qu’une feule de ces intégrales foit linéaire, quoique
la différentielle du fécond ordre le foit; ainfi , cette
différentielle n’aura pas néceffaireraent deux intégrales
linéaires du premier ordre.
Je n’ai jufqu’ici parlé que d’une feule équation -linéaire
entre deux variables; s’il y en avoit/« entre
m + i variables, & qu’il fallût les intégrer fans avoir
éliminé, on trouveroit en les multipliant chacune
par un faéteur, fonttion de xr, Sc fuppofant que leur
fomrne eft une différentielle exaéle, un nombre ni
d’équations entre un nombre m de fafteurs, ce qui
les aétermine en x. Appellant enfuite X un de ces;
faéteurs, on aura en éliminant chacun des autres fac-,,
teurs égal à une fonélion donnée d e x riX & fes différences.
On aura toujours une équation X -\ -C d X
— o y C étant algébrique, C pourra être donnépar'
une équation d’un degré égal à i , z ,.3 .. ..«-+• 1 ,
divifé par un divifeur de n + 1 , n étant ici là fomme
des ordres de différences dans toutes les' équations.
Et li en déterminant C, on ne trouve qu’une valeur
pour C & pour X , il faudra, comme dans le cas oîi
il n’y a qu’une équation, employer la méthode désintégrations
fucceflives.
G’eft à M. d’Alembert qu’on doit l’idée de réfoudre
plufieurs équations différentielles à la fois &
fans avoir éliminé ; & il a réfolu ainfi les équations
aux équations linéaires, dont les coëfficiens font con-
ftans.
On pourroit encore dans un autre fens rdonner
le nom d'équations linéaires aux équations de la
forme y — xr p £ = p ' £ étant Sc ces équations
fe rappelleront aux équations linéaires ordinaires
par une nouvelle différentiation ; car on aura dy —
d x y 1 — x d ç £ = d tp f , & en mettant pour dy (à
valeur £ d xr — d x x d p £ = <p' £
L’intégrale étant trouvée par la méthode ordinaire,
on y mettra pour £ fa valeur tirée de la pro-
pofée, & l’on aura l’intégrale cherchée. Si <p' = 0,
c’eftle cas des homogènes, 8c l’intégration eft plus
fimple ; f i ç { = ^ona</{ = o , d’où on tire y -f- a x
-\-b — ô, a & b étant arbitraires ; mais prenant {= a
8c le fubftituant dans la propofée, on en aura l’intégrale
cherchée qui ne doit contenir qu’une arbitraire
, le faéfeur x — d <p [ étant comparé avec la
propofée, en donne de plus une folution particulière.
Voyez les Mémoires de Pètershourg.
M. Euler a propofé les équations comme un
exemple d’intégrations facilitées par la différentiation
, ce qui vient de la difpofition des arbitraires.
Des équations linéaires aux différences finies. Si on
a une équation de la forme A Z q- B a Z q- C a *£....
q -P A n{ = R y il eftaifé devoir qu’en fuppofant que
multipliée par Q elle devienne une différentielle exacte
, on aura pour Q une équation de la fo rm e l' Q-f-
B ' a Q . . . + P ' A n Q = o , 8c fi on connoît «valeurs*
de Q intégrant 8c éliminant, on aura Q.On verra auflï
que Q aura toujours une valeur de la forme F e^x »
e ax Q ' Q ' étant algébrique, 8c ne pouvant contenir
de radicaux du dégré » + 1 , parce qu’on auroit
alors n + 1 valeurs différentes de Q. Si les coëfficiens
de l’équation propofée font conftans,on pourra
faire Q = a ep x -{-bep x -\-cep x . . . .le nombre de
ces fondions étant « ,p , p 'p " étant les racines de
l’équation ehep^x qu’on trouve en mettant pour Q ,
a epx dans la propofée a y b y c , font des fondions arbitraires
de epx, 8c fi l’équation en ep - * a deux racines
égales, on mettra a e Px -\ -b x e p x ( p = : p '') ,
au lieu des deux premiers termes, 8c ainfi de fuite
pour un plus grand nombre de racines, égales. On
voit combien cette folution a de rapport avec celle
des équations linéaires aux différences infiniment petites.
M. de la Grange a publié un mémoire fur cette
matière dans le premier volume de l’académi,e des*
fciences de Turin; on peut confulter auffi fur cet
objet le volume de l’académie des fciences de Paris,
année 1770., Sc plufieurs mémoires de M. de la Place,
inférés dans le quatrième volume de l’académie de
Turin, 8c dans les Mémoires de l'académie de Paris.
Des équations linéaires aux différences finies è in f i-
mment petites. L’équation y + ~ -J-’ b ( y + A y ) —
0, jeffàtéy == e?*, & j’ai 1 q- * ƒ + be^ == o. Je remarque
d’abord qu’il n’y a aucune fonction finie de
<r& b qui puiffe repréfenter ƒ ; je remarque enfuite
que fî j’appelle ƒ 8c f f deux valeurs de ƒ , que je
fuppofe avoir lieu en même tems, j’aurai 1 -f-« /'qb
e f '=z o , 1 q- a f ‘1 -J- b e-f ' ;= 0 . M M ; d’où ef ' a f + ef l =
a f ’ + S !k a = -ici: 17:-f
/ - ƒ
d’où l ’on voit que pour une infinité de cas f doit
avoir deux valeurs ; l’équation 1 -j- a f -J-1 b e^x=. o efl:
facile à conftruire par les courbes. En effet, foit la
ligne droite 1 + ay -j- b 8c la ligne courbe exponentielle'
x= . efi, les interférions de ces deux lignes
donnerontdes. valeurs de / ; regardant x comme l’abf-
ciffe, il eft aifé de voir que dans les courbes il répondra
à chaque valeur de a? pofitif une valeur réelle
8c une infinité de valeurs imaginaires de y ; ces valeurs
imaginaires font données par des branches de
courbe abfolument femblables à la branche des valeurs
réelles,mais placées à une diftance imaginaire
de l’axe ; donc la ligne les coupe à une diftance de
l’origine de x égale à celle où des parallèles à cette
ligne droite' & diftântesde l’axe de ces mêmes quantités
coupent Ja branche réelle : o r , ces quantités
font indépendantes de la valeur d e y ; donc con-
noiffant deux valeurs ƒ , 8cc. f de f , nous aurons
pour l’intégrale de l’équation propofée , y = e f x .
A c î'S-(- B i b‘ * + C / * , Scc. + / ' x A ' e *'■ *+ B ' et!x,
&c. cette férié tenant lieu de la fonftion arbitraire.
Si les deux valeurs de/doivent être égales, alors
on aura a q- b e 0; donc e ^ , donc ƒ =
l —j , &c. l’on aura
+ B p ”'i’. . . + 4 Ê i A 'e''x -
-f- B ' eb ' * y & c. En effet, on voit qu’en mettant dans
la propofée x epx au lieu d e y , on aura des termes
multipliés par x 1 e 'Xy & d’autres par e , &c. & que
le coëfficiënt de e-** doit être égal à la différentielle
de celui de pxf après l’avoir divifé par d f.
Soit l’équation y + a + £ ( y + a y ) q-e
1 s ( y + x A y
je fai s y = A e ^ “ , S c j’ai i + a f + b e f + c f c s +
e f i g e xf = 0.
Si maintenant je fuppofe, comme ci-deffus, que
j’ai cinq valeurs données de ƒ , & que je cherche à
déterminer les cinq coëfficiens de la propofée, j’aurai
les coëfficiens par une équation linéaire ; donc il
y a une infinité de valeurs de a , b , &c. où l’équation
en ƒ a cinq racines réelles. On trouve que celui
des imaginaires eft infini ; en effet, on peut toujours
conftruire la propofée par l’interfeélion d’une fec-
tion conique & d ’uùe logarithmique : chaque branche
imaginaire de la logarithmique pourra être coupée
par la fettion conique, & le fera à des points corref-
pondans aux mêmes abcifles que fi la branche réelle
étoit coupée par des feûions coniques femblables ,
mais placées à des diftances imaginaires de l’axe, &
l’on aura pour arbitraires des fériés comme ci-deffus.
Paffant maintenant à l’examen des cas particuliers
, j’aurai d’abord en faifant g & ç = 0 & c = =
b a y l’équation 1 4- b e? ( 1 q- a ƒ ) ==l0 , ce qui
donne les deux folutions ƒ = — & e ƒ = =-g ; ainfi
l’intégrale complette fera y == e —\ x A-\- e* x 9
B y B étant une fonttion qui refte la même lorfque x
eft augmenté de l’unité.
Soit e = o y & que 1 -p b e f -\-g en^=z 0 ait une
racine commune avec l’équation a-\-ce == 0, j’aurai
y égal à un terme e^xB , où B fera une fonâion
arbitraire, comme pour le cas des différences finies.
Si au contraire, g — o & que 1 q-a /q- c / a = o
ait une racine commune avec l’équation b-{-c ƒ = o9
j’aurai y égal à epx multiplié par une feule confiante
arbitraire A ; les autres racines donneront des équations
en férié.
Ces cas font ceux où la feûion conique dont l’in-
terfeélion avec la logarithmique donne les racines ,
fe réduit à deux lignes droites.
Le cas des deux racines égales fe traitera comme
ci-deffus, & l’on peut diftinguer le cas où l’équation
en ƒ feroit le quarré d’une feule équation linéaire.
Celui de 3 , 4 , 5 racines égales fe traitera de
même, & il ne fera pas difficile de démontrer en
général que y = tA x ne f x,réfolvera toute équation
de ce genre, où l’équation en ƒ aura n q- 1 racines
égales.
Je ne m’étends pas davantagé fur cet objet, les
autres ordres n’ont pas plus de difficulté ; St en général
, les équations linéaires de quelque nature
qu’elles foient, fe réfolvent du moins en fériés par
la fubftitution d’une fonélion exponentielle. Voyez
les Mémoires de l'académie des fciences de Paris , année
17jp. y & la fuite, de cet article.
D'une efpece d'équations linéaires aux différences
finies 6* partielles. Soit Z = A F f x q. a y ) q- i? F 1 ( * +M) + CF"(*I+H +-0 ma *+<y)
& c . l’intégrale d’une équation aux différences partielles
où les F délignent des fondions arbitraires, &
où A » B y C y D y &c. font des fondions de y . Je
fuppofe que lorfque £ = f ,y = ƒ ' ; que lorfque £ =
g , y = g ' ; que lorfque £ = h , y = h.' ; que lorfque
^ = / , y = //, & ainfi de fuite. On aura donc pour
déterminer les fondions, les équations -
ƒ = ^ F x q- a ƒ ' - B F 'x + b f - C F " x + c f ' -
D F " l 'x q- e f — &c. = o h - A ' F x + a h ' - B 1
F 1 x -\-bh' — C F " x q~ c A 1 — D ' F 1,1 x q~ e h
èc — o g — A " F x -\- a g 1 — B " F ' x q- b g' —
C" F " x + c g ' - D " F ^ x + e f f — & - o l - A '"
F x + a l ' - B F ' x + b l ' - C'" F 'x + b l ' - Ç ' "
F " x q- c 1' — D F 1" x -j- e 1' — & == 0, & ainfi
de fuite-, les A A ' & B B ' &c. étant ce que deviennent
les coëfficiens en y , Iorfquey eft égal à f '
ou g'y Oll l '. y
Maintenant pour avoir chaque fondion arbitraire,
on mettra dans toutes les équations , hors la première
, au lieu de x , x + p 9x -\ -q y .x + r , &c.
& on déterminera pt q , r , par la condition que a f f '
p a h 1 q -\- a g 1 — r -{• a l 1 y & ainfi de -fuite.
Par ce moyen, fi le nombre des fondions eft n , on
aura après avoir éliminé F , n — 1 , équations qui
contiendront chacune deux fondions de la forme
F 1 x y F 1 x q- P pour la première équation, F 1 x y
F x q- P ' pour la fécondé, F ' x F ' x q- P " pour
la troifieme , & ainfi de fuite , avec deux fondions
F "y deux fondions F'"y &c. Je prends les cjeux premières
équations, & j’ai, en mettant dans la première
x q- P 1 au lieu de x , & dans la fécondé xr q- P au
lieu de xr, quatre équations qui contiennent F 1 x ,
F ' x q- PyF' x q- P'y F ' x - j- P q- P 1 ; donc je puis
éliminer P ' x : j’aürai maintenant n — x , équations
qui contiendront chacune F"a:, & quatre fondions •
femblables de x , plus quatre confiantes différentes,
& de même F '1' x q- Q , & quatre autres fondions
femblablésde x y plus quatre confiantes différentes;
on éliminera F " par une méthode femblable, &
ainfi de fuite : en effet, quel que foit le nombre des
fondions F ny pourvu qu’on ait deux équations , on
parviendra toujours à éliminer , parce lorfqu’on
aura chaffé une de fes fondions F n * q Q • par
exemple, on n’aura qu’à mettre xr 4- Q au lieu de xr,
dans l’équation d’où on a chaffé P " x r q -Q ,0n aura
une équation contenant F n x q- Q , F" x q. Q q. Q '9
F n x + Q q- Q " , &c. & mettant dans celle-ci pour
Fn x q. Q fa valeur tirée d’une des deux proposées,
on aura une équation en F» x q- Q ' , F n x q- Q " f
F'>x + Q ' + Q " ,F » x + iQ . /yF»x + z 'Q " y ik c
donc on aura deux équations qui ne contiendront
plus-F/,xrq. Q \ on Chaffera de mêm e F n x -{-Q1 Sc
F nx -\-z Q'y &c ainfi de fuite ; cela pofé, foit une
équation définitive de la forme = A , F x B F
( * q - A ' ) q - C P ( x : q - A M)q -Z > ,P ( * q _ A ) au
nombre de «z, & qu’on faffe F x= zN e pXy dn aura
l’équation A , q- B , e^A l -\-Ce^ :' 11 q-Z>^A U1, & e.
= 0 ; & il eft clair que l’on aura F x égal à une férié
d’autant de termes en N e * x que ƒ peut avoir de
valeurs.
Examinant cette équation , on voit que fi les A
font tous commenfurables entr’eux, l’équation eft
comme celles aux différences finies ordinaires ; mais
fi les a ne font pas commenfurables., alors on ob-
fervera i° . que fini eft le nombre des fondions, il
pourra arriver que/ ait/« — 1 valeurs réelles. En effet,
fuppofant k fm — i valeurs réelles à volonté &fub-
flituant, on aura les A , B , C , &c. en/ ; on peut
de même avoir ƒ = — / y/ — 1 tant de fois que —- 1-
contient d’unités: en effet, en mettant les imaginaires
fous la forme a q- b y/ — 1 , la première fup-
pofition donne A + B\/ — 1 = 0 , 1a fécondé A —
B y/ — 1 = o ; ce qui ne fait que deux conditions A
& B = o : compte c’eft réellement e f qui entre dans
l’équation ci-deffus, Ç étant la valeur de e , on
aura d’autres valeurs de/ en auffi grand nombre que
e * — C — o a de racines, c’eft-à-dire, un nombre
infini. Mais il ne fuit pas de-là qu’il y ait ici un
nombre infini de termes correfpondans à chaque
valeur de c * . En effet, la fuite de toutes ces valeurs
de -f eft/,/q- yyf-\-y 'pf-\-y "}
&c. étant des quantités telles que c z=.e'> ' . . . = 1 ;
mais dans le cas de l’équation préfente, en mettant
ces valeurs pour / , on auroit A B ye fa t y a q-
C , « /a i { 7 A 1, &e.== à y équation qui doit avoir
lieu en même tems que ^ , q ^ , </A + C, « / a i ,
&c. ce qui demande que « y a, q- e y a i foient égaux
à l’unité: or, quoique ey = 1 , quelques valeurs de
y qu’on ait prifes ; cependant lorfque A, A 1 ne font
pas des:nômbres entiers y = o , eft la feule des valeurs
de y pour laquelle e y a foit égafà l’unité ; or,
ici les quantités A , Ay étant incpmmènfurables en-
tr’elles, on voit que y = 0 eft la feule valeur qui
convienne au problème.
Si l’équation en ep a des racines égales, on aura
des termes en x dans la férié qui exprimera F. Voyes
dans cet article le paragraphe précédent..
D'une'autre claffe d?équations linéaires aux différences
finies & partielles. Soit encore l’équation linéaire
<zZq -A Z/q - c 'Z 1 q - c Z ,/&== 0, où Z ' eft ce
que devient Z lorfque pour x; on a mis x q- A x t Z t
ce que devient Z lorfque pour y on a mis y q- A y ,
& où a , b, c , c, &c. font des confiantes , 6c que