nous faffions Z — ( A y m + B y m 1 x . . . . . . ..
•+- Q x * + A ' y * - 1 - f B 1 y m " a .x..................
+ < ? ' * - ■ ...wEÈm ■ :çiz Nous aurops i°. pour déterminer e * & e s la
même équation que fi la quantité exponentielle
avoit un coefficient confiant. 20. Nous avons appellant
le coefficient de eyx * sy ,
la même férié de termes multipliée
c__ e_lt_-_a-_d_ir_e_, _la_ _to_m_m_e (. -5 icruicb uc ccilc cquauon,
multipliés fucceffivement par les expofans de
& e s i , c’eft-à-dire, cette équation ayant deux rz
cines égales.
30. Nous aurons le même terme multiplié par
d d v I I d d V - \
. ~ O ï . “ ‘ 1 * * + “ ST-A ^ ' A x m n
m d d V m m M
c’eft-à-dire, l ’équation confidérée par rapport à e *
& à es , ayant trois racines égales, & ainfi de fuite,
0Î1 il eft effentiel d’obferver que c’eft par rapport
c ■ , ou e 5, & non par rapport à ƒ ou g que les racines
font égales ; on voit donc que les équations
qui fe traitent ici ont un rapport exaâ pour cet objet
avec les équations linéaires aux différences finies ordinaires.
On reconnoîtra par ce moyen, les cas où
la folution en fériés devra contenir des fondions en
x &Cy non exponentielles.
Si l’on vouloit chercher en férié ou approchée
de ces équations,' lorfqu’elles ne font pas linéaires,
en ordonnant par rapport à Z , oh feroit
Z = Z - | - Z ' - f .Z V { - Z " ' , &c. Z , Z ' Z ", &c.
étant des quantités fuppofées très-petites, dont on
négligeroit fucceffivement. chaque .dégré fupérieur.
Voyt{ Yarticle Ap prox imat ion, dans ce Suppl. ü
Des équations linéaires aux différences partielles. Si
l’équation eft en £ fans x ni .y, cas auquel peuvent fe
réd.uire foutes les équations dans les méthodes par
approximation, on fera %_ — a e bx + ny, on. aura à
arbitraire & b donné par une équation en n ; & on
fera £ égal à une fomme indéfinie de fondions feni-
blables, fi z ne fe trouve pas dans l’équation, mais
feulement -f- > ; il faudra ajouter à cette fomme
f x h étant arbitraire de même qii’un des
ƒ , g. Si on a « donné fans b, St b arbitraire, on
pourra, au lieu des fondions indéfinies ci-deffus,
faire £ = ? & + n y -f-<p' x-\-rt' y . . . . n yn ' étant les
différentes valeurs de h. Lorfque n n’eft pas indépendant
de b , m étant l’ordre de l’équation, fi l’équation
en « a plufieurs racines égales, il faut- faire entrer
dans l’intégrale des fondions e b-x + ny a ' -{_
b' x -f- ny, s’il y a deux racinés égales, & s’il y en a trois
m Une des fondions eb-x + ny a ' -f- b-'. x -f- n y _l
C ' x \ i i y x---- \-p' x -l. n y m.
La méthode que je viens d’expofer ne conduit pas
à une folution rigoureufe, elle eft la même quant au
fond , & a les mêmes inconvéniens que celle de
M. Bernoulli, pour les problèmes des cordes vibrantes
; mais ces défauts 'dont le principal eft de
donner à £ une forme trop particulière, & de ne pas
donner { égal à une fondion quelconque de x , lorf-
que y — o ou y = .c , peuvent être facilement réparés
toutes les fois que £ eft toujours petit & qu’on
fe contente d’approximation. Si dans une équation
linéaire & fans terme où £ ne fe trouve point, lés
coëfficiens font des fondions de x feulement, on
fera 1 = a e by + x , & on aura AT par une équation
aux différences ordinaires ; ce qui conduira toujours
à une équation en férié femblable à celle que j’ai indiquée
pour les-cas où les coëfficiens font çonftans,
Voyez Y art. D i f f é r e n c e s p a r t i e l l e s ; ou
j’indique une méthode de M. Euler qui réfout les
mêmes cas par une férié auffi infinie , mais d’une
forme plus générale.
Il eft aifé-de voir 10. que quelle que foitune équation
linéaire, & d’après quelque fyftême de différentiation
qu’elle ait été formée, fi les coëfficiens
font çonftans, on pourra toujours, en y l'ubftituant
une fondion a ebx + cy, avoir une folution du moins
en férié. z°. Que toutes les fois que l’on a plufieurs
folutions qui fatisfaffent, leur fomme y fatisfera égainent,
chaque terme étant multiplié-par un coefficient
arbitraire, fi le terme fans l’inconnue manque
dans la propofée ; finon la même fomme y fatisfera
toujours en multipliant avec un coëfficient arbitraire,
mais en obfërvant qu’il faut que la partie de chaque
valeur particulière , qui fert à faire difparoître le
terme fans l’inconnue, & qu’on peut fuppdfer auffi
multipliée par des coëfficiens arbitraires, indépen-
dans de ceux de l’autre partie de l’intégrale, foittelle
que la fomme de tous ces CQëfficiens arbitraires égale
l’unité. Ce théorème général à lieu quels que foient
les coëfficiens de l’équation linéaire.-^0.Que quelle que
foit l’équation linéaire, fon intégrale fera toujours,
fi A , A A ", &c. font les arbitraires ou les fonctions
des‘variables que la différentiation a fart difparoître
, de-la forme 1 = A V -f'-'A 'V ' -\-A " V " ,
ç étant l’inconnue ; en effet, fi les arbitraires én-
troient-d’une autre maniéré, on ne pourroit les faire
difparoître & avoir ^ par une équation linéaire;
donc par la même ràifon, fi la propofée eft aux
différences partielles, foit F B une des fondions
arbitraires, l’intégrale ne pourra être que de la forme
l = r -F B + v s u . ou f y " f b , Su.'(1>)
LINGEN, comté de , ( Géogr. ) pays proteftant
d’Allemagne-, dans le cercle de Weftphalie , aux
confins-des évêchés de Munfter & d’Ofnabruck ,
& du comté de Tecklenboitrg, ayant quatre à cinq
milles de longueur & trois à quatre de largeur , 6c
appartenant à la maifon de Pruffe, par.héritage de
celle d’Oranga ,'dès la mort du roi Guillaume IH.
Le fol en eft généralement peu fertile ; mais il y
a des carrières & des mines de charbon , que l’on
exploite avec fucçès. La population n’en èft pas
nombreufe';- outre les petites villes de Lingen, de
Vreren & d’Ibbenbuhren , l ’on n’y compte qu’une,
douzaine de paroiffes campagnardes. Cependant on
affure que de fes domaines proprement dits , de fes
taxes ordinaires & de fon açcife, le roi de Pruffe
perçoit Annuellement un revenu de 80 mille florins
d’empire. Ce prince fait régir ce comté par un college
qui préfidant en même tems au pays de Teck-
lenbourg, lés gouverneTun & l’autre en matières
de judicature eccléfiaftique & civile: en matières de
police & de finance , il les fait reffortir de la chambre
de Mindeh. ( D . G. )
* LINGERE, ( Artsméchaniques. Commerce, ) Nous
diviferons to,us les ouvrages des lingeres- en quatre
parties , d’après M. de Garfault qui a publié une
excellente defcription de Y Art de la Lingere ; favoir
les pièces detrouffeau, celles de la layette , plufieurs
pièces de lingerie qui ne font point comprifes dans
le tr.ouffeau , ni dans la layette ; enfin le linge d’é-
glife. Mais avant que d’en venir à;la dèfcription de
toutes ces différentes pièces , il eft à propos lde la
faire précéder de quelques connoiffances préliminaires
fur cet art, concernant la couture en ufage dans
la lingerie, foit pour les toiles , foit pour, les dentelles.
Les différens points de couture font :
Le furgét, qui affemble les toiles par les bords.
Le point de côté, qui fixe les remplis des bords.
L’arriere-point, qui affemble les toiles à plat.
Le point-'devant, idem, à plat.
La
h *
La couture rabattue, qui affemble & fixé les bords.
Le point 'noué ou de boutonnière, qui empêche les. !
bords de s’effiler.
Le point de chaînette, efpece de broderie.
Le point crqifé, pour la inarque du linge.
Le furget (jig. /, pl. de C Art de la Lingïre dans ce
Supplément ) , eft un point qüifert à affembler deux
morceaux de toile ou de dentelle, &c. Après avoir '
fait un noeud au bout de l’aiguillée pour l’arrêter à
la toile, comme ôn le pratique ordinairement , on
commence par faire un rempli à chacune des deux
pièces que l ’on veut affembler. Ces remplis’ font
néceffaires pour empêcher les bords de s’effiler.
Mais comme il n’eft pas à craindre que les lifieres
s’effilent, il n’eft pas nécéffaire de les remplier en
lés. furjettant. Les remplis étant faits en-dedans , on
paffe l’aiguille au-travers des deux jufqu’au noeud
qui l’arrête , c’eft le premier point a par ou le fil
étant forti, on le paffe par-deffus lefdits remplis,
ou les bords d d t il reffort en b, puis de b en c , &e.
jufqu’à ce que l’on foit au bout des deux pièces à
affembler. On rabat les bords des remplis à l’envers,
pour qu’il ne s’effile pas. Voye{ Couture rabattue.
Le point de côté, jig. 3., fert ordinairement'à coudre
des ourlets, ou à fixer les remplis des bords,
comme nous l’avons dit. On forme un ourlet, én.
pliflant deux fois l’un fur l’autre le bord de la toile ,
& pour l’empêçherdefer’ouvrir,lorfqu’6nlecoud,
on le pliffe , 'on plutôt on le corrompt lur.fa largeur
en plis yolans, ce qui l’àpplatit, & donne plus de
facilité pour'le coudre; Pour le coudre après avoir
arrêté le fil & -forti immédiatement au-deffôus de
l’ourlet, on-le’ fait rentrer en avant traverf'ant les
trois toiles , & reffortir un peu au-deffous du bord
inferieur dudit ourlet, d’où on repart pour recommencer
la même manoeuvré jufqu’au bout : a a a font
les points de la couturé qui paroiffent à l’endroit.
L'arriere-point ou 1 epoini-arriere fe fait lorfqu’après,
avoir arrêté le noeud & piqué l’aiguille entre deux fils,
on la fait rentrer en arriéré au-delà du noeud, pour
reffortir en avant à pareille diftance dudit noeud au
premier point; de-là onia repique en arriéré fur
ou près du noeud, & on la reffort toujours en avant
diftance de chaque point précédent. Tous les
points Æ, a , c , jig. 3 , qui paroiffent à l’endroit,
font ceux qu’on a faits en reculant. .
Lepoint-dsvant, appellé-auffi couture légère, fig. 4,
fe forme en faifant tous les points en avant'fur la
même ligne à diftance égale l’un de l’autre, en plongeant
& relevant l’aiguille de deffous en-deffus. Ce
point fert à froncer & à bâtir.
La couture rabattue fe fait de plufieurs maniérés :
voici la méthode la plus commune. Ayant remployé
•deux morceaux de toile que vous voulez affembler,
•mais l’un plus que l’autre , vous rapprochez les bords
des remplis, de façon que le plus grand rempli
dépaffe le plus petit de quelques lignes ; furjettez-les
près du haut de chaque rempli; puis retournant les
pièces à l’envers, & déployant les deux toiles, vous
rabattrez le plus grand rempli fur le plus petit, & les
applatiffant fur la toile, vous les y arrêterez à' point
de côté ; ou bien approchez l’un de l’autrq les bords
de chaque piece pliés comme ci--deffus, mais de
façon qu’un des bords dépaffe l’autre , puis le long
,du bord le plus bas faites une couture à points-;
devant 6c arriere-points, par exemple , fucceffivement
deux points-devant Si deux arriéré - points ;
rabattez enfuite le bord dépaffant par-deffiis cette
première couture , & arrêtez-le à points* de côté.
La jig. 5 , fait voir une couture rabattue à points-
devant b c , mêles d’arriere-points d ; en A on voit
un des bords aa qui dépaffe l’autre bb,fk en B on
voit le bord dépaffant rabattu fur l’autre & arrêté
à points de cote. C.montre les deux pièces ouver-
Tôme III.
tes l’envers en-deffotis ; la couture bien faite paroît
à peiné à l’endroit.
Le point noue oü point dé boutonnière, tire cette
derniere dénomination dé ce qu’il fe fait autour de
toute boutonnière j pour empêcher les bords de s’effiler.
Ce n eft d’ailleurs qu’tui furget dont, avant que
de ferrer chaque point, On paffè lë fil au travers de
l’anneau qu’il forme naturellement en s’approchant
pour terminer les points. La boutonnière étant en-
tourée de cette efpece de points , on ajoute à l’un
de fes bouts ou à tous les dëiix , iine bride dèftinée
à l’empêcher de s’agrandir: cette bride commencé
par trois ou quatre points longs, ou points coulés
faits en travers au bout de la boutonnière , & très-
près l’un de l ’autre; On lés fortifie ènfuite en lés prenant
enfemble avec lë point-noué près-à-près, fans
percer ou en perçant là toile. La jig. Ç repréfente
le point de boutonnière ; a eft l’anneaii que fait le fil
du point précédent quand il eft près d’être ferré; b le
fil pour le point fuivânt, paffant par l’anneau. On
voit à côté eh A une boutonnière achevée. A l’un
des bouts b\ on voit la bride formée. La boutonnière
B a deux brides, Une à chaque bóut. En C vous
voyez les trois points coulés dd par lefquels on
commence la bride , & le point noué e qui la continue,
& l’acheVe ert fë répétant jufqu’au bout.
Le pointdé chaînette , plus ufité en broderie qifert
lingerie, fe fait ainfi. Après avoir arrêté le fil
à la toile, Cbuchéz-y urte longueur dudit fil, laquelle
vous fixerez avec lé bout du pouce dé l’autre main •
cette longueur ainfi arrêtée, fera celle qu’on voudra
donner aux petites mailles que cette couture aura ;
alors repàffez le fil en arriéré & en-deffous près du
noeud , & reffortez-le tout de fuite près du bout du
pouce, c’eft-à-dire près de la longueur du premier
f il, déterminée par le police; puis rentrez-le. à côté
ou un peu derrière cette fórtie , & faites-le reparoî-
tre en avant, au prorata de la longueur du premier ;
repiquez l'aiguille, &c. Lajig.7. fait voir a felieu du
noeud arrêté en-deffoUs:^lë lieu où le pouce arrête le
fil pour déterminer la longueûr de la maille; b le point
où le fil a d rentréen-deffous pour reffortir en 0, rentrant
enfuite-en p ôc reffortant en q, ,&c. Les lignes
pon&uées indiquent. le chemin qu’il fait en-deffous.
Le point croifé, en ufage pour marquer le linge ,
doit être très-régu lier; & pour le faire te l, il faut
compter les fils. La toile eft formée elle-même de
fils qui fe çroifent. On compte pour chaque point
'deux fils d’un fehs & deux de l’autre , ou autrement
deux fils de gauche à droite , & deux fils
de haut en bas; alors après avoir arrêté le noeud
on mene l’aiguille en diagonale, traverfant les quatre
f i l s de haut en bas, on remonte fous les deux fils
de bas en haut, & on forme une féconde diagonale
qui croife en-deffus la première. Suppofant 8. •
le fil arrêté en a par-deffoils, on va en-deffus de
a en d, puis par-deffouS dè d en i , puis par-def-
fûs de b en c , ce qui formé un point croifé. Pour
'cequi eft de 1^maniéré de marquer le linge , v.oye^
Varticle M arque. ( Lingerie. ) Siippl.
Les dentelles fe coufent foit enfemble, comme
pour faire des barbes dé coëffure, foit aux entoilages
ou aux toiles pour leur fervir de bordure. Dan9
tous ces cas, elles fe coufent ordinairement à point
de furget, & par le pied de la dentelle , en faifant
entrer l’aiguille au travers des petits ronds qui font
entre les deux petites lifieres qui compofent le pied.
Après ees préliminairès qui fuffifent pour comprendre
tout ce qui concerne la couture dans l’art
de la lingere, nous pafferons aüx différens ouvrages
de lingerie, en fuivant ladivifion faite au commencement
de cet article.
I. Lë troujfeau. On entend par le trouffeau, tout
le linge que les pere & mere donnent à leur fille en
C C c c c