§74 MAX
chez Jean-Frédéric, fils de Jean-Frédéric, auquel la
bataille de Mulberg avoit été fi funefte. Il s’infinua
dans 1’éfprit de ce duc , dont il .fomenta le reffenti-
ment, 8c l’engagea à déployer l’étendard de la révolte.
La fin de cette guerre fut fatale à fes auteurs:
Grombak périt fur l ’échafaud avec fes complices .,
principalement pour avoir formé une confpiration
contre Augufie , éle&eur de Saxe , chargé de faire
•exécuter contre lui l’arrêt de fa prolcription. Frédér
ic , aulîî malheureux que fon pere , fut relégué -à
Naples, 8c fon duché de Gotha fut donné à fon frere
Jean-Guillaume.Un magicien, apofté par Grombak,
lui avoit promis une defiinée bien différente. Cet
impofteur lui avoit fait croire qu’il parviendroit à
Fempire dont il dépouillerait M aximilien . La chrétienté
étdit menacée du plus grand orage qu’elle
eut efiiiyé, Les troubles auxquels jufqu’alors elle
avoit été en proie, s’étoient appàifés par l’autorité
des conciles ; mais celui de Trente fut méconnu par
les Luthériens & les autres fedaires : les orthodoxes
anême en rejettoient plufieurs canons; on ne voyoit
point de poflxbilité de réunir les efprits ; tous les,
princes ëtoient partagés : Philippe I I , qui comptoit
pour rien le fang des hommes, 8c qui le répandit
toujours dès que fes plus légers intérêts l’exigerent;
Pie V , ce pontife inflexible, 8c la reine Catherine
de Médicis, avoient confpiré la ruine des calvi-
niftes ; 8c ce projet s’exécutoit en Flandre, en France,
en Efpagne, par les crimes 8c ?es armes de toute
ëfpeçe. M a xim ilien I I vouloit qu’on laiffât vivre
•les peuples au gré de leur confidence , jufqu’à ce
qu’on put les ramener par la voie de la perfuafion.
Si l’hiftoire peint ce prince fans valeur 8c fans talens
dans l’art de la guerre, elle doit les plus grands élo-
gesà fa .modération , dans un tems de fanatifme 8c
de difeorde, où des rois,, égarés par un faux zele
& dévores par l’ambition,, fe fouillaient d’injuftices
& d’aflafîinats. II avoit coutume de dire : L e fa n g
humain qiii rougit les a u te ls , r i honore.pas le pere commun
des hommes. On eft étonné d’entendre M. de
Voltaire, cet apôtre du tolérantifme, faire un crime
à M a x im ilien d’avoir. refufé de féconder le barbare
•Philippe dont les miniftres ëgorgeoient fans pitié
les malheureux habirans des Pays - Bas. Philippe
étoit fon coufin ; mais M a x im ilien dans fes fujets
voyoit des enfans, & dans tous les chrétiens des
freres. Cet empereur, au lieu de céder à la voix
d’une cruelle intolérance , permit aux Autrichiens
qu’on ne pouvoir ramener , de fuivre la confeflïon
d’Ausbourg. Le pape, que cette conduite offenfoit,
faifit toutes les occafions de le mortifier. Il reçut la
plainte de Côme II, duc de Florence , qui difputoit
Fhonneur du pas à celui de Ferrare, 8c conféra le
titre degrand-duc à Côme. C’étoit un attentat contre
les droits de l’empire, qui ne permettoient pas^ au
faint Siégé d’en conférer les dignités, ni de connoître
des différends qui s’élevoient entre les pofleffeurs
des grands fiefs. L’empereur ne manqua pas de réclamer.
Il tint enfuite. plufieurs dietes , celle de
Spire fut la plus mémorable. Les enfans du duc de
Gotha y obtinrent les biens qu’il poffédoit avant les
troubles qu’avoit oçcafionnés la révolte. M aximilien
y conclut une paix avec Sigifmond Lapolski, vai-
vode deTranfilvanie, qu’il reconnut pour fouverain
de cette province, 8c Sigifmond renonça à toutes
fes prétentions fur la Hongrie : il quitta même le
titre dé roi qu’il avoit çonfervé julqu’alors. On corrigea
, ou plutôt on voulut corriger différens abus
qui s’étoient glifles dans la monnoie. Les privilèges
de Lubec y furent confirmés. Cette ville riche &
commerçante avoit déjà beaucoup perdu de fa fplen-
déur. Les Vénitiens, en guerre avec les Turcs, qui
leur enlevoient chaque jour quelque poffeffion, firent
une ligue avec le roi d’Efpagne 8c le pape. Ils
MAX
folïrciterent Fempereur d’y entrer ; mais il aimoit
trop la paix pour rompre avec les Ottomans. La
mort de Sigifmond II, dernier roi de Pologne, du
fang des Jagellons, donna naiflance à une infinité de
brigues. M a xim ilien fit des tentatives fecretes pour
faire élire Erneft fon fils : il vouloit fe faire prier; 8c
cette vanité , déplacée fans doute , puifqu’une couronne
vaut bien la peine d’être demandée , fut caufe
que le duc d’Anjou lui fut préféré. Il s’en confola ,
en aflurant l’empire à Rodolphe II, fon fils, qu’iL
fit reconnoître pour roi des Romains. L’abdication
du duc d’Anjou qui repafla en France , oiiil étoit ap-
pellé par la mort de Charles IX , lui donna l’efpoir de
réuffir dans fes premiers projets fur la Pologne ; mais
la Fadion oppofée lui caufa une mortification bien
grande: elle couronna Jean Battori, vaivo.de de Tran-
filvanie , qui, pour affurer fes droits, époufa la foeur
de Sigifmond II. Le czar de Mofcovie s’offrit à féconder
fon reffentiment, 8c à faire la guerre au
nouveau r o i, qui mit la Porte dans fes intérêts.'
M a x im ilien refufa fes fervices , prévoyant qu’il les
payeroit de la Livonie : il ne vouloit pas trahir à ce
point les intérêts de l’empire , qui avoit des droits
fur cette province. Il fe préparait cependant à déclarer
la guerre à Battori, traité à la cour de Vienne
d’ufurpateur 8c de tyran, mais qui poffédoit les qualités
d’un roi. M a xim ilien mourut au moment qu’il
alloit allumer les premiers feux de cette guerre. Il
laiffa un nom cher aux gens de bien, mais méprifé
de ces coeurs barbares qui n’effiment un prince que
la foudre à la main, 8c qui n’admirent que les grands
fuccès, qui font bien plus fouvent les fruits du crime
que de la vertu. La bulle d’or faifoit une loi aux
empereurs de favoir quatre langues ; M a x im ilien en
parloit fix. Ce prince honora les lettres, 8c récom-
penfa les artiftes dans tous les genres. Quiconque
fe diftingua par quelque chef-d’oe uvre, éprouva fes-
largeffes. Il eut plufieurs enfans de fon mariage avec
l’impératrice Marie , foeur de Philippe II. Ceux qui
lui lurvécurent, furent Rodolphe qui lui fuccéda à
l’empire ; Erneft qu’il vouloit placer fur le trône de
Pologne, 8c qui fut gouverneur des Pays-Bas ; Ferdinand
; Matthias qui régna après Rodolphe II;
Maximilien, qui fut grand-maître de l’ordre Teuto-
nique; Albert, qui, après avoir été fucceflivement
viceroi de Portugal, cardinal 8t archevêque de
Tolede, époufa l’infante Ifabelle qui lui apporta les
■ Pays-Bas en d o t, 8c Venceflas. L’archiducheffe
Anne,l’aînée de fes filles, fut mariée à Philippe II,
fous qui s’opéra la révolution à laquelle la Hollande
doit fa liberté. Elifab.eth la cadette fut mariée
à Charles IX , dont la main égarée par une mere
coupable, déshonora l’augufte fang des Bourbons
qui l’animoit. ( M — r . )
§ MAXIMUM, ( Géom. A n a ly fe . ) On ■ ne s’occupera
dans cet article que des conditions de m a x imum
pour des fondions dont la valeur eft indéterminée.
Les géomètres du fiecle dernier ont réfolu plufieurs
problèmes particuliers de ce genre , tels que
celui du folide de la moindre réfiffance, de la bra-
chiftochrone, des ifopérimetres. M . Euler a le premier
donné une méthode générale pour le cas où il
n’y a que deux variables, où une de leurs différences
eft fuppofée confiante, 8c où la fondion contient
un nombre indéfini de lignes d’intégration, ou biea
eft donnée par une équation du premier ordre.
Cette méthode eft fondée,fur la confidération des
lignes courbes. M. de la Grange en a donné une autre
qui eft purement analytique, n’a pas befoin qu’on
fuppofe une des différences confiante , s’étend aux
équations d’un ordre quelconque, 8c à un nombre
quelconque de variables. Depuis ce tems, M. le
chevalier Borda a donné, dans les Mémoires de
MAX
l'acad. des fciences, pour l’année 1767 >llne méthode
qui lui eft propre, 8c qui partage avec celle de M. Eul
e r , l’avantage de donner les formules pour les équations
aux différences finies. M. Euler a réfolu les
mêmes problèmes que M. de la Grange, par une
nouvelle méthode analytique. Enfin, MM. Fontaine
8c de la Place ont donné des formules pour le
même problème ; mais leurs méthodes n’ont en elles-,
mêmes rien de particulier. J’ai faitcle mon côté plufieurs
remarques fur cette matière, dans mes différens
effais fur le calcul intégral.
Je vais donner ici l’efprit de la méthode de M. de
la Grange, le détail feroit déplacé dans un ouvrage
comme celui-ci :
i° . Soit ƒ Z une fondion qui doit être un maximum
ou un minimum , Z étant fonction d e x , y ,
d x , dy, d { , 8cc. 8c aucune différentielle n’étant
fuppofée confiante. On aura à caufe de la propriété
, . • dfZ AfZ I d/z _ -
du maximum, o , = o , O, 6Cc.
8c de même pour chaque variable. Il ne faut donc
plus que trouver ces valeurs, foit B — f Z , à B =à
d fZ == ƒ d Z , ou d d B = d Z . Si cela pofé, on
cherche les valeurs de ^ , -j j j , &c. on les trouvera
au moyen des équations fui vantes , dB d.'AB___ ‘ dZ
1 ’ dd lBT ' , dd.dAxB —_ ddx- d Z
' dd*x dd^x
8c ainfi de fuite, il en fera de même pour chaque
variable ; on aura donc les valeurs cherchées : mais
ces valeurs ne peuvent être données par cette maniéré
, à moins qu’un terme f V d x + V ’ d y , 8cc.
qui refte fous le figne après la comparaifon de dB
avec ƒ d Z , ne foit nul, 8c il doit l’être en général
quelles que foient les variables ; donc on aura entre
elles les équations V x zq, V [ xzq, 8cc. or , y_(lZ ddB
B Hdy d|y &c:
donc on aura , en égalant à zéro ces formules qui
font données, les équations générales du maximum,
8c les équations auffi données = 0 > & c. — , 8cc.
en donneront les conditions particulières.
2°. Si Z contenoit ƒ Z on auroit dans la différence
de Z un terme de la forme L d f Z ': o r , par
l’article précédent, on aura d f Z ' en différences de
Z ' , 8c un terme de la forme ƒ P d x , pour chaque
variable. Il y aura donc dans la formule qui refte
fous le figne un terme f L f P d x = S H —f L P d x.
o°. Si Z e f t donné par une équation d i f f é r e n t i e l l e
VxzOy on fera d V = o , f A d V — B , ƒ A ' B =z
B ', jufqu’à ce qu’on ait la valeur de d Z qui doit être
égalée à zéro ; o r , à chaque intégration on aura
une équation pour déterminer^, A ', 8cc. 8c la formule
qui devient égale à zéro en même tems que
d Z , rentre dans l’article précédent. 4°. Les équations entre les variables étant en
même nombre qu’elles , fi aucune différentielle n’eft
fuppofée confiante, on trouvera que fi la propofée
eft telle que Z étant du premier dégré d’infiniment
petits, il ne contienne que des différences de — ^
8cc. multipliées par d x , le nombre des équations fe
réduira toujours à une de moins, 8c qu’ainfi on aura
définitivement une équation poffible entre deux variables
quelconques. Dans les autres cas, il y aura
définitivement une équation différentielle à une feule
variable ; alors ce problème a été mal propofé, 8c il
y aura dans la folution une nouvelle variable dont
la différence eft confiante , 8c multiplie quelquefois
Z pour que ƒ Z foit fini; 8c il faudra déterminer
cette variable par les conditions du problème, fans
Tome I I I ,
MAX 875
quoi il refteroit indéterminé. Voyez là-deffus les
recherches de M . de la Grange & de M. de la Place.
Le problème peut encore, relier indéterminé, Iorf-
que dans des cas particuliers le nombre des équations
fe trouve diminué, ou qu’en intégrant celles qui
relient entre deux variables on en introduit une troi-
fieme.
5 °. Si l’on a une équation entre les d x , dy, d ç,’
8cc. en fuivant les réglés ordinaires pour la recherche
du maximum, on éliminera une de ces différences
dans la valeur de d f Z , &c on égalera à zéro les
coëfficiens des autres.
6°. Si c’eft entre i> y , x , d^9 d y ,d x , 8cc. qu’on
a une équation, on cherchera par l’article premier
une équation entre d { ,d y , d^ , 8c on la fubflituera
pour éliminer une de ces différences de la formule
S A d[ -j- B dy -j- Cd x . . . = 0.
7 ° . Si au lieu de fuppofer d { , dy, d x , indépen-
dans les uns des autres ou donnés par une équation
connue, on fe contentoit de fuppofer qu’ils euffent
entr’eux la relation qui doit naître des équations du
problème, on trouveraquefaifant^'d^q-^My-f-
C' d x = z o , on aura A ~ — B — o , A — — C — o ,
8c à caufe de A ' d 1 + B ' dy + C ' d { = ord [ + ^
d y + ^ jd v(
8°. Si Z contenoit c>, «frétant une fonélion inconnue
de x ,y , 1 , on auroit pour <fr une équation aux différences
partielles.
90. La partie des coëfficiens de d x qui n’eft pas
fous le fignef , 8c les coëfficiens de d d x , 8cc. ne font
nuis que pour les points extrêmes de l’intégrale ƒ Z .
Ainfi, lorfque pour ce point on a des équations entre
les d x , d d x , 8cc. dy, ddy, Scc. il faut, comme dans
l’article cinq, éliminer autant de ces différences qu’on
a de conditions. Le problème feroit toujours poiîible
indépendamment de ces conditions , parce que les
coëfficiens font toujours en moindre nombre que les
arbitraires de l’intégrale définitive. II y a quelque différence
dans la maniéré dont M. de la Grange 8c
M. le chevalier Borda traitent les équations de ces
points extrêmes ; mais cette différence eft moins
dans le fonds de la méthode que dans la maniéré
de confidérer les queftions propofées : auffi lorfque
ces deux géomètres appliquent chacun leur méthode
à la brachiftochrone dont les points extrêmes
appartiennent à deux furfaces données, les réfultats
ne font différens que parce que l’un fuppofe nulle
au commencement de la brachiftochrone la vîteffe
que l’autre y fuppofe finie.
io ° . Pour expliquer la méthode de l’article précédent
aux fondions qui contiennent des différences
finies , foit 2 Z un maximum , on aura — o ,
— o , 8c ainfi de fuite; 8c pour chaque variable,
on fera enfuite s Z = 5 , a B = Z , d a B =z
d Z , 8c on trouvera — a + Q , Q étant la
différence de a B prife en ne regardant comme variable
que les A x introduits par la différentiation ;
o r , faifant A J5 = 5 - j-A 5 _ ^ , i l e f t clair que Q =
dx *7S *9 d û ï d A-ï d* 8c
ainfi de fuite. Par ce moyen, on trouvera les valeurs
cherchées de 47» &c# & on éSalera à zero la
quantité qui dans la comparaifon de a B avec 2 a Z
fera reliée fous le figne , 8c qui eft -j— — A ----- -p
pour la variable 8c de même pour chacune des
autres ; le refte comme pour les différences infiniment
petites. Voyez le deuxieme appendice de M. de
la Grange, ÔC les Mémoires de l'académie, pour l’année
*770* c•S cb s s s i]