6i6 I N S
+ -j a cof. a c a f e U d x
— - a cof. a s U d x : ou b ien ,
a 2 »fée.» — 2 *fec. *>
~ ~ x z B + ia c o ( .u c ‘ ( ^ + f e “ U i x )
.— l a cof. a { U d x ,
i x fec. »
. y - C + B x + — C o f . - 'X c ‘ + i< !C o f . i»,
2 y fec. b - * * fcc- *
C0f . » f ( « ‘
— - <i cof. a i d x i U d x ; c’eft-dire ,
2 X fcc. u
X ’ = c + B x + ÿ a- co f. a ' ( A e +
2 X fec. - - 2 x fec. »
„ “ f e V d x - l U d x ) - ± a t o { .
u i d x W d x .
§ . 9. l i e n eft de même des autres , & nous avons
2 x fec. •> — 2 * fec. »
id X " — . ‘ Ç A ' - b { e “ V d x )
2 * fec. u — 2x fec. »
d i X " — c ‘ ( y + { . ‘ U " d x )
& c .
i x fec. u -2 x feH
i ^ - - B ' + { ^ c “ d x ( A + ( c ‘ P ' d x ) )
l S - = B " + { ( e * d x ( 4 + U ‘
& c .
ü " d x ) )
X " — C ’ -t- B ‘ x - 1- C ( d x t Ç . d x +
X ln — C " + B u at -4- f ( d x f ^ e
— 2 * fec. *•
d x Ç a -+*
f e — f— ^7 " d x y Ÿ ) &c- &c-
6 10. T ou te la difficulté fe réduit donc à développer
ces intégrales; & les ayant trouvées, on aura une
fuite qui exprimera l’ordonnée y par l’abciffe x . Je
n’entre-pas à préfent dans ce calcul ; il me fuffit d’av
o ir lev é une grande partie des difficultés qui fe pré-
fentent dans la folution de ce problème.
I N S T R U M E N S <£ AJlronomie. De leur divijion.
( Aftron. ) C ’ eft une des grandes difficultés de l’aftro-
nomie , que de pouvoir diftinguer fur un quart de
c e r c le , non-feulement les dégrés 8c les minutes,
mais encore les fécondés. On a imaginé, pour ces fub-
divifions , deux fortes de méthodes que nous allons
expliquer ; fa vo ir , les tranfverfales & le vernier.
La divifion par tranfverfales droites eft fort ancienne
; elle tire fon origine de l’échelle géométrique
dont on ignore l’auteur. Tycho-Brahé nous
apprend qu’avant lu i , on s’en fervoit pour divifer
les flecheS , arbalètes ou bâtons de Jacob. Thomas
Dig gç s , Alcefen, fcaloe mathem. i5/3 I l’attribue à
un nommé Cant^ler. T y c h o , qui en parla pour la
première fois dans fon Traite Jur la comete de t $ j j ,
d it qu’il la tenoit d’un habile profeffeur de Leipfick,
nommé Homelius , qui l’employoit dans fon échelle
géométrique. T y ch o s’en fervit dans prefque tous
fes injlrumens ; mais en 1572 , il ne l’a v o it pas
encore employée.
Quant aux tranfverfales circulaires, Hevelius
attribuoit cette invention à Benoît Hedræus, auteur
fuédois , qui la donna en 1643 » dans un ü vre inti-
tulé : Nova & accurata AJlrolabii geometrici Jlruo-
I N S
tura \ imprimé à Le yd e ; mais Mo r in , dans fon
liv re intitulé : Longitudinum ccelejlium atque terref-
trium feientia, imprimé dès 1 6 3 4 , l’avoit attribuée
à Jean F e r r ie r , artifte induftrieux. On ne fait pas
fi c’eft le même dont parle Clavius dans la préface
d’un petit Traité qui eft à la fin des huit livres de
la Gnomonique. Celui-ci étoit E fpagnol, 8c avoit imaginé
une méthode nouvelle 8c très-ingénieufe pour
tracer les cadrans folaires.
Quoi qu’il en fo i t , la méthode des tranfverfales
s’emploie encore dans quelques muraux 8c dans les
quarts de cercle mobiles, lorfqu’on n’a ni alidade
ni micromètre. Soit A L D E ( planche d ’Aflr. fig.
11. Suppl.) une portion du limbe d’un quart de
cercle ; A L , une portion du rayon , ou l’alidade
qui porte la lunette du mural ; L B , un arc de 5
minutes , qu’il s’agit de divifer de 10 en 10 fécondés
, c’eft-à-dire, en 30 parties ; on v o it affez
qu’en divifant la diagonale ou tranfverfale A B en.
30 parties, à commencer du point A , l’alidade A L
tombera fur la première d iv ifion, lorfque le point L
aura parcouru la 30e partie de l ’arc L B ou io M ,
8c ainfi des autres portions.
C e que nous difons de l’alidade A L , fe doit dire
du fij à-plomb dans un quart de cercle mobile : ce
fil tombe d’abord fur 40 o ' , c ’e f t - à - d i r e , fur ie s
points A 8c L , en fuppofant le quart de cercle dirigé
à 40 de hauteur ; il coupera la tranfverfale A B
fur le milieu H de fa hauteur, quand le fil à - plomb
A L fera fur le milieu de l’arc L B ou A C. C ’eft
ainfi qu’on fubftitue des divifions d’une ligne A B
qui a 2 pouces de lo n g , à celle d’une petite ligne
L B , q u i, à caufe de fon extrême pe tite ffe , ne pour-
roit fe divifer facilement.
La hauteur A B devant être divifée en parties
égales aufli-bien que tous les rayons , tels que E D ,
&c. on fe fert dans les quarts de cercles mobiles de
plufieurs cercles concentriques 8c parallèles à C E
& à B D ornais dans un mural, il eft bien plus commode
de ne divifer que la feule alidade A L , comme
on le v o it dans la fig. 11 : elle peut être divifée.fur
fa hauteur en 30 parties ; ce qui eft très-facile , en
lui donnant 15 à 20 lignes de hau teu r, ainfi qu’au
limbe du quart de cercle. Les tranfverfales A B de
Yinjlrument étant tirées de 5 en 5 ' , l’alidade A L ,
en parcourant l’efpace B L de 5 minutes, rencontrera
la tranfverfale B A fucceflivement dans les
points 1 , 2 , 3 , 4 ; lorfqu’elle fera au point 1 ,
elle aura fait une minute ou un cinquième de l’ef-
pace qu’il y a de L en B , 8c ainfi des autres minutes.
On voit même que chaque intervalle d’une minute
étant divifée en 6 parties égales fur l’alidade , on
pourra appercevoir fi l’alidade A L , au lieu de rencontrer
la tranfverfale A B au point 1 , ne là rencontre
qu’à un lixieme de l’intervalle qu’il y a depuis
A jufqu’en 1 , & fi elle eft à de l’intervalle qu’il
y a de A en C.
Les tranfverfales A B à la rigueur, ne doivent pas
être divifées en parties égales , parce que A C eft
plus petit que B L , étant une partie d’un cercle de
moindre rayon. Cette inégalité eft infenfible dans
la pratique ; car fi le point H de la ligne A B , eft
celui qui répond à la moitié de L B , la partie A H
doit être plus petite que H B d’une quantité égale ,
feulement à la moitié de A B multipliée par ^ ? ;
ce qui feroit aifé à démontrer.
La d iv ifion, qui eft aujourd’hui la plus employée ,
eft appellée dans plufieurs auteurs , divijion de Nonnius
, quoique Nonnius n’en foit pas to u t - à - fa it
l’auteur ; mais il eri avoit imaginé une autre qui
eut beaucoup de célébrité , 8c qui pou vo it conduire
à celle que nous avons aujourd’hui. Foye[ fon traite
de Crepufculis , imprimé en 1542, L e véritable
auteur
I N S
auteur d elà n ô t r e , dans fon état a f tu e l , fut Pierre
V e rn ie r , châtelain de Dornans en Franche-Comté ,
qui la publia dans un petit ouvrage imprimé à
Bruxelles en 1631 , intitulé : la Conjlruclion , Cufagê
& les propriétés du cadran nouveau. V o y e z une dijfer-
tatïon du P. Pézenas , qui renferme beaucoup de
choies curieufes fur les injlrumens de mathématiqu
e s , Mémoires rédigés à Cobferv.atoire de Marftille ,
année 1755 ; fécondé partie, pag. 8 & fui vantes , 8c
les notes de Benjamin Robens , fur l’Optique de
Smith. Je crois donc qu’il eft jufte de rétablir le
véritable auteur dans fes droits, 8c d’appellerver/z/er
au lieu de nonnius, la pièce qui forma la divifion
dont il s’agit.
Le vernier eft une pièce de cuivre C D A B , f g .
12. ( C ’eft.la petite portion K L de la fig. 1. planche
X , ou la partie E F de la Jig. iÇ.planche X I I I
ICÀJlron. de CEncycl. repréfentée féparément ) . On
v o it que la longueur C D du vernier eft divifée en
i ô parties égales ; mais elle eft placée fous une
portion du limbe du quart de cercle qui contient
2 i d iv ifions , c’ eft-à-dire, qu’on a pris la longueur
de 21 divifionsduquartde c e rc le , & qu’on a divifé
cette longueur en 20 parties feulement. Ainfi la première
divifion de la piece de vernier, qui eft marquée
3 5 , en commençant au point D , eft un peu en
arriere-ou à la gauche de la première divifion du
lim b e , & cela de la 20e partie d’une des'divifions
de 5 minutes du limbe ; ce qui fait 1 f . La fécondé
divifion dit vernier eft à gauche de la fécondé d iv ifion
du limb e , & cela du double de la première
différence , ou de 30" , SI ainfi de fu ite , jufqu’à la
20e & derniere divifion à gauche de la piece du
vernier , où les 20 différences étant accumulées,
chacune d elà 20e partie d’une divifion du limbe,cette
divifion le trou v e exactement d’accord avec la 21e
ligne du limbe du quart de cercle.
11 faudra donc pouffer l’alidade d’une 20e partie
de divifion ou de à droite , pour faire concourir
la fécondé divifion du vernier avec une des divifions
du limbe , de même en la pouffant de deux
i o es ou de 30" , il faudra regarder la fécondé divifion
de l’alidade, & ce fera celle qui concourra avec
une divifion du limbe. Ainfi l’on jugera que le commencement
D du v e rn ie r , qui eft toujours l’index
o u la ligne de f o i , a avancé de 2 divifions ou de
à droite , quand on verra que c’eft la fécondé divifion
marquée 30 fur le vernier qui correfpond exactement
à une des lignes du quart de cercle.
Par le moyen d’un vernier fait avec fo in , l’on dif-
linguera aifément un 100e de ligne; & fur le limbe du
quart de cercle divifé de j e n .5 ', l ’on voit aifément
s J 1 ; l ’on eftime enfuite jufqu’à 2 ou 3" à la vue.
Cette méthode eft aujourd’hui généralement adopté
e , comme la plus parfaite de to ute s , & on l ’emploie
en Angleterre, même pour les quarts de cercles
mo b ile s , à la place du micromètre dont on fe fert
Ên France. On trouvera de plus grands détails hif-
toriques fur cette matière, dans les Mémoires rédigés
à Vobfervatoire de Marfeille, par le P. Pézenas. Quant
à la méthode pratique pour bien divifer les injlru-
tnens , il faut confulter l’ouvrage de M. le duc de
C h auln e s , publié parmi les arts de l’académie de
Paris , & le Mémoire de M. Bird , publié en anglois
par ordre du bureau des longitudes , qui a acheté le
fecret de fa méthode. (M . de la La n d e . )
§ In s tr um e n s d e Mu s iqu e AMuJiq. ) Aucune
partie de la Mufique n’eft plus difficile à compléter
que celle des injlrumens ; aulfi je ne me flatte p a s ,
à beaucoup p r è s , de l ’avoir fait : j’ai Amplement
tâche de ramaffer au moins le nom de beaucoup
injlrumens.
On peut divifer les ïnflrumens en anciens , modernes
& étrangers,
Tome I I I .
I N S 6 1 7
Parmi les injlrumens anciens , fe trouvent c eu x
des Hébreux , des G r e c s , des Egyptiens & des
Romains.
Quant aux injlrumens des Hébreux , ils étoient à
cordes , à vent & de pereuflion ; & on trouv e une
defeription de chaque injlrument dans un ouvrage
du rabbin Abraham Arie de Mutina, médecin dé
profeflîon. C e t ouvrage , intitulé : Scillte Haggi-
borim ( le bouclier des vaillans ) , contient la defeription
de tout ce qui fe trouvoit dans le temple
de Jérufalem, & par con féq uent, des injlrumens
de mufique des Juifs. K ir ch e r , qui attribue le Scilltt
âu rabbin Abraham Hannax , s’eft fervi des deferip-
tions qui s’y trouvent : il donne aufli les figures de
ces injlrumens i telles qu’on les trouve dans la planche
I de Luth, du Suppl. Quelques-unes de ces figures
font Amplement faites d’après les deferiptions'; &
les autres ont été tirées d’un ancien manuferit du
Vatican. La plupart de ces injlrumens peut très-bien
avo ir exifté réellement, à quelques corre&ions p rè s,
qu’on trouvera à chaque article.' Tou s les articles
fans citation font tirés de Kircher. J’ai eu foin d’indiquer
aux autres les fources où j’ai puifé. '
Je n’ai prefque fait aucun ufage des injlrumens des
Hébreux de dom Calme t, parce que la plus grande
partie me paroiffent fufpefts, & fur-tout, ceux qu’il
fait femblables aux nôtres. J’ai fouvent préféré K ir -
cher à ce d ernier, parce q u e , fans faire tort à dom
C a lm e t, je crois Kircher bien aufli fa van t, & qu’il
étoit fans comparaifon meilleur muficien.
J’ai omis abfolument tous les mots hébreux qui
lignifient quelque chofe de rela tif à la Mufique,
mais qui ne font pas des noms d'injlrumens : j ’a i ,
par conféquent, omis beaucoup de mots q u i, félon
quelques au teurs , indiquent des infiniment ; mais
je ne l’ai fait que lorfque le plus grand nombre 8c
les plus favans. étoient d ’un avis contraire. Dom
Calmet m’a été d’un grand feeours dans cette dif-
euflion.
Quant aux injlrumens grecs * égyptiens 8c romains;
je les ai tirés de différens auteurs que j’ai prefque toujours
cités. Les figures ont été c op ié e s , autant qu’il
m’a été poflible , d’après de bonnes eftampès, 8c j ’ai
ch o ifi, par préférence, les auteurs qui m’ont paru
avoir été eux-mêmes en Ita lie , 8c fait defliner fur
les originaux mêmes.
Les injlrumens étrangers , c ’eft-â dire i ceux des
Negres , des Chinois , &c. font tirés la plupart de
YHiJloire générale des VoyageS.
Si les an ciens, les Grecs fu r-tou t, ont eu réellement
tous les inflrumens dont on trouve les noms
dans les au teurs , il faut que j’avoue ingénument
que je ne comprends pas en quoi pouvoit confifter la
différence de tous ces inflrumens, quant au principe
du fon. Je crois que plufieurs de ces noms fignifîoierit
le même Jnjlrument, ,8c n’étoient que des épithetes
données par les écrivains 8c par les poètes, 8c tirées
de l’ufage qu’on faifoit de cet inflrument ; du pays
d ’où il étoit venu ; de la matière dont il étoit conf-
t r u it , &c. on peut vo ir des preuves de ce que j’avance
, à l’article F l û t e , ( Mujiq. des anc. ) Suppl.
Si je n’ai pas fait les mêmes recherches fur les
injlrumens à corde des anciens, que fur leurs injlrumens
à v e n t , 8c fur-tout les flûtes, c’eft que la facture
de ces derniers m’eft bien mieux c on n u e, 8c
que d’ailleurs il n’y avoit pas , à beaucoup p rè s ,
la même incertitude fur les premiers. Je me contenterai
feulement de remarquer que tous les inf-
trumens à corde des anciens fe pinçoient avec les
doigts ou avec un pleclrum, 8c que l’archet leur
étoit inconnu. Aucun de leurs auteurs n’en parle ,
8c l’on n’en trouv e point fur les bas-reliefs authentiques.
Montfaucon eft le fe u lo ù j’aie trouvé Orphée
jouant d’un véritable violon a v e c un archet. Sous
I I i i
m
J
M
I