marbre ou de pierre commune, longue de quatre ou
cinq pieds, large d’un bon pied & demi, qu’on met
devant l’âtre du feu pour la propreté ; ainfi l’on dit,
un foyer de marbre ; un foyer de pierre , pour défi-
gner, nonl’âtre de la cheminée, mais cette pièce de
marbçe ou de pierre qui eft devant l’â tre, & fait
faillie hors de la cheminée au niveau du parquet.
FR
FRACTIONS continues. ( Algèbre. ) C’eft à
mylord Brounker qu’eft due l’invention de cette
elpece de fériés. Il donna par ce moyen une valeur
approchée du rapport dé la circonférence du cercle
au rayon.
Huyghens a perfectionné cette théorie, qu’il vouloir
appliquer a la méchanique pratique. MM. Euler
& de la Grange s’en font occupés depuis avec fuccès,
& le dernier l’a très-heureufement employée, foit
aux méthodes d’approximation pour les équations
déterminées , foit aux problèmes indéterminés.
M. Waring s’en eft auffi feryi pour le même objet.
Voyez Introduclio ad analyjîm infinitorum ( M. Euler.
) ; Meditationes algebraïcce ( M. Waring.); les
Mémoires de Pétersbourg, tome X I ( M. Euler. ) ; ceux
de Berlin, tomes X X I I I & X X IF^ M. de la Grange.);
& les additions à la traduction françoife des clémens
d.' Algèbre de M. Euler ( M. de la Grange. )
i° . On a donné le nom de fraction continue à l’expreffion
a + - ---------------
r '
d- , &c.
qu’on voit être générale, fi on regarde les nombres
b , c , d , &c. comme pouvant être fractionnaires, fi
la férié eft numérique, & comme des fondions
quelconques, fi elle eft algébrique.
Si on s’arrête au premier terme, la valeur de cette
exprefiion eft a , fi au fécond elle eft , fi au
troifieme elle eft —\c~ —— , & en général pour un
terme quelconque. Si on appelle P la valeur du
terme précédent, après y avoir fubftitué b pour a,
c pour b, d pour c , & ainfi de fuite, elle eft exprimée
a P + i o n M par — p— , oc comme P = nous aurons ce terme
exprime par —^---- • On trouvera encore que fi on
défigne les valeurs fucceflives de la fraction continue
par -j-, T * ITT» &c.on aura en général A B ' — A ' B;
A ' B ” — A " B ; &c. — ~alternativement & commençant
par le ligne —.
2°. Cela pofé, il eft aifé de voir que fi on appelle
x , x x " , x " 1, &c. les valeurs fucceflives de la
fraction continue , on aura fa vraie valeur égale à la
. * + ( * , ' - * ) + ( x " - x ' ) + ( * ' " - * " )
&c. dont le terme général— 4 —- , M 'é tant la valeur
de M dans le terme précédent, & le figne +
•ayant lieu pour les termes 1 , 2 ,4 , 6 ,8 , & le
figne — pour les termes 3 , 5 , 7 , &c.
30. Si donc nous avons une férié x = A — B -j- C
— D - f E , &c. £>c que nous voulions la réduire en
fraction continue, nous aurons A — a + p| B = —___»
^ — Te +'1. b c d + b + d * ^ ^U*te » Pon VÔÎt
que l’on a b , ç, &c..par dès équations linéaires,
& par conféquent la férié continue cherchée.
40. Delà il fuit que fi j’ai une fondion quelconque
de fraclions continues données , je pourrai en les ordonnant
comme ci-deffus ; avoir cette fondion ‘exprimée
par des termes A , B , C , D , E ,&c. enforte
, qu’elle foit égale b ■ # — B + C-± D + E , &c. 6c que
• A ne côtitienne'que les premiers & féconds fermes
des fractions continues, B jüfqu’auxtroifîémes, C juf-
qu’aux quatrièmes 6c ainfi de fuite , de maniéré que
l’on aura ( n° 3 ) la fondion exprimée par üne fraction
continue, dont le terme n 1 ne contiendra que
les n premiers termes des fractions continues données.
Mais'comme il faut i°. que les fractions continues
forment une férié convergente, c’eft-à-dire, que
les b, c , d y &c. > 1 2°. qu’ils foient même entiers
, s’il eft poflible, parce qu’alors chaque valeur
do fractions continues donné les limites les plus approchées
de la valeur totale en nombres aufli petits ;
on ne peut regarder ce moyen de réduire une fonction
de fractions continues en une feule fraction continue
comme vraiment générale.
50.. Soit une férié continue a -\-~— --------------
&c. que.fa valeur foit x , on aura x = n -f- :
b •*- TTT , > ‘
d’oil b x x — abx — a — o, dont toute fraction continue
périodique repréfente la racine d’ûrie équation
du fécond dégré.
6°. Les deux racines de cette équation font \ a.
— \/-y — — a 1 , & elles feront repréfentées la première
par la férié + — H--------— — —
la fécondé par la férié —— 4- ■
m
& la valeur de cette fécondé férié étant x f on aura
qui donne la même éqiiation du fécond degré que
ci-deflus, comme cela doit être.
7 0. Soit prife l’équation x = x 3 - f CH x 1 - f B " !x
-\-A", & que x foit uné fraction continué , je mets
cette fraction fous la forme A — B + Ç — D... & j’ai
x l -f- C " x % + B" x -J- A " égale à une fonétion de a%
b, c , &c. que je puis mettre fous la forme A ’
C' — D'y &c. & elle lera telle que B ' ne contiendra
C qu’au dénominateur & au premier dégré , C 4 ne
contiendra i ) qu’au premier dégré & ainfi de fuite;
faifant donc les équations A ' = A , B ' =zB ,C ‘ = C ,
on déterminera les coefficiens A "9 B ", C", & on aura
enfuite les équationsD z = D \ E = È ' , '&c. qui donneront
les e, les ƒ , &c. par des équations linéaires,
& par confequent on aura les conditions, pour qu’une
fonétion continue, dont les quatre premiers termes
a y b y c y d font donnés, puiffe repfréfenter la racine
| d’une équation du troifieme ordre.
8°. Si A v, B "y C"y font connus, lès équations
B — B* — o y C — C' zzzoy &c. donneront c , dy&c.&c
l’on aura une équation en aybyA Uy B " , C". On
cherchera de valeurs de a & de b entières qui réfol-
vent cette équation d’une maniéré approchée ( P^oye*
l'article Approximation , Suppl. ) ; on fubftituera
les valeurs dans l’équation en a , b, A '\B "y C"y &:
foit R le refte, on prendra B — B ' + R = o au lieu
de B —B ’ == o pour déterminer C, 8t ainfi de fuite. (0)
Fractions décimales périodiques, (Aritk .)
Quand on rédui t en décimales une fraction dont le
dénominateur n ’eft pas de la forme i n. 5?, ou n’efl:
cOmmenfurablë avec aucune puifîance de 10 , la
fraction décimale qui en réfulte doit nécéflairement
aller à l’infini ; mais il ne s’en enfuit pas qu’on foit
obligé de faire continuellement la divifion effe£tive
pour approcher toujours davantage de la valeur
réelle de h fraction propofée ; car lès mêmes chiffres
doivent revenir au bout d’un certain nombre de
divifions & doivent fe préfenter dans le même ordre :
en effet, quel que foit le dénominateur D , non di-
vifible par 2 ni par 5, il ne peut y avoir dans la divifion
que D — 1 réfidus difïerens ; o r , dès qu’on retombe
dans un réfidu qu’on a déjà eu, il èft clair
qu’on retrouve aufli dans le quotient les mêmes décimales
, de forte qu’on n’aura jamais befoin que de
faire tout au plus D — 1 divifions pour connoître la
fraction décimale équivalente à une fraction ordinaire
donnée. Ces fractions fe nomment périodiques ou
circulantes ; on s’appercevra facilement qu’elles four-
niffent matière à plufieurs recherches , non feulement
de curiofité , mais fort utiles en même tems,
vu le grand ufage qu’on fait de plus en plus du calcul
décimal en général; cependant je ne connôis que
Wallis & MM. Euler, Lambert & Robertfon qui
s ’en foient occupés : le premier, dans le ckap. 89
de fon Algèbre ; M. Euler, dans le chapitre 12 du livre I
de fon Introduction à V Algèbre ; M. Lambert, dans le
vol. I I I des Acta Helvetica, & dans les Nova Acta
Eruditorum , du mois de mars iy6$ ,* enfin M. Robertfon,
dans les Tranfactions philofophiques, pour
ty68. Sans avoir recours à ces différens. ouvrages,
on pourra cependant bientôt fe faire une idée de
tout ce qui a été écrit fur cette matière, en conful-
tant un Mémoire que j ’ai donné dans le vol. I I des
nouveaux Mémoires de l'Académie des Sciences de
Berlin. Ainfi, je me contenterai de raffembler ici les
remarques les plus effentielles qu’elle fournit, & fur-
tout celles qui peuvent le plus faciliter la continuation
des deux tables qui fuivront, & que j ’ai confinâtes
moi-même fans en regretter la peine.
Si on commence par confidérer la fraction ~
à laquelle fe rapporte ma premier-e table, & o ii D
fignifie un nombre premier quelconque autre que
a ou 5, on ne tardera paÿ â remarquer que le problème
de déterminer combien de chiffres fe trouveront
dans la période de la fraction décimale équivalente
à -j) fe réduit à aflîgner le plus petit nombre s
t t l que 10p~— fait un nombre entier ; car il eft clair
que fi avant que de parvenir au refte 1 , on a ajouté
s zéros ou multiplié s fois par 10, il faut que le
quotient qui fuit la virgule ait s chiffres & foit de
plus-= T r T T ’ 0 r ’ on peut faire abftrafiion du
nombre 10 s qui multiplie D . Mais quoique cette
formule — 1 foit très-fimple, & qiie 5 , fuivant
la remarque que j’ai déjà faite, ne puiffe paspaffer
D — 1 , cette lettre ne laiffe pas d’être très-difficile
à déterminer : on fait feulement que pour que
foit un nombre entier, il faut que * foit ou = D - 1
ou égal à un fafieur de D - ï , & jufqu’à préfent le
problème n a pu etre réfolu plus généralement. C ’eft
la raifon qui m a principalement engagé à calculer
ma table première; je me perfuadois que non feulement
je conftruirois une table utile par elle-même
mais qu’elle devoit fournir, du moins d pojteriori, des
éclaireiffemens fur la folution d’un problème curieux.
J’ai étendu cette table, comme on voit, jufqu’au
plus grand nombre premier au-deffous de 200,
ceft-à-dire, jufqu’à 199; on trouve donc dans la
première colonne la fraction ^ qu’il s’agiffoit de réduire
en décimales ; à ces termes, répond dans la
fécondé colonne la première période de la fraction
décimale qui lui eft égale & que j’exprime en général
par o + -4 j -|- 4°*q.. V _p &c. en entendant par
* le n°nibre des chiffres de la période; une troi-
iieme colonne indique ce nombre s , & fait voir en
meme tems en quels nombres il fe décompofe en
tant qu’il doit être — D — 1 , ou à un divifeur s de
D — i. Voici à préfent plufieurs remarques auxquelles
la conftruclion & l’infpefiion de cette table
donnent lieu.
1 . Toutes les valeurs de s confirment le théorème
que — 5— eft un nombre entier, quand ^ eft = Z>- 1
o u— à un divifeur de D - 1 , & ne l’eft point dans
d autres cas; mais je doute fort qu’on puiffe apper-
ccvoir dans ces réfultats quelques loix qui faffent
juger abfolument de la valeur précife du nombre s 9
& encore moins qui puiffent faire trouver fans aucune
divifion effefiive le quotient-0* - - ; j’ai fait
pour cela plufieurs effais infruftueux, en cherchant
principalement à tirer parti de ces fractions conti-
nues, qu’on a trouvé être d’un fi grand fecours pour
refoudre un grand nombre de problèmes qui fe re-
fufoient aux méthodes analytiques les plus ufitées.
2 . Ce qu on fait fur la valeur de s ne laiffe pas
cependant d être déjà d’un grand fecours ; car ces
divifions étant affez ennuyeufes, & d’autant plus
qu on ne peut guere s’empêcher de fe tromper fréquemment,
on peut être perfuadé que cela eft ar-
rive y quand on a paffe un nombre de divifion plus
grand que D — 1 , ou quand on a trouvé pour s un
nombre moindre que D — 1 fans en être un divifeur.
3°. Il n’eft pas inutile d’obferver qu’on fait toujours
quel eft le dernier chiffre du quotient »
on le fait, parce que cette période finiffant lorfqu’on
eft revenu au refte s , il eft clair que le dernier
chiffre de la période doit être
9,Iorfque celui du divifeur Z) eft 1.
40. On remarquera , en faifant ces divifions, que
lorfque s devient D — 1 , & que par confçquenC
D — 1 eft le plus petit nombre\y, tel que 10 s_1
foit divifible par le nombre premier D autre que
2 ou 5 , le ~ ^ -me refte eft toujours D — \ ; on en
D - t d - 1
conclura que — - ‘ ~D + 1 ou , eft.toujours
dans ce cas un nombre entier ; auffi eft-ce un
theoreme dont, il eft facile de demontrefla généralité.
5°. On remarquera pareillement que quel que
foit le nombre s des chiffres de la période, fi un
des reftes de la divifion eft D — i , ce fera le —nt-
6°. Ces deux théorèmes font très-utiles dans la
conftruéHon de la table des décimales périodiques ;
car lorfqu’on arrive au nombre D — i , on ne doit
pas négliger de compter le quantieme refte il eft
fi ce n’eft pas le £ ^ ±mg ou le i , • c’eft - à - dire ,
qu on ait dans le quotient précifément — ~1 chiffres,
ou bien un nombre de chiffres qui foit la moitié d’un
divifeur de D — \ on peut^ être perfuadé d’avoir
commis quelque erreur.
7°. Il y a plus; les mêmes théorèmes difpehfent
entièrement de la moitié de l’opération ; car fi ?-° * I.
eft un nombre entier, ou que pour le quotient
loitq & l e réfidu D — i , on aura, à caufe de io*«*—
i = ( ! o m+ 1 ) ( io w- i ) , p o u r j e qu(>.
i^ p S f i o * - I ) î = i o - ? - f ,& p a r conféquent
il fuffira de retrancher q de io »* q. On a , par exemp!
e, — - — = 7 7 ; on raifonnera donc ainfi, io m %