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triangle fphérique O P H{pldnche I V , fig. '20 ) ,
qui eft polaire du triangle M FB , comme nous l’avons
expliqué en parlant du fe&eur, pour trouver
l’heure par les hauteurs du foleil ( Vcyei C a d r a n
so l a ir e dans ce Supplément). Dans cette projection,
le point O eft au zénit, & l’oeil au nadir. Ainfi les
arcs OH , O P , font repréfentés par des lignes droite
s , égales aux tangentes de la moitié de ces arcs;
ces droites font un angle égal à l’angle HO P; 6c l’arc
P Heftrepréfenté par un arc de cercle qui coupe ces
droites fous des angles égaux aux angles O H P ,
H P O.
Ic i, comme dans l’article du Supplément, que nous
venons de citer, l’angle H O P eft le complément
de la hauteur du foleil.
L’arc O H eft le fupplément de l’angle azimutal
B M F : donc la tangente de la moitié de O H eft
égale à la tangente de la moitié de l’angle B M F ;
6c la cotangente de l’arc O eft égalé à la cotangente
de l’angle B M F .
L’angle O H P eft la hauteur de l’équateur , égale
à M B.
L’angle H P O eft la déclinaifon du foleil.
L’arc H O eft le fupplément de l’angle azimutal
F M B.
Soit donc {fig- 23 , planche IV') l’angle A E C ,
égal à M F , complément de la hauteur du foleil.
Obfervez que les lettres , entre deux paren-
thefès, fe rapportent à la fig. 20, 6c les autres à la
fig. 23. - . .,
Soit auffi, E C , égale à la tangente de la .moitié
de ( O H ) , ou de la moitié de l’angle azimutal ( F
MB' ) ; donc E C eft la projection de l’arc { O H ) ;
le point ( O ) tombe en E , 6c le point ( H ) en C.
Faites E Q égale à la cotangente du même angle ,
mais entier ; l’angle C Q R droit , & l’angle QCR
égal au complément de la hauteur de l’équateur,
ou à la hauteur du pole, & par conféquent l’angle
C R Q , égal à la hauteur de l’équateur.
Du centre R 6c de l’intervalle R C, décrivez un
arc de cercle qui rencontre en A 6c en Allés droites
E A , R Q.
Puifque l’àngle R C A eft droit, & que l’angle
R CE eft le complément delà hauteur de 'l’équateur,
l’angle E C A eft la hauteur de l’équateur.
Nous avons fait l’angle A E C égal à l’angle ( H
0 P ) ; E C eft la projection de l’arc { O H ) ; l’arc
L A M eft la projection de l’arc { H P ) ; donc E
'A eft la projection de l’arc (O P) ; 6c l’angle E A C
eft égal à ( O P H) qui eft la fomme de 90 dégrés,
6c de la déclinaifon ( Voye1 C a d r an S o l a ir e dans
le Supplément ) : l’angle R A C eft. droit; donc l’angle
R A E eft la déclinaifon du foleil, & l’angle E A
M eft le complément de la déclinaifon.
Puifque l’angle A E C eft le complément de la hauteur
du foleil, où eft fa diftance du zénit ; li la droite
Q C eft verticale, enforte que le point Q réponde
au zénit, la droite A E eft dirigée vers le foleil, 6c
à rebours; d’où l’on voit pourquoi, dans la fig. 2 7,
on a dit que la regie b D B doit être verticale.
L’angle E A R de la fig. 23 , eft la déclinaifon.
La droite R A répond à Ja droite H E de la fig. 2y ;
c’eft pourquoi l ’on doit placer & fixer la regie E
1 fur le lieu du foleil, 6c enfuite l’on doit tourner
le feCteur E F G , enforte que la regie E I foit dirigée
vers le foleil.
Enfin, on a fait C Q égale à la fomme de la tangente
, de la moitié de l’angle azimutal, & de la
cotangente du même angle entier, & cette fomme
eft égale à la cofécante du même angle , & Q E ,
. égale à cette cotangente ; donc C Q à Q E comme
la cofécante à la cotangente de l’angle azimutal,
comme le rayon au cofinus du même angle ; c’eft
pourquoi l’on doit poi^er fur l ’échelle B O b de B
A Z I
& b en D les finus verfes ; ou de D en B & b les
cofinus ou les finus de$ azimuts pour le rayon B D.
On peut rendre cet inftrument bon pour toutes
les hauteurs du pôle ( fig. 28)* Les côtés L b , Md
du chaffis L l d M font divifésfuivant les tangentes
des hauteurs du pôle. L’échelle azimutale C B eft
mobile dans ce chaffis, & on peut l’arrêter à la hauteur
du pôle requife. Les fignes & la déclinaifon
des dégrés de l’écliptique font toujours marqués
dans l’arc de cercle F H G. Du milieu H de cet arc,
au centre E , eft une réglé H N , divifées fuivant
les fécantes des hauteurs du pôle. On arrête le fec-
teur E F G par la réglé H N , à la même hauteur
du pôle à laquelle on a arrêté l’échelle C D ; en-
forte que le fefteur puifle tourner autour de la cheville
O qui l’arrête. On place la réglé E 1 fur le
lieu du foleil, & on fait tourner le leéteur jufqu’à
ce que la réglé foit dirigée vers le foleil.
On s’eft fervi d’un pareil artifice, pour rendre
univerfel le feâeur, pour déterminer le tems par les
hauteurs du foleil ; c’eft pourquoi ceux qui fou-
haitent un plus long détail, peuvent confulter Varticle
C a d r a n s o l a i r e dans le Supplément. {J. D. C.)
AZIMUTAL, Cadran azimutal ou analemmatique,
( Gnomonique. ) ainfi appellé parce qu’il, montre les
heures par les azimuts ( Voyeç A z im u t & C a d r a n
S o l a i r e , Suppl.). Je ne crois pas qu’on puifle concevoir
un homme aflez fimple 6c groffier pour n’avoir
pas obfervé que fi au lever du foleil un arbre qui
eft devant lui, jette fon ombre à fa droite, à mefure
que le foleil s’avance, l’ombre s’avance auffi ; tombé
droit devant lui à midi ; enfuite elle va vers la gauche
, où elle fe trouve au coucher de cet aftre.
Sur cette obfervatiôn commune les premiers hommes
fongerent fans doute à décrire un cercle à terre,
à planter un piquet au centre , 6c à divifer la circonférence
en parties égales, dans l’efpérance que
l’ombre du piquet indiqueroit les heures. Mais on
n’aura pas tardé à s’appercevoir que cette ombre
ri’iridiquoit exactement que l’heure du midi.
La raifon de eette irrégularité eft que .ce cadran
ne doit pas être circulaire, que fa circonférence ne
doit pas être divifée en parties égales, 6c que le
piquet perpendiculaire ne doit pas refter toujours
au même endroit ; parce que l’ombre d’un piquet
perpendiculaire à l’horizon indique par fa fituation
combien le foleil eft éloigné du plan du méridien;
en un mot elle montre l’azimut de cet aftre ; or lé
foleil ne fe trouve que deux fois par an au même
azimut à la même heure : ainfi le premier cadran
folaire qui naturellement eft venu dans l’efprit des
hommes, eft faux, & ne peut devenir jufte que
par trois corrections que fûrement ori n’a trouvées
qu’après plufieurs recherches ; en forte que fi les
cadrans a^imutaux ont été les premiers qu’on ait
inventés, ils ont été auffi les derniers qu’ont ait rendus
jüftes.
Pour expliquer la fource des erreurs des premiers
cadrans ayimutaux, foient {planche I. fig. 1. Supplément.
) :
O Z H N , le méridien du lieu.
0 E C H , l’horizon.
F A G , l’équateur.
1 S K , un parallèle.
i B k , un autre parallèle, autant en deçà de l’équateur
que le parallèle.
I S K , eft en delà.
P p , les deux pôles, P le boréal, 6c p faillirai.
Z , le zénit.
N , le nadir.
Z S B A , un vertical qui rencontre en E l ’horizon
O E C H.
P S p , un cercle horaire qui rencontre en S le
.parallèle l S K , 6c le vertical Z S B N .
A Z I
P A p , fin autre cercle horaire qui rencontre en
A l’équateur F A G 6c le même vertical.
P B N , un troifieme cercle horaire qui rencontre
en B le parallèle iB k 6c le même vertical.
L ’arc O P eft V azimut.
L ’ombre que jette un piquet planté perpendiculairement
à l’horizon, eft là commune feCtion de
l’horizon & du plan qui pafle par le centre du foleil
& par le piquet ; c’eft pourquoi la droite D Z qui
rencontre au centre D, l’horizon à angles droits, jette
fon ombre toujours fur la même droite E D L. Lorf-
que le foleil eft dans le même vertical Z S A B N ;
mais le foleil fe trouve dans le vertical Z S A B N
à une heure quand le foleil décrit le parallèle i B k ,
à une autre quand il parcourt l’équateur F A G ; 6c
encore à une autre quand il eft dans le parallèle
JS K ; donc dans tous ces cas la même ombre indique
dès heures différentes.
L’ombre E D L indique jufte l’heure quand le
foleil eft dans l’équateur, parce que D eft le centre
commun du vertical, de l’horizon 6c de l’équateur.
Lorfque le foleil eft en B , dans le parallèle auftral
iB k , l’ombre tombe en E L quelque tems plutôt
qu’il ne faudroit ; parce que le cercle horaire P Bp
eft plus éloigné en méridien H Z O N que le cercle
horaire P A p : ainfi cette ombre indique que l’on
eft plus près de midi qu’on ne l’eft réellement.
Pour corriger cette erreur, il faut donc reculer le
piquet vers 0 , comme en AT, afin que l’ombre P M Q
indique une heure plus éloignée du midi que l’ombre
E D L.
Au contraire quand le foleil eft en S dans le parallèle
I S K , la même ombre tombe en P Z quelque
tems plus,tard qu’il ne faudroit ; elle montre
qu’on eft plus éloigné de midi qu’on ne l’eft effectivement
; 6c il faut avancer le piquet comme en R ,
en forte que l’ombre E R F indique une heure plus
proche du midi que l’ombre E D L.
Les points M 6c R doivent répondre aux centres
des parallèles i B k , IS K, parce que le point D eft le
centre de l’équateur, 6c le cadran azimutal repréfente
lin parallèle quelconque, auffi bien que l’équateur,
comme on le verra mieux par la conftruétion que
nous en allons donner avec foin , parce que c es
cadrans ont plufieurs avantages fur les autres, &
en particulier celui de n’être pas fujets aux anomalies
des réfraétions. Cette conftru&ion , qui eft
plus fimple que celle de dom Bedos, &même que
celle de M. de la Lande , eft avec fes conféquences
en grande partie tirée d’un petit traité allemand de
Mr. Lambert, de l’académie royale des fciences 6c
belles lettres de Berlin.
Les cadrans de cette forte fe décrivent prefque
entièrement comme nous avons enfeigné à décrire
les cadrans horizontaux. ( Voye^ üarticle C a d r a n
S o l a i r e , dans le Supplément. §. 12 , 13.)
Prenez {planche II. fig.9.) de de la longueur que
vous voulez donner à votre cadran d’orient en occident.
Coupez la de également ena, & par le point
a fur la droite ed, élevez la perpendiculaire b e: faites
ab égale à a c , chacune égale au finus de l’élévation
du pôle pour le rayon da (nous avons pris
ici & dans les autres figures, 5 id. 30'pour Berlin);
du centre a 6c des intervalles a b, ad, décrivez deux
cercles concentriques , que vous diviferez en 24
parties égales, pour les heures , & que vous fub-
diviferez pour les demi-heures ; j’appelle points
correfpondans ceux qui font également éloignés, &
de côté 6c d’autre du^même diamètre. Par les points
correfpondans du petit cercle , tirez des droites
parallèles k d e ; 6c par les points correfpondans du
grand cercle, tirez dès droites parallèles à b e. Les
points où ces droites fe rencontrent, font les points
des heures.
A Z I 735
Obfervez que fi le point b eft tourné au nord ,
& le point e à l’eft , vous devez mettre le numéro
XII. au point b , 6c les numéro I , I I , &c. où font
à préfent les numéros V I I , VIII, &c. 6c de b vers
■ l’oueft d les numéros XI , X , &c.
. Vous pouvez auffi faire une échelle qui ferve à
tous les cadrans pour la même élévation du pôle,
telle que celle _de la figure 8 {planche I I ) . Cette
échelle eft décrite aux paragraphes 17 6c 19 de 1 * article
C a d r a n S o l a i r e , dans ce Supplément,
On fait que par la conftruélion indiquée, les points
des heures font à la circonférence d’une écliple ; foit
donc ( planche I. fig. 2.) A D B E l’ellipfe, dont le
centré C , le grand a xe A B , 6c le petit D E du
centre D & de l’intervalle A C; décrivez un arc de
cercle qui rencontre en F 6c ƒ le grand axe A B , les
points F 6c f font -les foyers de l’ellipfe. Pour décrire
Vanalemme, ou fi vous voulez , l’almanach qui
convient à ce cadran , fur la droite C F au point-P,
faites des angles d’autant de dégrés qu’en a la déclï-
naifon du foleil pour chaque jour. Le 21 juin le
foleil a 23e*. 30' de déclinaifon boréale. Pour ce jour
vous faites l’angle C F G de 23e*. 30'. Le 21 décembre
le foleil a 23°. 30' de déclinaifon auftrale;
6c vous faites l’angle C F g de 23A 30'; & ainfi des
autres. On fait plus ou moins de ces marques, fuivant
la grandeur de l’inftrument, & le dégré d’exa-
éfitude qu’on exige. Sur des analemmes de deux
pouces , on peut commodément marquer les jours
de deux en deux ; on met en G le nom ou le ligne
de juin ; en / ce celui de juillet 6c de mai ; en 2
celui d’août 6c d’avril ; en 3 , au centre de l’ellipfe
celui de feptembre & de mars ; en 4 celui d’o&obre
6c de février ; en 5 celui de novembre & de janvier ;
& en g celui de décembre. Le ftyle eft perpendiculaire
au plan du cadran, 6c par conféquence à
l’horizon , & doit être placé chaque jour à l’endroit
marqué dans l’analemme ; en G le 21 juin; en 0 le
21 de feptembre & de mars ; en g-le 21 de décembre;
&c. 6c ajoutant les heures, comme on l’a indiqué
dans un des paragraphes précédens-, le cadran eft
fait.
Suppofons que le point G foit celui qui convient
au jou r , 6c le point H celui qui convient à l’heure ,
par exemple, c’eft le 21 juin à neuf heures du marin;
6c le ftyle étant en G , l’ombre tombe en G H ;
l’angle H G D eft celui de l’azimut du foleil pour le
21 juin à neuf heures du matin ; & fi du point G ori
tire les G L , G l , perpendiculaires à l’ellipfe , les
points L 6c l indiqueront l’heure du lever 6c du
coucher du foleil ppur ce jour-là. La droite G L e ft
auffi le ray on auquel appartiennent les droites G H
6c C A , confidérées la première comme cofinus de
la hauteur du foleil, 6c la fécondé comme cofinus
de fa déclinaifon.
La démonftration de toutes ces propofitions découle
du feul principe que le cadran azimutal eft
la projeélion orthographique de l’équateur ou d’un
parallèle : car baiffant de chaque point de la circonférence
du parallèle des perpendiculaires fur la fur-
face de l’horizon , elles traceront l’ellipfe A D B E .
Le diamètre A B retient fa longueur, qui eft le double
cofinus de la déclinaifon du foleil ou du parallèle
que le foleil parcourt. Car (o\i{planche I.fig. 3.)
A a l’axe de la fphere ; A B a b un méridien ; B b
le diamètre de l’équaïeur ; C le centre ; D d un parallèle
; fa déclinaifon eft l’arc D B , dont le finus
eft D E , 6c le cofinus E C ou D F ; 6c le doublé
de DF"eft le diamètre du parallèle. Il en réfülte que
pour l’équateur, dont la déclinaifon eft nulle , 6c
le cofinus de la déclinaifon égal au rayon , le diamètre
A B {fig. 2.) eft celui de la fphere ; & pour
chaque parallèle A B eft le double cofinus de la
déclinaifon.