ce petit angle
avec la pvécifion des dixièmes de fécondés , ou
même des centièmes: on l’ajoute à l’angle C F D
ou à fon fupplément, fi venus eft plus élevée que le
centre du foleil ; 6c l’on a l’angle C D V ow fon fup-
plémcnt.
Si par l’addition de ces deux angles, qui tous deux
font ncceffairement moindres que 90'', on troiivoit
une fomme plus grande que 90^, on en prendrolt le
fnpplément; ce leroit feulement une preuve que le
point feroit au-deffus du diamètre horizontal, 6c
le point Z> au-deffous. Il ne refte plus que cette proportion
à faire : fin. C F D : CD : : fin. C D F : CF,
C ’eft la difiance vraie qui répond à l’obfervation :
elle doit être calculée avec la prcclfion des millièmes
de fécondés ; car une feule fécondé fur la valeur de
C F , produit 19" 8 fur les tems; enforte qu’un centième
du fécond feroit deux dixièmes de fécondés
fur le tems que l’on cherche.
Connoiflant C Af 6c C F , on trouve M F : la méthode
la plus facile confifte à prendre la demi-fomme
des logarithmes de la ibmme 6c de la différence de
C Af & de M F , on a le logarithme de M F , on le
convertit en tems, 6c l’on a la vraie difiance de vénus
au milieu du p^ijfage, pour le moment de l’ob-
fervation, on la réduit en heures, minutes, fécondés
6c dixièmes de fécondés. Cet intervalle de tems
efi la difiance pour le lieu de l’obfervation, la
, difiance au milieu pour le centre de la terre le trouve
par une opération lémblablc avec CM 61 C X qui
eft égale k C D , c’ eft-ü-dirc la différence ou la fomme
des demi-diametres ; car le vrai contacl de vénus
vu du centre de la terre , a lieu quand vénus arrive
au point X de fon orbite. Cette difiance M X en
tems eft de 1 heures 54^' quand on fuppofe CM
de 10' 8"; 6c en diminuant C M d’une fécondé , on
augmente le tems de 7" i : la valeur de M X , eft
T om i IF , \ ’
P A S ! - 4 9
.’effet de la parallaxe pour le lieu de Tobfervation.
Si l’on trouve le tems par M X , vu du centre de la
terre plus grand que le teins par M F vu de la fur-
face , c’elt une preuve qu’il faut ajoutera la fortie
oblervée , ou ôter de l’entrée , pour avoir le même
contact réduit an centre de la terre.
Quand on a fait ces calculs quatre fois, c’eft-à-
dlre pour l'entrée 6c la fortie obfervées en deux
lieux trcs-cloignésrimde l ’autre , on a quatre obler-
vationsoLideux durées du pajfage, réduites au centre
de la terre. Si ces deux durées font parfaitement
égales, il eft évident que la parallaxe qu'on
a fuppofée pour faire ces réduftions de la durée
apparente la durée véritable , l'aiisfait exaftemenc
au.x quatre obfervacions ; 6c que cette parallaxe eft
trouvée par là-même , autant que les deux durées
la peuvent donner. Le grand nombre d’obfervailons
que j’ai calculées par cette méthode m’a donné 8"
55. M. Lexel qui s’en eft occupé comme moi avec
beaucoup de foin, a trouvé 8" 63 ; ainfi l’on ne peut
s’écarter beaucoup de la vérité , en fuppofant la
parallaxe moyenne du loleil de 8^^ 6 , elle varie de
î ’hiver à l’ctc de trois dixièmes de fécondé, mais
c’eft ici celle qui convient à la moyenne difiance
du foleil le premier avril 6c le premier oélobre. M.
Pingré 6c le P. Hell la portent jul'qu’à 8" 8, mais
il me paroit prouvé que ce réfultatn’eftpasadmif-
fible ; auffi je n’ai fuppofé la parallaxe du foleil que
de 8^' 7 en nombres ronds dans les calculs que l’on
trouvera au moc Plan e te , Suppl.
Le contaft de venus avec le bord du foleil, eft ac-
compagnéd’un phénomène affezremarquable, & qui
rend cette obfervation très-exafte : on voit un point
noir ou une efpece de ligament noir alongc qui unit,
en un inftant, les deux bords de vénus 6c du foleil ,
lors même que leurs circonférences paroiflent fépa-
rées. Il me femble que cela vient de l’irradiation
qui envirohne le bord du foleil, 6c qui difparoît né'
cefl'airement dans un point aufli-tôt que les bords
réels fe touchent; en effet, l’expanfion de lumière
ne fauroit avoir lieu , quand la caufe primitive de
cette lumière, c’eft-à-dlre, le bord effeélif du foleil,
ne nous envoie plus de rayons : il doit donc y avoir
dans cette partie du bord apparent du foleil, une
ceflatlon 6c une interruption qui n’a pas lieu dans les
parties voifines du point de coiitad ; c’eft pourquoi
il paroît dans ce point-là une gibbolité ou un ligament
noir, que grand nombre d’obfervateurs ont
remarqué, comme je l’ai dit plus au long dans les
Mémoires de L'acad. pour En conféquence de
cette explication , j’ai diminué le diamètre du foleil
dans les calculs iniportans des dimenlions du foleü
6c de la maffe.
Le lieu du noeud de venus eft une conclufion
importante 6c exafle que l’on tire naturellement de
l’oblervation du paffage. En effet, lorlqu’on a la plus
courte difiance C M (jfg. 3 4 ) , l’inclinail'on ou
MC B de l’orbite relative de venus fur l’écliptique ,
il eft ailé , par la rcfolution du triangle reétllignc
MCB , de trouver la latitude C B au moment de la
conjonûion : cette latitude géocentrique obfervée,
étant réduite au foleil par le rapport des diftances
de vénus à la terre 6c au foleil, on a la latitude hé-
liocenirique : cette latitude, avec l’angle de l’incli-
nail'on vraie de l’orbite 3 23 ' 20" , donnera, par
la réCûlution d’un triangle , l’arc de l’écliptique compris
entre le point de la conjondion 6c le noeud A^de
vénus. C’eft ainfi que j’ai déterminé, avec une très-
grande précifion, le mouvement desnceudsdemercure
6c de vénus. A^. ci-dev. Noeuds. (M. b e la La n d e A)
Passage au méridien , ( AJlron. ) C ’eft l’heure
6c la minute où un afire eft au plus haut du c iel,
égale difiance de fon lever 6c de fon coucher, c’ efi-
à-dire, dans le mérjdie.n, Les afironomesobfervent
I i