d’une petite quantité , & fi on. répété les approximations
, cette différence diminue continuellement.
La méthode de M. de la Grange fournit un moyen
d’avoir en férié la valeur d’une quantité quelconque
y en x-, lorfquey eft donné par une équation en x
St y : fi cette équation eft différentielle, on parviendra
également à avoir une telle férié : foit en
effet une équation différentielle eny ôc.x , on fera
enforte qu?elle ne contienne plus que d x ; cela
pôfé, fi réquation mife fous une forme rationnelle
& entière, ayant tous fes rangs, & la plus haute
différence Te trouvant dans le preniier , elle n’a
point de terme confiant , on fera y — A e +
B t * + Ce! '* + J 'e 1* ’ + B 'cM ‘ Oc 'f+x & c.
& i° . on aura A , B , C, &c. arbitraires , & fi « eft
l’ordre de l’équation,/fera donné par une équation
duvdégré tz, ƒ' par la même équation &c. enforte
que ƒ , f /"■ font les différentes racines de cette
équation : 20. la fubftitution de A' e + B'^+
dans le premier rang donnera des termes égaux
chacun à chacun à ceux que A e * B e * &c.’ produit
dans le fécond ; donc A\ B’ Sic. feront donnés
en A , B , & ainfi de fuite : 30. fi l’équation en ƒ a
deux racines égales , foit ƒ cette racîfie , il faudra
faire A x e * * + B e ‘ * &c. en effet fi P d ” y +
Q d y + R d" * y &c. eft le premier rang de la
propofée, on aura B ÇPf" + Q f a~’ + Rƒ*“ 1 &c/)-b o
&14 ( P f + Q + o ,+2t+/z-<2/”' =& c .)= o
donc on aura à-la-fois,
Q f n~ l + R f * ~ \ &c. = 0 , ,
S cn P f* t + l — i Q f n 1 4-/z—iR f * },& c .= o .
Ce qui a lieu toutes les fois que l’équation enƒ a deux
racines égales. On prouvera de même que fi cette
équation en a trois, il faudra fairey=.<f x* - f B x + C,
e -{ -D e , & c. & ainfi de fuite, pour quatre, cinq,
&c. racines égales : 40. au lieu àeA'e~~'x •{■ B ' e ^ *4-
Ce & c . on voit que , dans le cas de deux racines
égales, c’eft A 'x * Ciex + B' x efx + C f + f ' x
D e * + & c. qu’il faut prendre, & ainfi de fuite.
■■ Si la propofée avoit eu un terme confiant, &
qu’elle eût contenu y au premier rang, on auroit
fait
y = Â-{- B e ‘ X -{- C e 1 * & c. + A e 2^* + B ' e ^ x»
& fi y avoit été dans les rang fupérieurs, on auroit
trouvé les B , (?, &c. toujours arbitraires, & 5 par
une équation d’un dégré dépendant du rang de la
valeur hypothétique , où l’on fe fera arrêté : fi y
manque dans les rangs fupérieurs de la propofée ,
alors ƒ eft encore ici donnée par une équation du
dégré n.
Si la propofée ne contient pas y au premier rang,
& qu’elle ait un terme confiant, il faudra prendre
y — A x -f- B c * + C e 'x &c. A 1 x- -{■ B ' x &c.
& procéder, comme ci-deffus ; car le cas oii
il y a un terme confiant fe peut rappeller aifé-
ment à celui où il manque , il fuffit de différencier
l’équafion propofée.
Cette méthode d’avoir en férié la valeur de y ,
lorfqu’on a Une équation différentielle en y & en x*
s’applique au cas, ou ayant m équations en m + 1
variables £ . ,B , y . „ : . x , on cherche à exprimer
\ > u ,y ........... par une fonélion en x.
On p eu t même l’étendre aux équations aux diffé-
rences finies , o i i A x eft fuppofé confiant, la folu-
:tion fera la même abfolument,à cela près que les arb it
r a ir e s -^ , B , C, & c. feront dans ce cas égales à des
fonctions de c ; e Ax = o , & ces fondions étant
telles qu’elle ne changent pas de v a le u r, lo r fq u e x
devient x + A x .
Cette meme méthode s’appliquera encore aux
équations aux différences partielles ; foit en effet
une de ces équations qui ne contiennè que ç , & fes
différences fans contenir de a; d e y , ni de terme confiant
, fi je fais / = A e ‘ x + èy + B +
A ' e ^ 8y + B 'e j 8 8 y- -j- &c. j’au ra i, les
A ^ B , arbitraires , une é q u a tio n e n f& c g , enforte
q u e /fe ra to u t ce qù*on v o u d ra , & g-donné e n / , St
que le terme A e * * + 8y & ç. fera la fomme de tous
ces termes dont le nombre èft infini.
S’jI y a un terme confiant, & que [ foit^dans le
premier rang, on fera 1 = A + B e tx i sy_ &c. &
alors félon le rang où l’on s’arrêtera, l’équation en
f& c g fera d’un ordre plus, élevé.
Le^ moyen p our déterminer les arbitraires, fera
le même q u e dans les équations linéaires. ( Foyer
L i n é a i r e !) -
La méthode expofée jufqu’ici fert à donner y
en a; ,. lorfqu’on fait que y eft très-petit ;, & qu’on
n’en peut négliger une certaine puiffance. Voici une
autre méthode qui p e u t fervir à avoir y en x
lorfque a: eft trè s-p e tit, lorfque l’équation eft du
premier ordre.
Elle eft fondée'fur cette remarque que fi A d x - f-
B d y ;eft une équation qui a tous fes termes, A S c B
étant rationnels, & que , ces fondions étant du
d e g r é ot , rendent différentielle exade une équation
peu differente de A d x -f- B 4y = o , on p o u rra ,
en prenant A'-\- Z
~B' + Z ' P0 ur Jtafteurs de A d x + B d y,
foire Z St Z ' d’un degré tel que négligeant les fécondés
dimenfions des coëfficiens de Z & Z ' & des
petits coëfficiens de A d x + B d y , dans la condition
d’intégrabilité, le nombre des coëfficiens indéterminés
furpaffe celui dès équations de comparai-
fo n , donc on aura en -férié l’intégrale de A d x +
B d y , toutes les fois que l’on aura celle d’une
équation peu différente : donc on l’aura toutes les
fois que l’on pourra regarder a: comme une quantité
très-petite.
On peut étendre cette méthode aux ordres plus
élevés.
Après av o ir donné le moyen d’avoir y en x par
une férié lo rfq u e y eft donné par une équation différentielle
, fuppofons que y foit trè s -p e tit, qu’on
puiffe en négliger une certaine pu iffance , & voyons
ce-qui doit arriver.
i° . Si la valeur d e y eft de la forme A e f x +
-\-Ccf x ------ + A ' e * f x + B ' e f +
. ^';ie .tous les ƒ foient réels & négatifs , ou bien
imaginaires fans partie réelle , ou bien imaginaires
avec une partie ré e lle , mais négative, il arrivera
q u e , dans le cas des racines purement imaginaires ,
la valeur de y fera donnée en finus & cofinus de
multiples de x , & pourra être toujours très-petite,
& la lérie convergente lorfque celle des A , A ' &c.
le fera dans des / négatifs, ou partie négatifs, & partie
imaginaires; la même choie aura lieu , fi l’on ne
confideré que les valeurs de a: depuis o jufqu’à 00 ,
& qu’onfuppofe ataffez grand pour que ef x > i , &
fi même dans le cas tous les finus & cofinus font
multiplies p a r e^ , il y aura un point où la férié fera
convergente -
■ convergente •, indépendamment de la xo'nvergënfe
xles coëfficiens.
2°. Si la valeur d ey confervant la même forme ,
ƒ a des. valeurs réelles poiitives, ou . des valeurs
imaginaires dont la partie réelle foit pofitive, alors
la valent’ de y ne peut plus être approchée pour
toute l’étendue des valeurs de x.
3°. Si la valeur de y contient des x , la même
-•(thofe aura lieu.
■40. C’èft à caufe de l’égalité de plufieurs racines
dans 'l’équation qui donne/, que y contient x dans
fa v a l e u r , & fouvèpt la quantité réelle pofitive ou
négative de la vaieuHmaginaire de /eft très-petite ;
il fuffit donc alors, d’un léger changement dans ces
coëfficiens de la propofée pour foire que y change
de forme : ■ or ce changement devient permis toutes
les fois- ou que les coëfficiens de la propofée font
•donnés par l’obfervation, -ou qu’on peut les produire
, en augmentant y d’une petite quantité Confiante
qui ne l’empêche pas de relier très-petit;
dope toutes les fois que cela arrivera , il fera
impoffible de juger fi la férié eft ou n’eft pas convergente
pour toute l’étendue des valeurs de x.
50. Si la valeur dey eft telle qu’elle puiffe fe réduire
•à un nombre fini de fériés de la forme numerd i er
'multipliéës par dés puiffances de x & de e^*-,/étant
■ pofitif, alors y fera -donné par des fériés conver-
'gentes pour toutes les valeurs de x quel que foit x-;
& .f i on p e u t s’affurer dè la convergence indéfinie
des coëfficiens des'féries -, alors la valeur de y contiendra
une véritable équation féeulaire. •
' 6°. Si la valeur de y n’eft pas approchée pour
‘toute l’étendue des x , il fout fa ir e plufieurs approximations
fucceflives.; & fi Fon ne peut pour chacune
déterminer les arb itra ire s par de nouvelles
conditions, on emploiera la méthode indiquée à
l’art. "ComETE dans le Diü. raif. des Scienc. &c. (o)
APPŸÀ', f. m. ( Hiß. nat. Botanïq. ) plante de la
‘famille deà/tithymales, & commune dans les îles
d’Amboine. Rumphe en diftingue trois efpeces dont
i l n’y en a que "deux qui foient de ce genre rc’eft-à
ces deux feules que.nous nous arrêterons.
: Premiere •efpece. APP ŸA ,
^Vappya-,-ainfi nommé .par leshàbitans de Leyt'i-
ittlore , eft défigné fous le nom d’halecus terreferis vulgaris
rubra , par Rumphe, qui en donne une bonne
•figure, mais avec peu de-détails des fleurs., dans fon
Herbarium Amboinïcum, volume I I I , page iqy ,
■ planche CXXF II. -Les Malays l’appellent haleky
■ merà V c’eft-à-dire., haleki rouge , & les habitans
.d’Amboine, haleky lau muri, qui veut dire la même
•■ choie à-peu-près.
Cet arbriffeau s’élève à la hauteur de vingt à vingt-
cinq pieds fous la forme d’un coudrier, ayant un
-tronc droit, haut de huit à douze pieds, d’un,pied de
-diamètre & au-delà, couvert d’une écorce cendré-
-brune , charnue, fouple, quis’enleve aifément par
■ lanières. Ses branches font alternes, très-diftantes les -
«nés des autres, ouvertes horifontalement., velues,
•cylindriques, vertes dans leur jeuneffe.
Ses feuillesfont alternes, coraparàbles enquelque
Torte à celles du coudrier, mais plus pointues par les
deux bouts, longues de cinq à fix pouces., prefque
“une fois moins larges, minces, molles, marquées de
huit à dix dents fur chaque côté, verd-fonce defliis,
glauques deffous, velues, avec une nervure longitudinale
à huit ou dix paires de côtes alternes, &
portées.-fur un pédicule cylindrique, pareillement
. v e lu , & quatre^ ou cinq fois plus court. Dans les
jeunes' pieds ces’feuilles font plus brunes ou verd
plus foncé deffus, plus velues , plus anguleufes, ou
■ comme marquées de deux angles qui manquent
Tome .J, r
dâns les vieifte pieds. A l’origine de leur pédrcul’e on
voit deux ftipules triangulaires alongées.
Les fexes des fleurs font féparés de maniéré que
lés femelles Portent folitairement, ou deux à deux,
des aiffelles des feuilles fur les branches inférieures,
portées fur un pédicule d’abord égal à celui de la
feuille, enfuite s’alongeant de quatre à cinq pouces
& de maniéré à atteindre fon milieu. Chaque fleur
femelle confifte. en un calice en enveloppe de deux
à trois, grandes feuilles elliptiques, pointues, dentelées,
nerveufes comme les feuilles, contenant un
ovaire fphérique qui devient une capfule ridée
pointillée & chagrinée , de la groffeur d’un grain de
poivte, de deux à trois loges , contenant chacune
une grainè fpheriqùe de la grôffèur d’un grain de
coriandre;
Les fleurs mâles fortent de Faiffelle des feuilles
fuperiéureS fous la forme, d’un pahnicule à quatre
ou cinq branches en épi qui. égalent la longueur dé
ces feuilles. Chaque. pannicule en porte environ
deux cens fort petites, vertes, affez femblables à
celles de la vigne, c’eft-à;dire compofees d’un calice
de quatre à cinq feuilles, fans corolle, & de quatre
à cinq etamines. courtes-, à anthères jàünes & réunies
par leurs filets.
Culture. L’appya croît pair-tout dàrïs lès îles d’Am-
boine-, tant fur le rivage que dans le continent, non
-pas dans les vallons & les lieux humides , mais aiï
bord des grandes forêts dans les lieux fecs les plus
expofés aux vents ôù il ne croît que des arbriffeaux
ou des arbres de la petite taille; & plus le terrein
où il croît eft fec ,'pltïs fes feuilles font petites. Il fe
•multiplie de femences ; il fleurit & fructifie dans les
mois pluvieux de juin & juillet.
Qualités. Toutes fes parties n’ont -ni faveu'r ni
odeur , non plus qtte la mauve. Ses -amandes font
blanches & fort douces.
Ufages. Son bois ‘eft blanc, compofé de 'fibres
.grofli-eres, léger, fec-, peu durable, excepté dans les
habitations.bien enfumées. 11 eft fi fe c , qu’on ne peut
l’employer à foire des haies, parce qu’il ne repouffe
pas-comme les autres arbriffeaux.
Deuxieme efpece. -HüL'IRA.
La fécondé efpece à’appya eft nommée hùlïra St
halery par les habitans de Loehbe, & halehy-daun-
befaar, c’eft-à-dire haleky, arbre à larges feuilles,
par lès Malays. Rumphe le défigne fous le nom de
halecUs rugofa, fans en donner aucune*, figure, dans
fon Herbartum Amboihicum , volume I I I , page 1 Ç)8..
C’eft un arbre de trente à trente-cinq pieds de
hauteur, à tronc haurde quinze à vingt pieds, fur
deux'pieds de diamètre , couronné par une tête
•rohde.
Ses feuilles font .prefque rondes, d’un pied & plus
de longueur & de largeur , à trois ■ angles dans lés
jeunes pieds, taillées en coeur dans-les vieilles branches,
très-rudes & ridées deffus & deffous, & hé-
riffées de poils piquans faciles à tomber, & qui excitent
des démângeaifons à la peau. _
Ses fleurs reffemblent à celles de Vappya; mais
fes capfules font plus.grandes, vifqueufes, à deux
loges & deux poils en crochet ou en hameçon, par
lefquels elles s’attachent comme les têtes ou enveloppes
des fleurs de la bardane.
Qualités. Ses capfules vifqueufes répandent une
odeur agréable du ehampaca.
Ufages. Son bois èft blanc , à groffes fibres, &
léger comme celui de V appyamais plus durable ;
aufli le préfere-t-on pour foire les combles & les
couvertures des maifons.
Remarques. "L’appya vient donc affez près-du ricin
dans la famille des tithymales, à la fécondé feclion
R r r