proposée eft produite par la comparaifon des équations
Z = ot dZ~o, d iZ =xo.. .. dn Z = o . Ces
«quations font au nombre de n 4 - 1 ; & comme chacune
d’elles contient jd.e nouvelles différences, on
ne peut éliminer par ce moyen que n confiantes,
qui par conféquent ne fe trouvent plus dans la pro-
pofée , &c font arbitraires dans Y intégrale.
x°. Soit C la première de ces arbitraire? , qu’on
puiffe faire évanouir , en forte qu’on ait « équa-,
lions fans Ç : on voit que fi on ajoute à C la fomme
4’un nombre indéfini de fonctions logarithmiques, ou
qu’on multiplie la même quantité C par le produit
d’un nombre indéfini d’exponentielles , telles que la
différentielle des expofansfoit algébrique, les logarithmes
, ou les exponentielles dilparoîtront en
même tenis que C ; &l il ne reliera plus dans les
équations que la différence, foit des expofans, foit
des fondions logarithmiques ; foit C' la fécondé confiante
qu’on puiffe faire difparoître pour avoir n— i
équations , on trouvera, i?. que C' peut fe trouver
dans les différences des fondions difparues avec <7;
2°. qu’il peut être multiplié comme <7 par un produit
d’exponentielles , ou ajouté à une fomme de
logarithmes , fans qu’il relie autre chofe de ces fonctions
apres 1 élimination que la différentielle des logarithmes
ou des expofans.
3°. La propofée peut toujours être mife fous la
forme A Z-{-Bd Z + C d* Z . . . + Q d " Z = o.
A ,B , C > . . . Q f ne devenant point infinis lorf-
qu on y fait Z = o , on peut donc fuppofer que la
propolee efl de la forme P. d A ‘ Z + B ' d Z . . . .
•4-Q /^"-IZ = o . En effet, comparant terme à terme
Cette forme avec la précédente, on a autant de
coëfficiens indéterminés que d’équations.
4°. Parmi les équations fans C du «°. a , il y en a
une du premier ordre , une du fé co n d ..............une
du : & parmi les équations fans C & C , il y en a
une du fécond ordre, une du troifieme , une du ne
& ainfi de fuite. Puifqu’on a une valeur de C ' en la
fubftituant dans celle de Ç , on aura une valeur de
C fans C1 ; de même fubftituant la valeur de Ç" dans
celles de C & de C 3 on aura une valeur de Cfans C'
ni C ', & de C1 fans C11, Sc ainfi de fuite ; on aura donc
des valeurs de chaque arbitraire C , C\ C",.... telles
que les autres arbitraires ne s’y trouvent point, non
plus que les fondions logarithmiques ou exponentielles
qui peuvent leur avoir été ajoutées ou les avoir
multipliées. Dans les équations qui donnent cette valeur
de chacune des confiantes arbitraires , on peut
fuppofer qu’elle eft multipliée par une fondion exponentielle,
ou qu’elle eft ajoutée à une fondion logarithmique,
ces fondions pourront être de l’ordre n—j .
La différentielle de ces logarithmes ou des expofans,
fera algébrique ; en forte que chacune de ces équations
étant différentiée, pourra produire la propofée.
La propoféç aura donc un nombre n d’intégrales
de l’ordre n— i , contenant chacune une logarithmique
, & telles qu’éliminant les différences , on çn
deduife l’intégrale finie.
5°* Si la propofée eft du premier degré, & ne
contient pas de radicaux, le faveur qui peut la rendre
une différentielle exafte , peut être fuppofé ne
point contenir de termes de la forme P » , m P étant
rationnel, & un nombte incommenfurable. En
effet, dans ce cas, la propofée ne contenant pas Pm,
il faudroit que le coefficient de P " fût arbitraire. Or
fi ce coefficient eft arbitraire , repaffjnt dans l’inti-
gralc des logarithmes aux nombres , on verra qu’il y
aura toujours une autre valeur du fa v eu r , qui ne
contiendra point P - : il n’en eft pas de même des radicaux
commenfurables, parce que quoique le coefficient
dup i , qui pourrait relier dans la différentielle
exafte, foit arbitraire , cependant comme P
& fes puiffances s’y peuvent trouver auffi, fans que
leurs coëfficiens foient arbitraires, il ne s’enfuit pas
que celui de p Ÿ » le foit dans l’intégrale.
6°. Toute équationdu premier degré aura un facteur
de l’ordre n— i , qui la rendra une différentielle
exaéle : Je faveur fera algébrique , fi l’équation propofée
ne contient point de tranfcendantes • & fi elle
en contient; il ne pourra contenir que ces mêmes
tranfcendantes , & fera une fondion algébrique
des variables & des tranfcendantes. Puifque la propofée
a n intégrales differentes de l’ordre n ~ i ü
eft aifé de voir que ce fadeur algébrique a une infinité
de valeurs , mais qu’on peut en trouver «qui
donnent n différentielles exades, dont on puiffe tirer
n intégrales différentes, & éliminer les différences
qui y relient, afin d’avoir l’intégrale finie.
7°. D ’après l’article 5 , le fadeur peut contenir
un radical commenfurable , quand même la propofée
feroit du premier dégré; mais ce radical ne fe
trouvant pas dans la propofée , chacune des racines
de l’équation qui donne ce radical doit donner une
valeur du fadeur: o r , comme le fadeur ne doit
avoir que n valeurs réellement différentes , l’équation
qui donnera le radical ne devra pas non plus en
donner un plus grand nombre. Si m < oii = n &:
qu’on ait le fadeur par une équation de ce dégré
qui ait tous fes termes, on aura à la fois, en réfol-
vant 1 équation au fadeur, m différentielles exades
dont chacune donnera une intégrale de la propofée.
Si la propofée mife fous une forme linéaire , par
rapport aux plus hautes différences, contient des radicaux,
ce que je viens de dire a lieu également ;
mais ces radicaux entrent alors comme de nouvelles
variables dans l’équation au fadeur, n étant,toujours
l’ordre de l’équation ; on voit qu’en général on
pourra fuppofer l’équation algébrique au fadeur du
dégré p n ; mais ne contenant que des puiffances p
du fadeur; p peut être quelconque.
8°. Uintégrale finie , outre x , y peut encore
contenir la variable { dont la différence eft confiante.
Cela arrive lorfque faifant d y = A d x , d A — B d x
d B = E d x , & c . la propofée ne devient pas F d x ,
ou bien lorfque après avoir fuppofé dans la propofée
d x confiant, & eompletté l’équation qui en ré-
fulte en remettant au lieu de 7* d j j , d2 au lieu
j dddy 0 ■
de Tx~? y on retrouve une équation différente
de la propofée. Dans ce cas , un des fadeurs qui
rend la propofée différentielle exade d’une fondion
de l’ordre immédiatement inférieur , la rend en
même tems de la forme d d B , B étant une fondion
d’un ordre inférieur de deux unités, & peut même
dans quelques cas la rendre de la forme d iB ' ,B '
étant une fondion de l’ordre n — 3 & ainfi de fuite ;
mais fi V étant la propofée & A\ e fadeur, A r=z
d d B , £ A V eft une différentielle exade , & fi A V
xzdï B , ^lA V eft encore une différentielle exade.
Si x avoit eu fa différence confiante , alors on auroit
A »x A fX1 A quiferoient également les fadeurs de
la propofee. Cela pofé, fi on fait dans la propofée
d x confiant & qu’on intégré enfuite, on aura ce
que devient l’intégrale de la propofée , lorfque i = x ,
& par conféquent pour avoir la vraie intégrale, il
n’y aura qu’à mettre { au lieu de x dans toutes les
fondions ax + £, a & b étant arbitraires.
Ces principes pofé&, il n’y a point d’équation
qu’on ne réfolve en faifant les opérations buvantes.
Première opération. Quelque nombre de tranfcendantes
& de radicaux que contienne la propofée,
on la réduira à être une équation algébrique & du
premier dégré, en la différentiant une fois de plus
qu’elle ne contient de tranfcendantes. Il faut en effet
une différentiation pour chaque tranfcendante, &
une feule fuffit pour tous les radicaux* '
Cette première opération ne feroit néceflaire que
lorfque les plus hautes différences entreroient dans
les tranfcendantes, autrement on pourroit intégrer
en regardant les radicaux & les tranfcendantes
comme de nouvelles variables ; mais j’ai cru devoir
préférer ici la méthode la plus fimple.
Deuxieme opération. La propofee qui a fubi la
première étant de l’ordre n , on fuppofera qu’étant
multipliée par un fadeur A , elle devient une différentielle
exade ; on mettra dans les équations de
condition à la place des différences entières ou partielles
de A leurs valeurs tirées de l’équation a +
b A m + c A - \ - e A 3m, &c. ou <z, bf c , e, &c.
font des fondions rationnelles & entières d e x , y ,
dyy dxy ddy, d d x , &c. d n~ * y , d n~ 1 x , ou feulement
de Xy y ,% , y-Jr* ~— Si d x a été fup- dx
pofé confiant, on fuppofera enfuite que l’équation
hypothétique en A admette l’équation ou les équations
qui naiffent après la fubftitution précédente, &
celafuffira pour déterminer les coefficiens dans«*,
b y c y e y &c. ôc le dégré oit monte A . Si la propofée
eft du premier ordre , comme elle ne doit avoir
qu’une intégrale, l’équation en A fera de la forme
a p A m — o ; f i elle eft du fécond , l’équation fera
a + p A m+ q A ïm = o , & ainfi de fuite, enforte
qu’elle fera toujours pour chaque ordre d’un dégré
déterminé, & pourra être fuppofée ou de ce dégré
ou d’un dégré inférieur.
Troifieme opération. La propofée étant devenue
une différentielle exade d’une fondion de xy y ,d xy
dyy........dn~ 1 x , d n~ 1 y, ou bien d e x 9y t — , . . . .
-— 3 7 , & d’un radical de la forme convenable, on
lamettrafous la forme jzd x -lr jÿ d y -^ - d d x -J-
-jjT d d y y. . . . & on aura ( par l’art. Possible,) les
valeurs de 7— > , &c. Si on avoit fait d x confiant,
on ne pourroit avoir par cet article que 7 ÿ T J ~ y
& c . & pour avoir 7 j , il faudroit retrancher de la
propofée la fonûion connue^ d y +
& divifer le refte par d x.
Quatrième opération. On cherchera par la méthode
d’autres différences exades , jufqu’à ce qu’on en ait
n qui donnent des intégrales différentes. Cela pofé,
il faut remarquer i°. que fi on a une intégrale algébrique,
toute fondion de cette intégrale étant multipliée
par le premier fadeur, devient elle-même
un nouveau fadeur qui rend la propofée différentielle
exade ; mais les deux intégrales ne font pas
différentes. Si donc on connoît deux fadeurs qui
rendent la propofée une différentielle e x ad e , &
qu’on veuille favoir fi ces deux différentielles donnent
deux intégrales différentes fans s’être donné la
peine d’intégrer en pure perte, après avoir fait l'opération
j .dB dB dB or • n
troifieme, on verra fi les deux valeurs qu’On a
> -J77, ou XrfJ"» &c. font proportionnelles
aux deux fadeurs; lorfque cela arrive, on aura 17«-
tegrale immédiatement, en égalant à une confiante
arbitraire un des fadeurs divifé par l’autre. z°. Si
on connoît deux fadeurs qui donnent deux intégrales
differentes, & qu’on veuille favoir fi un troifieme
fadeur en donne une différente, on pourra
d’abord voir fi en comparant la troifieme différentielle
complette avec chacune des deux autres, elle
n’eft pas dans le cas dont je viens de parler ; enfuite >
apres avoir fait la troifieme opération, on verra fi
la première différentielle exade, ajoutée à la fécondé
multipliée par la confiante « , ne donne pas la troifieme
; fi elle la donne, il faut alors chercher up
nouveau fadeur; linon, après avoir trouvé les deux
intégrales qu’on fait devoir être différentes, en
avoir tiré, fi cela eft poflible, une intégrale algébrique,
la troifieme différentielle exade donnera
une nouvelle intégrale , ou fera la différentielle
exade d’une des intégrales, plus une fondion de
l’intégrale algébrique, ou d’une fondion dçs deux
intégrales y fi toutes deux font algébriques; ce qu’on
pourra connoître après avoir fait la troifieme opération
-, fans avoir intégré la troifieme différentielle
exade.
En général, il faudra vérifier fi la différentielle
exade dont l’intégrale doit être différente, n’eft pas
différentielle exade de la fomme des intégrales logarithmiques
multipliées par des coefficiens indéterminés
par une fondion quelconque des intégrales algébriques
; ce qu’on pourra faire fans avoir intégré
la différentielle exade qu’on veut examiner, & par
conféquent on pourra fe difpenfer de faire des intégrations
en pure perte de différentielles dont les
intégrales rentrent les unes dans les autres.
bi d x n’avoit pas été fuppofé confiant, & qi4*on
eut une intégrale algébrique, ou il faudroit ajouter
la confiante N d ^, ce qu’on connoît fans l’intégration,
on chercheroit un fadeur qui multiplié par
rendroit encore la propofée différentielle exade; ôc
fi l’on devoit avoir l’arbitraire N ^d £, on cher*
cheroit un fadeur qui, multiplié par 7a , auroit
cette même propriété, & ainfi dé fuite.
Cinquième opération. Puifqu’on n’a plus à intégrer
que des différentielles exades, des'fondions du premier
ordre de «-J- 1 ou z n variables , félon que
x eft ou n’eft pas confiant, on aura les intégrales par
la méthode des quadratures ( f^oye^ l’art. Q u a d r a t
u r e . ) .
En effet, fi le fadeur ne contient pas des radicaux
, on aura Yintégrale par la méthode connue
pour les fradions rationnelles; s’il en contient, ou
on fuivra celle que j’ai propofée à l’article Q u a d r a t
u r e , ou bien différentiant après avoir fait évanouir
le radical du fadeur, on aura une équation entre
«-J- 1 ou 2« variables: elle fera du fécond ordre,
& on pourra fuppofer fans radicaux le nouveau
fadeur qu’il faudra chercher ; lorfqu’il fera trouvé j
on n’aura plus qué des différences rationnelles à intégrer.
On obfervera ici que le fadeur étant donné
par une équation qui en produit plufieurs valeurs ,
cela diminue le nombre des fadeurs qu’il faut chercher
; & que dans le dernier moyen que je propofe
pour intégrer les différentielles exades qui contiennent
les radicaux , l’intégrale qui refte à trouver
pour l’équation du fécond ordre donne toutes les in*-
tégrales qui répondent aux différentes valeurs du
fadeur, en y faifant les bibftitutions convenables.
Sixième opération. Par le moyen des n intégrales_
différentes, il faut trouver Yintégrale finie, ce quj
ne peut fe faire qu’en éliminant les différences; il
faut donc que les n intégrales foient telles que cette
élimination foit poffible, & fi celles qu’on a trouvées
ne fatisfont point à cette condition , il faudra,
en chercher de nouvelles ; mais il ne fera plus q^ie-
ftion d’examiner fi elles feront différentes. On pourroit
fe difpenfer de la cinquième opération, en cherchant
d’abord un fadeur tel que la propofée devienne
une différentielle exade & qu’on puiffe eri
tirer la valeur de ~—~ t ou d n ~1 y , enfuite en cher- dx '
chant Une différentielle exade telle qu’on puiffe,