après y avoir mis dans Vintégrale pour— ou dn~ Iy
leur valeur, on puiffe en tirer la valeur de -— -fz*
dx
o u d n~ - y 96c que dans ce dernier cas d n~ 1x ne s’y
trouve plus, & ainli de fuite ; 6c c’eftce qu’on pourra
toujours faire, même fans avoir intégré les différentielles
exactes qu’on veut affujettir à ces nouvelles
conditions ; il fuffira de faire la troifieme opération,
& l’on évitera encore ici l’inconvénient d’avoir intégré
en pure perte. Mais fi on veut, dans les cinquième
6c fixieme opérations, prendre toujours Vintégrale
des différentielles exaftes, à mefure qu’on les
trouve, il fera très-facile ,de diftinguer celles qu’on
doit employer 6c celles qu’on doit rejetter.
Septième opération. U intégrale finie étant ainfi
trouvée, le problème eft réfolu fi d x étoit confiant
dans la propofée, ou ne l’a point été fuppofé dans
l’intégration; mais fi d x étant variable on l’a fuppofé
confiant pour intégrer avec plus de facilité, il faut
dans les fondions a x + b , a x 1 + b x -J- c , &c,
a t b, c , étant arbitraires, mettre à la place de x une
variable quelconque £ dont la différence efi arbitraire.
L'intégrale ainfi trouvée ne contient pas toujours
toutes les folutions poffibles de la propofée, il y en
a encore de particulières.
M. Euler a remarqué le premier , qu’il y avoit
des équations qui fatisfaifoient à une équation différentielle
, fans cependant être comprifes dans fon
intégrale générale. Voici quelques réflexions fur
la caufe de ce paradoxe , c’eft ainfi que M. Euler
l ’a appellé.
1 . Soit A d Z + B Zm = o une équation diffère
ntielle , il efi clair que ç = o y fatisfera , mais
l ’équation fous cette forme eft égale à la différentielle
exaêle de Y intégrale multipliée par un fadeur,
donc il peut arriver que i = o fatisfaffe à la propofée
fans fatisfaire à la différentielle exafte de fon intégrale.
Il fuffit pour cela qu’elle fatisfaffe au fadeur, 6c que
l y foit à une puiffance pofitive plus grande que la
plus petite puiffance de { dans le dénominateur de la
différentielle exade.
2. Une équation intégrale étant fuppofée Q -f-
C— o ou C eft une confiante arbitraire, les équations,
qui rendent Q = ©, ou Q = oo fatisfont également
à Q + C — o , les unes répondant à l’hypothefe de
Ç = o , 6c les autres à celle de C— — oo ; donc pour
que la folution Z — o fatisfaffe à la propofée fans
fatisfaire à l’intégrale, il faut que non-feulement elle
multiplie le fadeur fans fatisfaire à la différentielle
exade , mais qu’elle ne puiffe pas rendre Yintégrale
infinie.
3. Soit ~~ÿ~ le fadeur, Yintègral fera ƒ A V Z ~ n
6c d Z + B Z ”1- " , &elle eft égale à f A V Z~ nd Z
prife en regardant Z feulement comme variable plus
à un ferme indépendant de Z ; il faudra donc ici que
f A V Z ~ n d Z prife par rapport à Z , ne foit point
infinielorfque Z = o ; donc (comme M. Euler l’a
enfeigné dans le chapitre de fon calcul intégral où
il traite de ces folutions particulières ) il faut que n
foit entre o 6c l’unité , mais il faut auffi que B Zm~n
ait un terme fans Z , fans quoi Z fe trouveroit à tous
les termes de Yintégrale , ce qui eft contre l’hypo-
thefe ; donc m — n ; donc m efi entre zéro & l’unité.
4. Donc fi on a une équation différentielle d’un
ordre quelconque, elle ne pourra avoir des folutions
particulières non comprifes dans Yintégrale.
à moins qu’elle ne renferme des radicaux \/ Z , 6c
que ces radicaux ne s’y trouvent pas multipliés à tous
1 les termes par des puiffances de Z ; & les radicaux
qui feront dans le cas 6c qui réfolveront la propofée
donneront les folutions particulières.
5. Soit l’équation A d Z + Bdbc -f- Cdy Zm = 0,
à laquelle Z = o fatisfait, 6c que cette équation n’ait
pas 8intégrale générale, il efi clair que toutes les
fois que m n’eft pas entre zéro 6c l’unité, Z = 0 fatif-
fait à l’équation de condition comme pour l’intégra-
bilité de ces équations , 6c que lorfque m eft entre
zéro & l ’unité, £ = o , n’y fatisfait pas ; donc on
pourra avoir dans ce cas pour folutions particulières
de la propofée, non-feulement l’équation de condition,
mais encore les quantités qui fe trouveront dans
la propofée fous le fignè radical avec la même condition
que ci-deffus, 6c il fera facile d’appliquer
le même raifonnement aux équations de tous les
ordres pour lefquelles j’ai donné les équations, de
condition.
M. Euler a remarqu&dans les Mémoires de Peterf-
bourg , oit il recherche la courbe qui décrit un point
attiré par deux centres fixés , que ces folutions particulières
non comprifes dans l’équation générale
np pouvoient être employées à la folution des problèmes.
Ainfi lorfque l’on a fu , par des fubftitutions
ou autrement, qu’une certaine équation fatisfait à
une équation différentielle, il faut avant de l’employer
examiner fi elle n’eft pas dans lé cas de nos'
folutions particulières, c’eft-à-dire , fi la fonélion
égalée à zéro dans cette équation ne fe tïouve pas
dans la propofée fous le ligne radical avec la condition
ci-deffus.
7. La caufe de ce nouveau paradoxe, remarqué
encore par M. Euler, fe peut découvrir en examinant
la maniéré dont pour chaque problème on parvient
à une équation différentielle; en effet on verra
qu’elles font formées par la comparaifon des valeurs
fucceflîves d e s y , des x , & enforte que fi au lieu de
y + d y on mettoity, & x au lieu de x -f d x 9 elles
doivent demeurer identiques ; or il eft aifé de voir
que fi dans A d Z \/ Z B — A Z - \ - d Z — A Z +
\Z Z B , on met Z au lieu de Z -f- d Z : elle ne
devient pas identique.
On voit que dans le cas de A d Z - \ - B Z = o la
même fubftitution ne rend pas la propofée identique
, auffi Z = o n’eft pas même dans ce cas une
véritable folution de la propofée, elle ne peut l’être
que dans le cas particulier où elle fe trouve être la
même que ce que devient alors la folution générale.
En effet, foit une équation a y + b x- — b c1 = o , a
étant arbitraire , on ne peut pas dire que l’équation
x — c foit une folution de cette équation , puifqu’il
y a une infinité de cas où elle ne réfout pas, 6c fi
on avoit eu l’équation <l-- x ~ ‘ ^ = o , on n’auroit
pas pu dire que x — c r.efout le problème qui a conduit
à cette équation , parce qu’il y a une infinité de
cas du problème qu’elle ne peut réfoudre. Ainfi les
folutions contenues dans Yintégrale réfolvent non
pas le problème propofé, mais quelques cas de ce
problème, & les autres folutions de l’équation différentielle
non contenues dans Yintégrale n’en réfolvent
aucun.
8. Dans le cas des équations abfurdes, on trouvera
que fi ces équations étant entre x 9y 6c { , on
cherche les valeurs de z répondant $ y = AT ( X eft:
une fonôion de x ) les folutions de la propofée contenues
dans l’équation de condition deviendront en
y mettant X pour y des folutions contenues dans
Yintégrale de l’équation en { 6c x. Au lieu que celles
qui ne feront pas contenues dans l’équation de
condition , ne donneront pas non plus de folutions
contenues dans Yintégrale de l’équation en { & x .
M. de la Place s’eft occupé particuliérement de
cet objet, fur lequel il a fait un très-beau mémoire \
qui doit être inféré dans le Recueil de Vacadémie des
f :iences de Paris.
Si on a différentié la propofée par la première
opération, Yintégrale trouvée fera trop générale, 6c il
y aura une partie des confiantes arbitraires qu’il faudra
déterminer ; on y emploira la propofée , qui
d’ailleurs donnera immédiatement autant d’intégrales
qu’on aura différentié de fois. Ce qui difpenfera
d’en chercher d’autres toutes les fois que l’on pourra
les employer à l’élimination fucceflive des plus
hautes différences , & alors les arbitraires ne feront
plus qu’au nombre néceffaire.
Il n’y a point pour un plus gtand nombre de variables
d’autre difficulté , que plus de longueur dans le
calcul.
Si on a m! équations entre m variables (m > m' )
on pourra les intégrer fans éliminer , en fuppofant,
i°. qu’elles ont fubi l’opération première ; z°. que
chacune étant multipliée par un fadeur, comme
dans la fécondé opération, leur fomme eft une différentielle
exade ; 30. en prenant m u intégrales
differentes ; 40. èn faifant enforte que non-feulement
les différences , mais ni variables quelconques puif-
fent s’éliminer. Voyeç S é p a r a t i o n .
Telle eft la méthode générale que j’ai propofée
pour intégrer les équations différentielles. On en
trouvera le détail dans mesEJJais déanalyfty dans
les Mémoires de Turin, t. IV. Sc dans ceux de Y académie
des Sciences, année >7 7 0 j
J ai déjà prévenu que cette méthode ne donnoit
que les intégrales des équations qui étoient fufeep-
tibles d’avoir des intégrales ünies. Or il n’eft pas fur
que toutes les équations poffibles foient dans ce cas
Cn effet ( voye^ l’article Equations pojfbhs au mot
POSSIBLE dans ce Suppl.}; les équations de condition
peuvent avoir lieu , pourvu qu’il y ait une intégrale
poffible, même en férié infinie.
La méthode precedente ne peut donc, être regardée
comme vraiment generale, que fi on a un moyen
de s’affurer ( le nombre de formes dont une intégrale
finie eft fufceptible étant connu ) fi les fonctions
rationnelles qui entrent dans c es formes fe
terminent à un nombre fini de termes.
On y parviendra toujours par la méthode fui-
vanteque j’apphque feulement ici au cas où la fonction
n a qu une feule variable x. Soit A une fonction
donnée par une équation quelconque, 6c que je
cherche fi A peut avoir une valeur rationnelle finie.
Je remarque d’abord que pour cela il faudroit que
A réduit en ferie fut égal à une férié récurrente ;
20. que le terme general d’une férié récurrente eft
^ j^ ^ + ^jfi^^j&c.ôù/îeftl’expofantdeAr,^ , B
des confiantes arbitraires , & ƒ , / & c. les racines
d une équation d’un degré égal à l’expofant de la
plus haute puiffance du dénominateur de la fraélion
A ; 30. que fi l’équation en /avoit deux racines égale
s , ,^ que/fu t cette racine , il faudroit prendre
A j i t " + B^eJn, Sic. & de même pour un fyftênje
quelconque de racines égales. Cela pofé, foit A
réduit en férié 6c la fubftitution faite au lieu de A
dans 1 ecpiation qui le donne, il eft clair d’abord que
1 cPtt5,e.cIuat\on linéaire, j’aurai le terme général
de la ferie qui exprime A par une équation aux dif-
ferences finies entre ce terme & n ; donc pour que
A puiffe être une fonâion rationnelle finie , il faut
que m e t ta n t^ / "a u lieu dece terme général,cette
fubftitution fatisfaffe à. l’équation : cette condition
iervira alors a trouver les valeurs d e /
Si l’équation en A n’étoit pas linéaire, alors on
obfefveroit que foit A = - i P , & Q étant des
fonaions entierês A™ = £5 -‘, ™ dA t = __f-1__
& amfi de fuite ; donc la (êrie qu’il faudra fubftituer
pour A ”1 on A ’!! d. A? fera encore une férié récurrente
, mats dont le dénominateur fera Q » ou
+ donc fl le terme général de la férié A
eft A y + e1 " celui dé la férié A » , ou
A m d Ap fera
m
|H| J 3 ) e / ” +
~ a &c. / ' * & «
H jP g j
» + .8 m Subftm.ant donc dans l’equat.on propofée., au. lien
de A & de.fes puiffances, des fériés infinies, on aura
une équation entre les .termes généraux de ces
c es . on y fiibftituera, au iiéu de ces termes géné-
raux , leur valeur hypothétique, & on déterminera
W Ê Ê Ê m la ’ on3 ‘ ?,n A ne fera pas fufceptible
d une forme rationnelle 6c finie. 1
Connoiffant toutes les valeurs poffibles de ƒ , on
aura le dénominateur de mais il n’en réfutai pas
neceffairement que A foit fufceptible d’une forme
■ finie , car il faut encore que le numérateur foitauiE
nm.
Pour y parvenir, foit P c e numérateur, on aura
Ppar une.équation quelconque. Je fais P = .-2 - , j ’ai
P \ dont je cherche le dénominateur de la’ même
maniéré que j’ai cherché celui de A , & je n’ai nlus
qu à voir en lui fuppofant pour numérateur ou luni-
‘ é ! P? V", faaeHr dl1 dénominateur trouvé ft ie
iatisrais a "équation. 1
On pourroir auffi, pour déterminer cette poffibi
lue, fuppofer P = « . , ■ ( ar il eft d air que fi P a
une valeur entière & finie, le éoëfficientdu plus haut
terme de 1 équation .rationnelle & entière en P 6r r
doit être nul. ■
J’ai traité cette matière avec beaucoup de détail
dans les Mémoires dc l'académie royaU des S c ié e s
année '772. Ce que j’en dis ici fuffit pour en faire
connottrel efprit & la méthode, & mettre en état de
1 appliquer aux (onflions à plufieurs variables.
Lorfque l’on a une équation, foit du premier
ordre qui n admette aucune intégrale en termes finis
foit une équation du fécond ordre qui n’ait nas où
Ahmigrale du premier ordre en termes finis, L qui
n en att qu une, ou qui en ait deux, mais dont on ne
puifle pas éliminer la différentielle, ni parvenir à
l’intégrale finie, Sc ainfi dë fuite pour lès autres or-
dres ; il eft clair que l’on ne peut avoir de valeur
de 1 intégrale en fonflions finies, fi l’on ne renarde
comme telles que les fonflions algébriques, les tranf-
cendantes algébriques connues, o u , ce qui revient
au meme, celles qui naiffent de la quadrature du
cercle, ou de celle dés courbes algébriques.
Mais voici une maniéré d’avoir ces intégrales en
fériés la plus propre à pénétrer dans la nature dc ces
équations, 6c que je donne feulementici pour le premier
ordre. S o itB x + Qdy.une équation en * & y
je fai s x = A + z 6c y = B + « ; A eft une valeur dé
x 6c B celle dey qui y répond ; parla méthode d’approximation
, j’ai une férié en | & « , qui repréfente
intégrale cherchée , je mets dans cette férié x au
Ijeu de A , y au lieu de B , a x au lieu de 7 , & a y
au lieu de u , 6c j’ai une fonftion en férié *&: aux
différences finies. Voyeç fur ce fujet les Mémoires de
Depuis l’imprelïion de Y article Intégral du