= 77 > & ( I0V>-— i ) q ==,77000- 77 = 715913 ,
donc -py = o , 076923 ; ou bien, quand on a trouvé
77 = o , 076 / j , on prendra le complément à 9 des
trois chiffres trouvés, on l’écrira à la fuite de ces
chiffres, & on aura la période entière.
8°. Une remarque analogue fert à vérifier l’opération
, quel que foit le réfidu. Soit, par exemple,
+jy -—- ou ™-D - un nombre entier, c’eft-à-dire,
qu’après tn divifions on ait le réfidu r , ou bien que
7 7 = o ou fi le quotient eft q , qu’on ait
■ j = ° 4- <l~j) ■> & on aura = r q + , & par
conféquent, quand on aura fait de nouveau m divi-
fions, on trouvera le réfidu r r , ou fi rr > D , ou —
fT> + s , on devra trouver le réfidu s. Concluons
de là qu’on pourra vérifier par-tout l’opération, en
regardant fi après le double nombre de divifions on
trouve le quarré du premier réfidu, ou ce qui refie
après qu’on a divifé ce quarré par D . Il eft de plus
évident qu’on peut continuer cette vérification aufli
fort loin qu’on veut, avec le même réfidu ; car fi après
3 m divifions, il fe r a r3, ou r sou s ', parce qu’on
peut avoir r3z= ( / D + s )r= z fr D + r s= frD - \ -
g D -f- s 1 —f D -f- s ' ; après 4m divifions, ce refte
s " fe déterminera en faifantr4 = ( f D -f-^/ ) r—
f ' r D + s ' r - f ' r D - \ . h D + s "= L f " D + s " , &
ainfi de fuite. 11 eft bon d’obferver aufli que fi r eft grand
& approchant de D , on peut lui fubftituer D —■ r.
90. La remarque de l’article précédent fert comme
celle du feptieme, à abréger confidérablement ces
opérations dont il s’agit. En effet, dès qu’on eft parvenu
à un réfidu qui n’eft que de quelques unités ,
ou qui ne différé de D que de quelques unités,
on peut trouver facilement la période entière fans
achever la divifion effe&ive. On n’a qu’à multiplier
par r le quotient ÿ trouvé par les m premières divifions
, on obtiendra m chiffres qu’on écrira à la fuite
des m premiers ; on multipliera de nouveau cette
fécondé période par r pour ranger ce produit après
le fécond, & ainfi de fuite : on tiendra compte des
valeurs de f ,g , h , &c. ou d e / , &c. & on
continuera cette opération jufqu’à ce qu’on voie les
mêmes chiffres revenir & qu’on ait la fraction décimale
completre, ou du moins jufqu’à ce qu’on parvienne
aux complémens à'9 des premiers chiffres, &
qu’on voie par-là qu’ayant paffé la moitié de la période,
on peut l’achever conformément à l’art. 7. Les
fieux exemples fuivans éclairciront cette remarque.
io°. Exemple premier. Lorfqu’on réduit —| en décimales
, on trouve ~ == o , 043478 £ ,c ’eft-à-dire,
le 6e ou m* refte = 6 ; on en conclut que — — >
-----r;----- 1 6— , &c. font des nombres ent•
i ers, ou bien q2u3 e éit ant = 0 , —10—6+6 , les fix
chiffres qui fuivront ceux que donne cette divifion
feront exprimés par > & ainfi de fuite.
Puis donc que
r — 6,
r *= z6 2= 1.23 - f 13,
r H K H 6B 9 H H = 54- *3 + ». 13 + 8 = 56.
1 3 + 8,6-1;. - , ’
On aura ƒ = i , g = 3 , h = 2 I ƒ " I 9 ; f in s- . <
s = i ^ , - s ^ ;,.s"ca:8,&c. ' ’
' Oit n’a pas besoin d’aller plus loin, parée qiie m
élant = 6 , la période ne peut paffér 4 m chiffres.
O r , les, m premiers.chiffres font 043478; donc
les m fuivans.......... 6. (043478 ) + 1 ou 260869.
w , **j .................6. ( 260869 ) + 3 ou 565217.
W .........................6- 565*»7. ± a ou 391394.
ainfi la période eft de 22 chiffres & ==
o , 0434782608695,652173913 , &c.
& on voit qu’après le onzième viennent les com-
plémens à 9, des premiers.
i i °. J’ai fait entrer dans cette opération les valeurs
de ƒ , g , h; lion vouloit tenir compte plutôt de
ƒ , f , f , voici comment on procéderoit: on mulii-
plieroit les premiers m chiffres par 6 , le produit de
même , & ainfi des fuivans ; on ne tiendroit compte
qu’à la fin des relies négligés, & on difpoferoit
l’opération de la façon qui fuit :
TF = °> ° 43478
2608681
565208
9391248
____________________ 561V don
7J = 0 , 043478260869565217391304, & C . ° nC
1 20. La meme operation enfin peut aufli fe réduire
à la forme fuivante :
puifque = 0 , 043478 ^ ,
o n a ^ = o , 260868 f f = 0 , 2608697};
donc j j — Oy 043478260869 7 } ,,
& r f = ° > 56 5Z1.739I297 + - ÎT > <>“ + 7 7 7 ;
on ne peut pas le méprendre fur les valeurs décimales
des multiples de ~ qui font à la fin de ces
périodes, & en joignant les deux dernieres, on a la
même fraction périodique complette que ci-deflus.
130. E xemp le deuxieme. On a f? — o , 011235
Ici le 6e ou /71e refte eft 8 5 ou — 4 , & -tÀ
un nombre entier. En reprenant les lettres de la
remarque 8e, nous aurons donc
" = ( - 4 ) ’ = + »6,
r ,;? Ê t + ) ’ *?■ - 6*>
r * — (— 4).4 = + 2.50, ==2.89+ 78 ,
^ = ( - 4 ) ' = S 89 --4.78 = - 8,89 -3 .8 9 - 4 5 , ’
r6~ W 4 + - + 44-89 + 18 0= + 4 4 .8 9+ 2 .8 9 4 -2
'■ '=( — 4 ) 7 = — 184. 89 — 8,
r s- ç ( — 4 ) s== + 7 j6 + 32 ; par conféquent,
après 2 n divifions, le 12€refte s fera=i6 9
3 n.................. 18e • ••• . . . =89--64=25
4 '71..................24e . . . . j 11 . . . =78
5
6/
n .............. - 30e
” ..................36c
. . . . ^ . . . = 8 9 - -45=44
7 OT..................4 *e . . . s * . . .= 8 9 - -8=81
8/ 1..................4<>e . . . * VI . . . = 32
on aura de plus
/ = o = 9 , A = ? , 4= 0 3 , k = + 2, /= o , n — o ■
= _ , , / x v - 4 6 j y = l . l g 4
= 736.
Je n'ai pas continué cette énumération, parce que
li avant que d aller plus loin, on applique ces don-
nées, on trouvera que la période n’eft que de 44
termes, &c puifque le 48e refte feroit 32, il s’en
enfuit que 32 doit aufli être le 4e refte.
140. Une remarque pareille à celle du n° 9 a lieu
aufli, lorfque r ou D — r , fans être précifément un
petit nombre, eft un multiple ou un fous-multiple
d’une puiflance de to ; fi, par exemple, le>réfidu eft
25 , au lieu de multiplier les m chiffres par 25 , je
les divife par 4 , & j’avance la deuxieme rangee’ de
deux places , fans quoi je la prendrois too fois trop
petite, & je tiens compte des réfidus. *
1 50. On déduit facilement de la formule qUe
divifé par le nombre qu’exprime le chiffre 9 répété
s fois : par exemple, f î ^ o , 076923 , <$*c, — JU v * î .
il ferait donc utile d’avoir une table qui contînt pour
plufieurs nombres 9 , 9 9 ,9 9 9 , &c. les nombres premiers
qui en font des faûeurs , piiifqu’on y verrait
pour un grand nombre de fractions -p de combien de
chiffires deviennent les périodes de leurs valeurs
en
en décimales ; il eft clair- que la conftruââon d’une
telle table dépend de la recherche des divifeurs des
fommes delà progreffion géométrique i -F io 1^-
102 -F 10 3 -F &c. & cette confidération la rend
moins rebutante qu’elle ne le fembie d’abord ; j’en ai
même déjà fait le commencement, & cette ébauché
fe trouve à la fuite d’un petit mémoire fur ces divifeurs
de.T, 11, m , ô’c. que-j?ai donné dans.le même
vol. I I des Nouveaux Mémoires de Berlin.
Après la table qui fait le fujet de ce qui précédé,
envient une'autre dans laquelle j ’ai inféré les fractions
décimales périodiques que donnent plufieurs
fractions -y , dont les dénominateurs font les produits
de deux nombres premiers D & d; fi ori veut
la continuer, voici quelques remarques dont on
pourra faire ufage.
i°. Quand on connoît le nombre s dé la' période
de *e nombre e de là période de -L , on fait toujours
quel fera le nombre t de la période de ; Ce
fera ou s e ou le plus petit commun dividende —
entre j & a- ; car i o J.-r i étant toujours divifible
par Z) & 10 ' — i par d, il fuffit que io< — i foit divifible
, tant par io f — i que par io ff - i = pour
l’être par D 6c par d.................. . *
i & ^=.4 . étant toujours des nombres
p?ms 3 <l-s..eijfmt qut m e peut jamais fur-
paffer .
' ° " aur?,acu® f = # > .& R O B r trouver
la période meme, il fuffira qu’on divifé, foit par
d » celle de ^ , fcit par D , celle de - i , la divifion ne
pourra manquer de fe faire-fans- relie.
4 “. Mais fi 1 1 r & > que v , il faudra effeSuer la
divifion reelle, ou appliquer les remarqués'faites''^
précédemm ent aux ,1" 9 ; on pourra mémé dé- ■
terminer fréquemment,-fans aucune réduaion de’-i.
en décimales, le réfidu à employer conformémentà
l ’article 9, Il fuffira de divifer. par dla période de-g-,
ou par D celle de en voici un exemple.
Je veux déterminer la période de +5;=— =-.
J + 7 7 = ° . OÏ88235294117^47 -f. 1 ; - , -
Si jé.divife ,cette période, par 7 , il entéfulte
|75;= 4,^0.484033 613 44 5 3 781. + — ' f j -
donc le refte r aprèsla 16£ divifion, eft = j + T+7,~ iS. ;
Les 16 chiffres fuivans feront par conféqùênt 18
fois-plusgran)is avec un.réfidu 86, à caufe de. ■
ï 8 .18.— 3 24 = 2 .1 19 +-86, & après la 48e divifion-,
on doit trouver le refte r ■ - = .i,.v u que 48 eft le plus •
petit commun dividende entre ’s = 6 & „ = r$ t &
en effet, 86. 18 = 1 548— ,3 . 119 + 1 ; fT de plus
pn tient compte de 49. 119 , à caufe de ƒ = 2 à de
~ J ^ + 13 — 49*, ^ nèv reliera plus qu’à difpofer
Ipperation dé la maniéré enfeignée plus haut au
50; On obfervera dans la table que la deuxieme &
la tromeme remarque fouffrent une exception, lorfque
D = d , vu que pour on a t = 42 =.(Z> - 1 )
d ; & que pour 7 /— & on a & non
pas s tr. Je rends raifon dè cette exception dans mon
mémoire, & elle ne petit manquer d’avoir lieu, à
moins que lo r - 1 ne foit divifible par D D , ou que
la période ou le quotient -ne 101t divmble
core par D , comme c’eft le cas pour i = -l.■ -r
t in ,& c. | 9 3 3 ~
fe^e 1 ^es remafC|ues précédentes fervi
alternent à conftruire aulfi une table pour desj
B * ’ telles 'ï116 p ^it le produit de plus de deux
«îpmbres premiers.
Tome 1IIA
, Si.an contraire P ,é(oit le produit d’un nombre
premier par quelque puiflance de 2 ou,dê 3.,on obtiendra
, à la vérité, pareillement des fractions déci-
males périodiques, & qui ne feront pas môme diffi-
crles^â dciernuner mais on remarquera qu’elles ne
peuvent commencer avec le premier chiffre, elles
ne commenceront qu’ap^ès une ou. plufieurs figures,
fM r ; quand l’influence du nombre- 2 *5» aura
“ ependra des dimenfions de » & q.
I H f l e x e m p f e . '^ V , 416666, SÊHËI WÊÊ
I H l J Par «*— I B 'c’en jutant que fi je divifois
d abord 5 par 4 '& enfuite par 31 Or,’ la ’divifion b i -
4 donnern quottentfini qui s’étènd’à 2'décimales ,
on a q _ 1 , 25 ; ce quotient divifé'enfuite pai /
' 4 1 6 6 6 6 ,6-ç;èé(té w Ê Ê Ê Ê K m
ne peut par conféquent avoir fon effet qiîe lorfqii’on
parvient A l j -troifieme place des decimates, & que
les figures fignificafiyès dli premiéi-'quotient vienî-
nent à manquer. Parèillemem £ ~o,'_4 & H m 571448', 5714 > 6-c. 1
m m m m m i b m m i h
6e 803 ^3.714, 6-c. .
Pour dire quelques mots m«sieifiajt}ons
; ^kseérçodsqms, prpdujtes+ar des fractions oui ont
des nombres premiers dans le'dénominatïur & d’autres
nombres: que l’unité pour numératsæ-ffoit-g
une/Màmirdtt cette efpece, il efl évident que f. le
nombre des décimales pour D eft D — r , on aura
pourVnle même nombre dechiffres&'auffi lêsmêmes
- cmftres, mais rangés dans un: autfé' ordre ; car le
premier chiffre fera le nombre qui dansfa divifion
de r par D réfuta*.du re'fté m /par e^eiiiple '# = 0 '
1 4 2 8 5 7 ,^ . ma isi= ï 6i, 44857ir,'S'c pa, la ta,(on
que la divifion commence;par 3 , qu; étoit le feélbà
reite dans celle de ~.
■ t e s redùêtions de fractions i- e n décimales , ferr
; V-ironr donc immédiatement aufli- pssur an nombre
confidérable de fractions' telles que -J ; mais-outré
qu’ôn peur n’a # ir pasjjfbitsles y e u ila réguâipn dè
. i/j. c,n çecimales, il y a des cas où le nombre m ne fe
trouvera pas parmi les refuhis de la divifion de-r paï
//, de ces cas auront lieu fréquemment, quand le
nombre, dé chiffrés ne fera pas; .D — , , maisfesle-
. ment un divifeur d e .Z> - 1 ; je ne facile; pas-alors
:;.d autre expédient quedefmultiplier.direâemèjït par
m la /r.,r7iô/i décimale équivalente à-’ ; par exemple,
° n "Ç.^rofive pqint le reYidu 7 dans lq ré.duaion de
vj,6c Z- = û , 538461, 6-c. où ies chiffres ne (ont
plus les memes.
On qbferve qu’ap refte, le nombre S . chiffres
reliera toujours le même que pour + , parce que -66
eft fuppofé moindre que 1 r&%ue fi > 1>, on cohiâ
mence par mettre les entiers de côté pour n’opérer
que fur la fraction p , en entendant par p. le réfidu de
la divifion de D en p..
Ces idées fuffifent pour étendre extrêmement les
tables qui font jointes à cet article ; & afin de faciliter
ce travail à qui voudra s’en charger, je conferve
les papiers fur lefquels j ’ai Fait mes divifions en décimales.
Je finirai en remarquant que s’il fe préfente una
faction décimale périodique dont on veuille afîignerla
valeur, il fuffira d’écrire fous la période le nombre
9' répété autant de fois qu’il y a de chiffres dans la
période, & de réduire estte fraction à fes moindres
termes. Soit donnée par exemple la fraction périodique
o , 296 296, &c. fa valeur fera } } | , fraction,
qui fe réduit à-^y, en divifant le numérateur par 3 7 ;
Si on veut s’éclaircir fur l’ufage qu’on peut faire?
P