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pofitives foit égale à la fomme des négatives; la troi-
Jîernc , que la fomme de toutes les corrections, tant poji-
tives que négatives, foit la moindre pojjible pour le cas
où les deux premières conditions foient remplies. Il a ex-
pofé le réfultat de cette folution dans le Tome I F des
Mémoires de Cinflitut de Boulogne ; il l’a développée
dans Tes Supplément de la Philofophie, en vers latins,
compofée par M. Benoît S tay, tome I I , p. 420 ; 6c
le traducteur de l'on Voyage agronomique & géographique
, en a fait le fujfet d’une note très-intéreffante
qui fe trouve à la fin de fatraduâion, 6c dans la-:
quelle ôn voit cette folution appliquée à une table
de degrés mefurés, plus étendue que celle dont le
père Bofcovich avoir fait ufage dans les fupplémens
cités. Je crois pouvoir renvoyer à ces différentes
f o u r c e s l e s le C t e u r s qui voudront prendre une idée
de cette méthode.
Je ne m’arrêterai pas non plus à la théorie que
M. Lambert a donnée furie degré de certitude des ob-
ferv.aiions & des expériences., dans le premier volume
de fes Mémoires de mathématique allemands, & qu’il
a éclaircie par plufièurs exemples : cet ouvrage eft
connu. On trouvera un extrait du mémoire dont je
parle, dans le Journal littéraire qui .paroît à Berlin ;
& fans doute qu’un géomètre habile qui s’eft chargé
de donner dans ces fupplémens la fubftance de dif-‘
férens écrits intéreffans de M. Lambert, ne laiffera
pas échapper celui-ci.
Je me bornerai ici au précis de deux mémoires
qui ne font pas imprimés ; & fi on y joint la leCture
de ce qu’on doit au P. Bofcovich 6c à M. Lambert
fur la même matière, on pourra fe Satisfaire fur
foutes les queftions principales auxquelles elle peut
donner lieu : j’ignore fi d’autres auteurs l’ont traitée.
Le premier mémoire dont je me propofe de donner
l’extrait, eft un petit écrit latin de M. Daniel
Bernoulli, qu’il me communiqua en 1769, & qu’il
gardoit depuis long-tems parmi fes raanufcrits , dans
le deffein fans doute de l’étendre davantage. Il a pour
titre : Dijudicatio maxime probabilis pluriüm obferva-
tionum difcrepantium ; atque verifimillima inductio inde
formanda.
M. Bernoulli fuppofe qu’on repréfente par des
portions A a , A b , A e ,6 c c. d’une ligne droite A B
\fig. 2 , pi. I de Géométrie, dans ce Supplément. ) les
réfultats d’un certain nombre n d’obfervations , &
il remarque que dans cette fuppofition la pratique
ordinaire donneroit pour le milieu entre ces obier-
- . R . . . . ^ Aa + Ab + A d + &c. .
vations une ligne droite A C = --------- -----------mais,
dit-il, on ne tient pas compte de cette façon des dif-
férens dégrés de probabilité des obfervations, 6c
cependant il n’y a aucun doute que les petites erreurs
n’aient lieu moins fouvent que les grandes. En con-
féquence de cette remarque , il fuppofe que le nombre
des obfervations qui tombent furies points a, b,
d , e , 6cc. foit proportionnel aux perpendiculaires
am ,b n , d o , e p , 6cc. 6c cette hypothefe donne
A C — -----am + bn->-do+ep &c— '— ~ » expreiiion
qui fait voir que le point C ne tombe plus au centre
de gravité des points a, b , d ,e , 6cc. mais dans celui
jdes lignes am ,bn ,d o , ep , 6cc.
On peut, par plufièurs confidérations, adopter
une demi-ellipfe ou un demi-cercle pour la courbe
Mm no N qui paffe par les points m, n ,p , 6cc. 6c
le rayon indiquera la plus grande erreur , ou un peu
au-delà, qu’un obfervateur puiffe jamais commettre
en faifant des obfervations telles que celles dont il
fera queftion. Il eft donc néceffaire que chaque obfervateur
fe juge fôi-même impartialement 6c avec
fagacité.
M. Bernoulli obferve enfuite que la détermination
analytique du centre du demi-cercle modérateur fe-
foit d’une application très-difficile, parce qu’on parvient
à une équation prefque intraitable ; c’eft pourquoi
il préféré la méthode d’approximation qu’on
va voir.
Soit A B (fig . 3 . ) la ligne à laquelle on rapporte
les obfervations; qu’on adopte lur cette ligne un
point fixe A , 6c qu’on fuppofe que les obfervations
tombent fur les points a, b, d, e , 6cc. de façon que
A O — Aa + Ak + Ad-,-Ae-*-AI ^ en cherchant d’abord
par la réglé ordinaire le point O moyen entre les
pointsobfervés a , b , d , e , 6cc. & en entendant par
n le nombre des obfervations. Qu’on décrive en-
fuite du centre O 6c avec le rayon r le demi-cercle
M m n op qN , 6c qu’on le prenne pour le prémier
demi-cercle modérateur, enforte que a m, b n , do9
ep , &c. perpendiculaires fur M N , expriment les
différens dégrés de probabilité des obfervations analogues.
Qu’après cela on cherche le centre de gravité
de toutes les lignes am ,b n , do , e p , &c. il
tjom /-bera affez approchamment au point C , en faifant Aa. am h- A b. b n + Ad. do 4- Ac.ep + &c. . ~
A L — a m+~b n T d ï - J c f V & i----------------------- » m a is “
de ce point C 6c avec le rayon r on décrit un fécond
demi-cercle modérateur M'm ' n ■ o ' p ' N ', 6c qu’on
répété la même opération, on trouvera un autre
point C 1 peu diftant du premier C, mais plus correCt,
6c on pourra continuer de la même maniéré jufqu’à
ce que la différence foit à peine fenfible.
Après cet expofé de fa méthode, M. Bernoulli
obferve que la ligne A a étant arbitraire & reftant
invariable dans toute l’opération, on peut faire A a
—o,6c fuppofer le commencement précifément à l’ex-
trêmité a,enforte que a C = —~a +bn'+do—7”' sF*"
Paffant enfuite à un exemple, il fuppofe qu’on ait
fait trois obfervations qui tombent dans les points
h, d , e, 6c il prend de iooo parties le rayon auquel
il veut comparer les diftances.
En admettant de plus, dit-il, que la plus grande
erreur foit de 160", 6c qu’on ait trouvé bd, par
exemple , de 120" ou de 200 ", il faudra faire b d=a
750 ou = 1250 parties. Ainfi la diftance d’un point
au centre du demi-cercle modérateur étant donnée
on trouvera fans autre calcul fon appliquée, en cherchant
dans les tables le finus qui répond à cette diftance
regardée comme un cofinus.
Soit donc bd = 900 parties & bexz 1200 parties
on aura b O = 700 parties, 6c ce fera, fuivant la réglé
ordinaire, la diftance entre le point obfervé b 6c la
vraie pofition. On aura de plus O d — 200 parties ,
6cOe — 500 parties ; donc b « = 714 parties ,d o =
980 parties, ep = 866 parties, & d e - là £ C=
900. 9S0 4-1200.866
= 750 parties. Puis donc que b C
1- 980 -t- 866
furpaffe b O , il s’en enfuit que le point C doit être
pris de l’autre côté, ou qu’il faut le placer entre O
6c d , d’oîi réfulte O C = —: jo parties pour la première
correction dans l’hypothefe adoptée. En paffant
maintenant à la fécondé, c’eft-à-dire en cherchant
le point C ', nous prendrons pour centre le
point C qu’on vient de trouver , 6c nous aurons à
préfent b C — 750 parties , 6cb n ' -- 661 C d,=
150 6c d O ' = 989 ; C e — 450 6c ep' = 893 ; enfin
b C — — ' f/*' - -*301 j?3 — 771. Cette fécondé cor-
re&ion différant encore affez fenfiblement de la première
, on en cherchera une troifieme en prenant C'
pour le centre du demi-cercle, 6c le même procédé
donne b C " = j%o, diftance qui différé encore moins
de 771 que 771 ne différoit de 750 ; la quatrième
correttion donne 784; la cinquième, 787, 6c on
trouvera enfin la véritable exprimée par 792 : au
refte, en faifant ces opérations , on s’appercevra de
plufièurs reffources au moyen defquelles on pourra
les abréger.
Si on prenoit le demi-cercle modérateur trop
grand,
M I L
grand, continue M. Bernoulli, on lui ôtefoit une
grande partie de fon utilité : car fuppofons fon rayon
de 1599 Partiesau lieu de ïo o o , toutes chofes égales
d’ailleurs , il faudra changer les 1500, 900 6c
1200 parties qu’on ayoit précédemment en 1000,
600 6c 800 parties plus grandes de moitié. La féconde
corredion b C deviendra de près de 481 parties, 6c
il faudra s’y tenir, parce qu’on n’en trouvera jamais
une plus grande : o r , ces 481 parties ne valent que
721 parties, dan# la fuppofition précédente. Ainfi la
comparaifon de ces deux exemples fait voir combien
il importe que chaque obfervateur fâche apprécier
fà dextérité.
Je viens d’indiquer la fubftance du mémoire de
M. Daniel Bernoulli, je paffe au fécond mémoire
dont j’ai dit que je donnerois un extrait ; il eft de
M. de la Grange, & a pour titre : Mémoire fur L'utilité
de la méthode de prendre le milieu entre le réfultat de
plufièurs obfervations, dans lequel on examine les avantages^
de cette méthode par le calcul des probabilités, &
ou l on refoüd différens problèmes relatifs à cette matière.
On verra que les dix problèmes qui en font l’objet
comprennent tout ce qu’on peut attendre del’analyfe
la plus délicate & la plus variée dans cette matière.
_ Voici d’abord le premier problème que M. de la
Grange fe propofe : on fuppofe que dans chaque
obfervation on peut fe tromper d’une unité, tant en
plus qu en moins, mais que le nombre des cas qui
peuvent donner un réfultat exaét, eft au nombre des
cas qui peuvent donner une erreur d’une unité comme
a : 2 b ; on demande quelle eft la probabilité d’avoir
un réfultat exaft, en prenant le milieu entre les réfultats
particuliers d’un nombre n d’obfervations ?
La folution de ce problème donne----—— pour
la probabilité cherchée, & M. de la Grange^ait voir
qu on peut déterminer en plus d’une maniéré le coefficient
A , qu’il trouve z=an + n ( n — i ') a n~^b -J-
1 n [a-l] [/»—2] [n—ql an~ d- " '
M I L 937
■ [ - iit - .i - - r .~ t i« '-
&c. Il tire enfuite de fa folution différaisxorollaires,
ÿÊMjmSBjÿjeà dans une première remarque la loi
que fuivent les termes de la férié j-, ^ , i ,
lefquels repréfentent lés probabilités qui répondent
à 1 , 2, 3 , &c. obfervations ; cette loi fe découvre
par les exprefïïons qui fuivent, & dans lefquelles
A 1, A™, A »1, &c. défignent les valeurs de A 1 qui
repondent à « = i , 2 , 3 , on a
Aa - a
A iv = T*4 "w+ l\ A llr * * lA - &c>
Quelques autres remarques pareillement importantes
fuivent la première, & conduifent M. de la
Grange à chercher dans le problème fuivant la probabilité
qu?en prenant le milieu entre les réfultats de
n obfervations, l’erreur ne furpaffera pas la fraftion
■ S, m étant < n.
M. de la Grange confidere ici qu’ en prenant le
milieu entre le réfultat de n obfervations, Uerreur
peut être ou 0, ou ^-L, ou ~ , ou &c. jufqu’à
, fâvoir — ; qu’ainfi la probabilité que l’erreur
ne foit pas plus grande que ~ , fera la fomme des
probabilités que l’erreur fera nulle , ou ~ ou
—- y jufqu à ——, 6c en confequence il cherche
d’abord quelle eft la probabilité que l’erreur fera — .
Il la trouve = —
[«
Tome I II.
, oii M eft exprimé par ■
a " +24 rx-^4] t .
&C. ’ •* “*4
.Il exprime enfuite la-même probabilité par une
ferjp , & tire de ces réfultats un grand nombre d’in-
dnatons cuneufes; il prouve, par exemple, qu’a
eft plus avantageux de ne prendre le OT&/qu’entre
un nombre pair d’obfervations.
M. de la Grange- indique, auffi dans une fcolie les
changemens que demanderoient les deux folutions
precedentes : fi , au lieu de fuppofer un nombre ésal
de cas pour avoir une erreur polîtive & une erreur
neganve, on admettoit l’hypothefe qu’il confidere
apre^cela, plus généralement dans le problème IH
dont voici 1 énoncé. *
SuppofaHque chaque obfervation foit fuiette à
une erreur d’une unité en moins & à une erreur der
unîtes en pins, & que le nombre des cas. qui peuvent
donner o , - i , + r d’erreur ftit refpeaive-
rnent z , b , c , on demande quelle eft la probabilité
que l erreur moyenne de plufièurs obfervations fera
rentermee dans des limites données ?
Solution. Soit n ie nombre des obfervations, dont
on veut prendre le qiifaæ, on aura pour la probabi,
lité que l’erreur moyenne foit la quantité:—ifeÿs ;
, [a+i+ç]»
& la probabilité que l’erreur moyennelera renfermée
entre ces limites ~-L, + iferaexpriméeparlaférie .[-p+:i] ~ fa-.v- [-1] * M ~ fil i-fc s. r,-q. . ,, jv
ProilÉm i r . Suppofant. tout comme dans le problème
precedent, on demande quelle eft’ l'erreur
moyenne pour laquelle la probabilité eft la plus
grande ? ^
Solution. Cette probabilité s’exprime par — ,
& on peut regarder cette quantité comme PeTreu?
du reiultat moyen, 6c par conféquent la prendre
pour la correction de ce réfultat.
Problème F. On fuppofe que chaque obfervation
loit iujette à des erreurs quelconques données, &
quon connoiffe en même tems le nombre des cas
où chaque erreur peut avoir lieu, on demande la
correction qu il faudra faire au réfultat moyen de
plufièurs obfervations ?
■ Solution,iSoi^tp,f>r;s:, & c . les erfeurs aux-
quelles chaque obfervation eft fujette', 6c a , b c d
& c . lescas qui peuvent donner ces erreurS?; fàvôir!
a le nombre des cas qui donneroient l’erreur p
: b' le nombre des cas qui donneroient l’erreur q ,6c
ainfi des autres, la correction qu’on cherche fera —1
ap + bq +cr +.&c. ■
M. de la Grange ne manque pas, non plus que
les autres géomètres gui ont traité cette matieré, de
ramener auffi la folution de ce problème à la détermination
du centre de gravité d’un certain nonibre
de poids. Voici deux corollaires qu’il en tire.
Corolaire premier. Si on regarde , dit-il, les quantités
a , b , c , 6cc. comme des poids appliqués à une
droite indéfinie à des diftances égales k p , q ,r , Stc.
d’un point fixe pris dans cette droite, & qu’on cherche
le centre de gravité de ces poids, la diftance de
ce centre au point fixe fera la correction qu’il faudra
faire au réfultat moyen de plufièurs obfervations *
cela-fuit évidemment de la formule que nous avons
trouvée plus haut pour la valeur de cette correction.
Corollaire fécond. Donc fioh fuppofe que chaque
obfervation foit fujette à foutes les erreurs poffibles
qui peuvent être comprifes entre des limites données
, & qu’on connoiffe la courbe de la facilité des
C C C c c c
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