deux racines ; on mettra lucceffiveriient darfs la
p ro p o fé e pour x les différons termes de cette férié,
& l’on obfervera le point oh en mettant l’une après
l’autre deux valeurs confécutives, le réfultat changera
de ligne ; alors la plus petite de ces valeurs
ne différera de la plus petite des racines pofitives
que d’une quantité moindre que a ; appellant p
cette valeur , je ferai x = p + — , & j’aurai une
équation en i que je traiterai comme la propofee;
appellant q fa première valeur, j’aurai #=/>+ ■— —
& une équation en ù ; appellant r la première valeur
de n trouvée toujours par la même méthode, j’aurai
x = p + - valeur qui approche continuelle-
P "t* -
ment de la vraie , puifque, par l’hypothefe , <7, r,
&c. font des quantités plus grandes que l’unité.
Si A eft plus petit que 1 , faifant A = — 9a&cb
font des entiers , on n’aura qu’à mettre, au lieu
de x , une autre quantité , & on aura pour l’équation
enç, a = a 9 & pa r çonféquent A fera un entier
& pourra être fuppofé 1 , & on aura i° . les quantités
p ,Q , r , &c. égales à des nombres entiers,
ce qui fimplifie la fraction continue ; z°. on aura
une valeur éxaéte de la racine toutes les fois qu’elle
y en a une rationnelle (voyez la fin de l’article),
pourvu que tous les coëfficiens de l’équation en Q
foient entiers, ce qu’il eft toujours pofiible de faire.
On pourra trouver, par cette méthode, fucceffi-
vement une valeur approchée de toutes les racines
pofitives de la propofée ; pour trouver celles de
ces racines qui pourroient en avoir d’autres égales,
appellant X = 0, la propofée , prenant le commun
divife.ur de X & d X 9 ce commun divifeür contiendra
les racines de la.propofée, qui en ont d’autres
qui leur font égales, & elles feront toutes inégales
entre elles dans cé divifeür. Subftituant donc dans
ce divifeür la même férié o , A , 2 A , &c. * ou
o , 1 , 2 , 3 , 4 . . . que dans la propofée, on trouvera
s’il y a une des racines trouvées par approximation,
où font celles qui font auffi racines approchées du
divifeür, & toutes celles qui font dans lë cas indiquent
que , dans la propofée ,. elles font égales au
moins deux à deux ; on trouvera dé même celles
qui font égales trois à trois, en cherchant lé commun
divifeür de X , ■ dX ■ , ~ ~ X—, & ainfi de fuite.
' ' ’ ' "d x i dx
Après avoir ainfi trouvé toutes les racines pofi-
tives, faifant x == — x '^on aura une équation en x '9
dont on cherchera les racines pofitives ; & les prenant
avec le ligne —- , on aura les racines négatives
cherchées.
Quant aux imaginaires qui font de la plus grande,
importance pour la folution approchée des équations
différentielles ( voye^ ci - dejfous , &• Varticle.
'É q ua t io n s é c u l a i r e ) , on fera x = a + b y/— 1,
& prenant la partie réelle & la partie imaginaire de
ce que devient la propofée après cette fubftitution,
les égalant chacune à zéro, éliminant a , on parviendra
d’abord à avoir a -=d—— , A & B étant des
fondions rationnelles & entières de b , de plus on
aura une équation en b. Cela pofé, il eft clair que
chaque valeur réelle de b donnera une valeur réelle
dé <z, à moins que À , B , ne foient nuis en même
tems que la propofée. Si donc cela n’a point lieu, on
prendra dans l’equation en b les valeurs approchées
des racines réelles pofitives à chacune defquelles
répondra une racine négative de la même valeur,
on aura a en riiettant dans — au lieu de b cette
valeur approchée , & par çonféquent on connoîtra
une valeur approchée des deux racines imaginaires
a + b \ /— i , a — by/ — 1. Mais j(i l’équation en b a
lieu en même tems que A = 0 & B .= o , on prendra
le commun divifeür de ces trois équations, enfuite
on divifera par ce commun divifeür l’équation en b,
& chaque racine réelle de l’équation ainfi divifée
donnera une valeur de b ; enfuite prenant le divir
feur commun & une équation du fécond dégré
trouvée en éliminant a & de la forme M a- -J- N a -{•
P —.0, on obfervera fi le commun divifeür,, M , AT
& P , peuvent être en même tems égaux à zéro. Si
cela ne peut arriver, on prendra les racines de ce
commun divifeür. à chacune defquelles répondent
les deux racines de l’équation e n A ; û M 9 N , P ,
peuvent devenir nuis en même tems que le commun
divifeür, on prendra de nouveau le commun
divifeür de ces quatre fonctions , & une équation
du troifieme dégré trouvée en éliminant a , & qui
fera de la'forme M' a? + X ' a* -|- P a + Q = o , &
on opérera comme ci-deffus, & ainfi de fuite.
Toutes les fois que, dans la recherche des racines
approchées , on aura fubftitué dans chaque approximation
la férié o , 1 ,2 ', 3 ..........à la place de la
racine, on fera fur de trouver la valeur exafte
lorfqu’elle fera rationnelle : en effet , cette valeur
exa&e eft néceffairement entre p , première valeur
trouvée , & p + 1, entre />+ ~~ 8cp-\— — ;
- , q q - t i .
& ainfi de fuite. Or foit — la quantité plus petite
que 1 à ajouter à p, pour avoir la vraie valeur ,
q fera égal au quotient de n par m, plus un refte,
- } /2</ m ; de même, r fera égal au quotient de
m par n' un refte* -^7-, m'\ étant plus petit que
donc, en fuivant toujours , on parviendra à un
refte nul ou égal à , & par çonféquent à la
v a le u r exacte. Voye%_ F r a c t i o n s c o n t i n u e s .
La méthode, dont je viens de .rendre compte -,
eft générale pour toutes les équations numérales ,
& elie donne pour tous les cas d’une maniéré,certaine
une valeur auffi approchée qu’on veut de
chacune des racines. Elle a de plus l’avantage effen-
tiel, qu’il eft inutile de cOnnoître d’ailleurs la valeur
approchée des racines, comme cela étoit néceflaire
dans la méthode de Newton.
Méthode d'avoir les valeurs approchées des racines
(Tune équation algébrique déterminée.
Il faudroit, pour que cette méthode fut générale,
pouvoir trouver autant d’expreflions de l’inconnue
en fériés convergentes que la propofée a de racines
réelles.'
Commençons par chercher un moyen général de
réduire la valeurde x en férié .-pourcelaje remarque
que quelle que foit une fonction de x qui foit égale ày,
je puis fuppofer que j’aie l’équationy — x — a> x — o,
ou x — y + «D x ; donc fi je cherche à avoir en
y + <D x la. valeur d’une fonétion de x , j’aurai, par
le théorème de M. d’Alembert, démontré à l’article
SÉRIE des Supplémens,
d^y ’■ BBS j/’Ÿ y
¥ x — <qr y -I----7— O x -J------— - <t> x ' . . , . .
■ "■ d y i d y . .
& par çonféquent,
d iy .
v x = .‘>y + —-— ; <b x -\-
d1 $ y
a dy'. $ x '.
iaifant donc x = <t>y + B , dans la fécondé for-
■ mule , & ordonnant par rapport aux puiffances
de <S>y , il eft aifé de voir que B doit être une
:férié, dont le premier terme fera du fécond dégré,
égalant à zéro le terme qui, après la fubftitution,
eft de ce dégré ; & prenant la valeur qu’il donne
four B , j’aurai celle du premier terme de la vraie
valeur de B ,[ -elle e ft---- • dy— 4 sy ,9 i>e Ferai enfuite
d cjï y '
B = —\---0 y + C . ou C eft une férié, dont le
■ dy . J | B j mm mê mm 7
premier terme eft du troifieme dégré j & continuant
ainfi , je trouverai
4> X = ®7 +
! . 3
d $ ÿ~ d? _+ a
|, &c.
par la même méthode 9
$ y* 2 d$y3 1 5
H 2 Ü 2 3 dy 1 a. 3 • 4 dy'
9 xl H B 1 H
yd1 f y J
a -3 3 *4^y 3 •4.5^'"
fubftituant ces valeurs dans rexpreflion de ¥ x ,
l ’ordonnant par rapport aux puiffances de -qry &
g> y , & réduifant chaque rang de termes , j’aurai
finalement
, i y d ’qty d .Q y 'd 'P y dr^y^d^y „
•8rx=z<ïy-\----d-j-y--------- — — - q --------- / +&C. a dy a . 3 d-f
' . . . . . ferie , dont la loi eft très-facile à faifir.
Il eft aifé de voir que fi <f> x contenoit encore y ,
on aura également la valeur de 'F x en y , quand même
"R x contiendroit auffi .y , en obfervant alors dans la
maniéré de prendrè les différences, que —
— — font alors égaux à ce que devient -
— — . S i, après la différenciation, onmetiy pour
x , ou ce qui revient au même différencier en regardant
comme confiantes lesjv qui fe trouvent dans ■ *- x
& <p x. On voit de-là comment, fi l’on a x ,y = o ,
on aura ( par un férié) x en y , & de même en une
fonûion quelconque de x &Cy. Si l’on veut appliquer
cette maniéré d’avoir en y la valeur de x , lorf-
qu’on a par équation en x &c en y la folution des
.équations déterminées , on obfervera : i°. que fi on
l’applique immédiatement, on n’aura que des expref-
ïions réelles & rationnelles pour la valeur de x :
20. que pouvant prendre poury- telle quantité qu’on
voudra , on aura une infinité" de valeurs de x :
30. que parmi toutes ces valeurs, il n’y en aura de
réellement différentes qu’autant que la propofée
peut avoir de racines : 40. qu’il y en aura un nombre
de convergentes différentes entre elles, égal au
nombre des racines réelles : 50. que fi on prend un
nombre m moindre que n dégré de l’équation, qu’on
faffe a t -J- x — o , & qu’on fubftitué au lieu de x
fa valeur en + , on aura une nouvelle équation, d’où
tirant les valeurs + en férié , on aura autant de
valeurs imaginaires de chaque férié que l’équation
x + 1 a de racines imaginaires, & la propofée
aura autant des racines imaginaires, fi une
de ces fériés eft convergente.
Ces principes pofés , on voit qu’il s’agit d’abord
de favoir diffinguer entre une infinité de fériés celles
qu’on peut prendre par des racines différentes ; foit
donc la propofée a-\- b x c x ' --------- Y p x ~ o /
il eft aife de voir que fi on fait a — o , il y a une
racine qui s’évanouira, deux qui s’évanouiront, fi
on fait à-la-fois a&cb=zo, trois, fi on fait a, b9 c, = o,
& ainfi de fuite. Par çonféquent fi on fait d’abord
b — O t on aura -f- c p x 2=0, l’équation
aura deux racines égalés à zéro , en faifant
a == o , & par çonféquent deux racines infiniment
petites & égales aux deux racines de a -j- c x ' — o
lorfque a eft infiniment petit. Il eft aifé en effet de
voir que « étant infiniment petit, & b manquant, la
propofee a-deux racines infiniment petites , que
dans le cas de deux racines infiniment petites c fo
réduit à être le produit de toutes les autres racines
puifque les autres termes qui entrent dans c , difpa-
roiffent devant celui-là ; & qu’ainfi Æ, qui eft le
produit de toutes les racines, étant divifé par c ,
devient le produit des deux racines infiniment petites
, qui font par çonféquent égales aux racines de
requation a -f- e x ' = o , de même on fait b & c
égaux à zéro, & a infiniment petit, trois des racines
de l’équation deviendront égales à celles de l’équation
a c x 3 — o , &C ainfi de fuite.
Si donc on a différentes fériés qui repréfentent
la valeur (le r , on pourra diftinguer par-là celles
qui font réellement différentes, c , a ,d f qui appartiennent
à des racines différentes.
La méthode propofée Ci-deffus donne une valeur
de x en quantité connue toutes les fois que x eft
donné par une équation déterminée, foit qu’il y
ait,-foit qu’il n’y ait pas de transcendantes. Mais
on n’eft pas fur d’avoir cette valeur par une férié
qui foit toujours convergente. C’eft par cette
raifon que je vais indiquer ici une méthode élémentaire
& tres-fimple , par laquelle on parviendra
totijours à toutes les valeurs approchées de x.
i°. Si la fonûiqn X = o a plufieurs valeurs , on
les prendra fucceffivement ; ainfi X fera confidéré
dans la fuite comme une fonftion qui n’a qu’une
valeur, répondante à chaque valeur de',*-.
20. -On cherchera d’abord les valeurs de x poli-
tives qui tendent X = o , & on commencera par
déterminer pour x une quantité telle qu’en l’augmentant
X ne puiffe plus changer de figne , ni
devenir zéro , ce qui fera toujours pofiible toutes
les fois que X = o n’aura pas une infinité de racines.
Ce dernier cas fe rappelleroit aux autres en mettant
au lieu de x , x — fin. *• par exemple , en effet
alors au lieu de x:9 on auroit a angle dont le
finus eft x ' 9 & au lieu d’un feul X à examiner,'
on en mettroit une infinité répondans à angle dont
le finus eft x + m n , m étant un entier quelconque.
30. Connoiffant les limites de x 9 on prendra
x + -ç- qu’on fubftituera dans la propofée , & on
aura X ' = o , alors — repréfente'ra les différences
qu’il y a entre x & la valeur de l'équation X — o.
4°. Subftituant dans X — a les valeurs fucceffives
en nombre entier de x , depuis x — o jufqu’à fa
limite , & cherchant pour chacune les limites dey',
j’aurai y = < A , A étant cette limite, donc il n’y
a point de racines de X=z o entre cette valeur de x
A
50. Prenant enfuite toutes les valeurs
entre o & la limite de x 9 on fera la même opération
, & par ce moyen on parviendra à approcher
des. valeurs de *■ .
6°. Pour trouver les valeurs négatives, on fera
dans la propofée x = —• x , & on cherchera les
valeurs pofitives de x.
70. Pour trouver s’il y a des racines égales, on
égalera à zéro la quantité —-— enfuite on cher-
dx
chèrales racines pofitives ou négatives., & on verra
fi les racines ne different de celles de X = 0 que