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long-tems de ce roy aume , jufqu’à cë qu’ils en furent
dépouillés par Danaiis, venu d’Egypte.
Le fleuve auquel Inachus avoit donné ion nom ,
eut un fort fingulier; il fut entièrement d efle ché ,
félon les anciens , de maniéré qu’on n’ en v o y o it aucun
vertige à Argos, Lucien,obferv e à cette occa-
iion que les fleuves même font fujets à la deftinee
qui fait difparoître les hommes & les villes. On voit
cependant encore aujourd’hui dans la plaine d Argos,
un petit fleuve fous le nom de PUnuga, qui fe perd
d'ans un marécage, près de la mer. Gèogr. de Virg.
pag. /3.5. ( 6 . )
IN C L IN A ISO N , (Agronomie.) c’ eft l’angle que
forme avec l’écliptique l’orbite d’une planete. Cet
angle érant mefuré au centre du fo leilq ui eft à l’in-
terfieélion Sc au centre de tous les cercles de la fphere
de l’écliptique Sc de tous les orbites planétaires, il
faut pour déterminer Yinclinaifon par obfervation ,
connoître la latitude héliocentrique de la planete par
le moyen de la latitude géocentrique obfervée ,
& la plus grande de toutes les latitudes héliocen-
triques; celle qui a lieu à 90e* des noeuds eft nécel-
fairement Yinclinaifon de l’o rb ite , mais pour éviter
cette réduction au fo le il, on choiiit le rems où le
foleil eft dans le noeud de la planete , c’e ft-a -d ire ,
nous paroît à la même longitude que la planete quand
elle eft dans fon noe ud , parce qu’alors la terre parte
en T fur la ligne des noeuds N S T (fig. u » plane.
A"A(Iron. dans ce Suppl. ) : ce qui rend la détermination
de Yinclinaifon fort fimple. Suppofons que la
planete fe trouve pour lors au point A de fon o rb ite ,
de maniéré qu’ayant abaiffé la perpendiculaire A B
fu r le plan de l ’écliptique ou de l’orbite de la terre
prolongée jufques vers la plan ete , la ligne T B qui
marque fon lieu réduit à l’écliptique loit perpendiculaire
à la ligne T S N dans laquelle fe trouvent
& le noeud de la planete Sc le fo leil; l’angle d élongation
B T S étant de 90d , les lignes A T 6c B T
font perpendiculaires à la commune fection 1 N ,
Tune dans le plan de l’o rb ite , Sc l’autre dans le plan
de l’écliptique ; elles font donc entr’elles le meme
angle que les deux plans ; c’e ft-à-dire , un angle égal
à Yinclinaifon que l’on cherche. O r , l’angle A '1 B
n’eft autre chofe que la latitude même de la planete
vue de la terre. Donc la latitude obfervée fera elle-
même Yinclinaifon de l’o rbite. Cependant comme il
eft rare de rencontrer ces deux circonftances enlem-
b l e , .c’eft-à-dire le foleil dans le noeud, 6c la planete
à 9od du foleil ; 6c que d’ailleurs cette dernière
condition ne fe rencontre que dans les planètes
fupérieures , nous avons befoin d’une réglé plus generale
pour la détermination des inclinaifons.
Suppofons qu’on ait obferve la latitude d une
planete vue de la te r r e , quelle qu’elle lo i t , pourvu
que le foleil foit dans le noeud ou à-peu-près. Soit
P la planete en un point quelconquep de fon o rb ite ,
la terre étant toujours en T dans la ligne des noeuds
T S A7; on abaiffela perpendiculaire/» L d e l’orbite de
la planete lu rle plan de l’écliptique, on tire des points
p éc L les perpendiculaires p R 6c L R fur la commune
feftion des deux plans ; l’angle p R L de ces
deux perpendiculaires fera égal à l ’angle des deux
plans, c ’eft-à-dire, à Yinclinaifon de l’orbite fur le
plan de l’écliptique. L’angle L T p fera égal à la latitude
géocentrique de la planete, l’angle R T L égal
à l’élongation de la planete ; alors la propriété ordinaire
des triangles reftilignes, tels que R T L 6c p T L
re&angles en R 6c L , donnera les deux proportions
fuivan res, fuivant les élémens de la trigonométrie
re&iHgne.
T L : R L : : R : fin. R T L 1
T L : p L : : R: tâne. L T p S
D onc R L: p L : : un. R T L : tang. L T p .
Mais dans le triangle p R L re&angle en L on a
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cette autre proportion R L: P L : : R : tâng .p R L *
donc en comparant la troifieme proportion av e c
cette derniere, on aura fin. R T L : tang. L T P : :
R : tang. P R L , c’eft-à-dire, que le finus de l’élongation
obfervée eft au rayon comme la tangente de
la latitude géocentrique eft à la tangente de Yinclinaifon
que l’on cherche.
On emploie fouvent des obfervations qui ne font
pas faites dans les circonftances que nous venons
d’e xpliq u er, afin d’avoir un plus grand nombre de
déterminations des mêmes quantités. C ’eft après
avoir calculé un nombre confidérable d’obfervations
de toutes les planètes, que j’ai déterminé leurs inclinaifons
delà maniéré indiquée dans la table ci-jointe.
Planètes. Angles d'inclinaifon.
Mercure, 7 d 0 ' 0"
V én u s , 3 Z3 20
M a r s , 1 51 0
Jupiter, 1 19 10
Saturne, 2 30 20
Mais ces inclinaifons qui font les latitudes vues du
fo leil, font ordinairement fort différentes des latitudes
géocentriques que nous obfervons ; celle de mercure
ne va jamais pour nous à la moitié de Yincli-
naifon, Si celle de venus va au double.
Les calculs de Pattraftion, par lefquels j’ai çecher-
ché les mouvemens des noeuds des planètes produits
par leurs attra&ions réciproques, m’ont fait remarq
u e r , en 1 7 6 1 , une chofe qu’on n’avoit pas encore
foupçon née, c’eft que les inclinaifons fur l’écliptique
ne iauroient être confiantes ; j’ai trouvé par exemple
que l'a â io n de vénus diminue l’angle d'inclinai-
fon de mercure de 8" par fiecle; Sc que l’aâ io n de
jupiter diminue de f . Uinclinaifon de mercure augmente
de 10" celle de v énu s , diminue de 25" celle
de mars, 6c augmente de 9" celle de faturne. Voye^
Noeud , D ic l. raif. des Sciences, &C.
Les inclinaifons des fatellites de jupiter ont des
variations beaucoup plus confidérables, plus fingu-
lieres 6c plus rapides ; lesaftronomes n’enfoupçon-
noient pas même la caufe‘, lorfque j’ai fait v o i r , en
1 7 6 4 , que ces inclinaifons^vovenoienx. du mouvement
des noeuds produits par les attrapions réciproques
des fatellites.
Toutes les fois que le noeud afeendant de la planete
troublante eft plus avancé que celui de la planete
tro u b lé e , Yinclinaifon de c elle-ci eft diminuée
pourvu que l’excès ne loit pas de 18od ou à peu-
près. Cette regie eft aifée à appercevoir en figurant
les pofitions de différens orbites les unes par rapport
aux autres. Par conléquent, fi l’on difpofe les planètes
dans l’ordre de la longitude de leurs noeuds af-
cendans, en commençant par celle dont le noeud eft
le moins a van cé , nous aurons l’ordre fuivant; mercu
re , mars, vénus , jupiter 6c faturne. Cela nous indiquera
que mercure contribuelà augmenter les inclinaifons
de toutes les planètes, 6c que faturne les
diminue toutes ; mars diminue Yinclinaifon de mercu
r e , mais il augmente celles de v énu s, de jupiter
6c de faturne, dont les noeuds font plus avancés, &
ainfi des autres.
C e fut ces confidérations que perfonne n’avoit encore
faites, qui m’ont donné l’explication des inégalités
obfcrvéés dans les inclinaifons du fécond &
troifieme fa te Mite, inégalités fi fingulieres, qu’avant
moi on n’en foupçonnoit pas même la raifon. ( M.
d e l a La n d e -)
IN ÇOM PO SÈ , adj. ( Muftque. ) Un intervalle
incompofè eft celui qui ne peut fe réfoudre en intervalles
plus petits f Sc n’a point d’autre élément que
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lui - même ; t e l , par exemple > que le diefe enharmô-
nique, le comma, même le femi - ton.
C he z les G r e c s , les intervalles incompofés étoient
différens dans les trois genres, félon la maniéré d’accorder
les tétracordes. Dans le diatonique le femi-
ton Sc chacun des deux tons qui le fuivent étoient
des intervalles ihcompofés. La tierce mineure qui fe
trouve entre la troifieme Sc la quatrième corde dans
le genre chromatique, Sc la tierce majeure qui fe
trouve entre les memes cordes dans le genre enharmonique
, étoient auflî des intervalles incompofés. En
ce fens, il n’y a dans le fyftême moderne qu’un feul
intervalle incompofè; fa v o i r , le fem i- to n . Voyeç
Sem i - TON, dans le Dicl. raif. des Sciences, Sec. (S )
IN D É T E RM IN É S , problèmes indéterminés. ( A l gèbre.
A n a ly fe.) Le premier auteur qui ait donné un
ouvrage fur cétte matière eft Diop han te, mathématicien
de l’école d’Alexandrie. Voye{ dans le Dicl.
raif. des Sciences, & c . Y article DiOPHANTÈ. Cette
partie de l’analyfe fit peu de progrès jufqu’au commencement
du dix-feptieme f ie c le , où Bachet de
Mézériac , un des premiers membres de l’académie
Françoife , célébré par fon érudition dans la langue
Grecque , a donné un favant commentaire de D io phante
, ouvrage excellent dans ce genre , félon
M. de la Grange. Fermât, D e fca r te s , Frénicle , en
France, Sc Wallis en A n gle ter re , fe propoferent
réciproquement plufieurs problèmes de cette efpece.
Le fils de Fermât recueillit les folutions de fon p e r e ,
Sc plufieurs beaux théorèmes dont elles lui avoient
fourni l’occafion , dans une édition de Diophante
qu’il a donnée ; mais les géomètres paroiffoient
avo ir oublié ces queftions, 6c même les méprifer
comme inutiles, lorfque M. Euler qui n’a laiffé aucune
partie des mathématiques fans l’avoir approfondie
Sc perfectionnée, a rév eillé l’attention des
géomètres par de très-belles recherches ajoutées à
celles de Fermât, Sc par des démonftrations générales
de théorèmes qu’on n’avoit trouvés que par
induftion. M. de la Grange s’eft occupé enfuite des
mêmes o bjets, Sc non feulement il a réfolu des problèmes
plus généraux Sc plus difficiles, mais il a
trouv é des méthodes plus directes, plus analytiques ;
car jufqu’à lui les analyftes n’avoient qu’une efpece
de tâtonnement Sc de divination pour ainfi d ire, Sc
c’étoit en partie pour cela que plufieurs ou les
avoient dédaignées, ou n’avoient ofé s’y livrer. Le
fécond volume de la Traduction françoife des E lè -
mens d.' Algèbre, de M. E u le r , renferme un traité élémentaire
, Sc av e c les additions de M.de la Grange,
une théorie prefque complette de cette partie de l’al-
gebre. C e t article ne fera qu’un extrait de cet ouvrage.
Problèmes indéterminés du premier dégré. Ces problèmes
fe réduifent à trouver les valeurs en nombres
entiers que peuvent avoir x & y , lorfque ces
quantités font données par l’équation a x — b y x z c ,
a b c étant des nombres entiers pofitifs ou négatifs.
Bachet eft le premier qui ait donné une folution
complette de ce problème : on l’a trouve dans fies récréations
mathématiques, intitulées : Problèmes amu-
fans.
Soit x = a 1, y — b 1 une folution de l ’équation ci-
deflus, on aura a 1 a — b 1 b =z c— a x — b y ; donc
~ ab- = i ; o r , puifque ( hypothefe ) toutes ces
quantités font des nombres entiers, Sc que par con-
féquent a S cb ne peuvent avoir un divifeur commun
qui ne divifie également c , Sc par confisquent tous les
termes, ôn pourra regarder - comme une fradion
réduite à fes plus fimples termes, Sc l ’on aura x — a'
— m b , y — b'.=z m a , ni étant un nombre entier
po fitif au négatif ; donc x — a ' -f- m b %y = b '+ m a ;
donc connoiffant une folution , on aura toutes les
autres ; donc m. pouvant être ou pofitif ou négatif à
Tome I I I ,
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volonté , on aura une valeur de a- entre —
Une de y entre - Sc — -.
Mais puifque a x - b y = c {oit fait x —= x ' eScy
— ^.y 1 c i nous aurons a x 1 — by ' xzlL- 1 ; donc ré-
folvant cette équation Sc prenant * = x ' c Sc y as
y ' c , nous aurons une valeur de x Sc d e y f Sc par
celle-là toutes les autres.
L’équation a x ' — b y ' == i 1 eft toujours réfi>
lubie, puifque réduifant -|enfradioncontinue(^hyk
F r a c t io n s c o n t in u e s , Suppl. ) prenant les valeurs
approchées fiuccertives pour ~ & appellant-^7
la plus approchée, nous aurons a b' — a ' b=z — 1 ,
ainfi x — — c a' Scy = — cb ' feront une des valeurs
cherchées de x Sc de y .
Problèmes indéterminés dont l'équation eft. telle
qu'une des variables ne monte qu'au premier degré. La
condition de ces problèmes eft de trouver pour x
Sc y des nombres entiers , lorfque
a+b x + cxi-t- d î t , &c.
f ï JT ïT , ---- .
donc nous aurons
a + b x + c x * .................... = A y
f + g x + h x , . ................... . = A
éliminant x nous aurons une équation de la forme
C-\- A B, ou C eft une quantité donnée en a , b , c Sc
o , f g , Sec. Sc ou B eft une fon&ion rationnelle &ne-
tiere des mêmes coefficiens d ey & delA ; donc C doit
être divifible par A ; donc prenant pour^ un desdi-
vifeursde ÇSc l’équation A - f - g x . . ,= z o, les racines
rationnelles de cette équation, fi elle peut en avoir,
feront les valeurs de x qui fatisferont au problème.
Si l’on avoit l’équation y — a7~ x * cx
Sc que xz=.A fût une des folutions , il eft aifé devoir
que A + m f en feroit une autre , m étant un entier
quelconque : o r , on peut fuppofer que A ï -m f foit
entre - Sc— - dont effayant tous les nombres entiers
contenus dans ces limites, on aura toutes les
.folutions premières, defquelles il fera aifé de déduire
toutes les autres.
3. Soit la fon&ion homogène — — ------L “
que je fuppofe égale à un entier.
D ’abord il eft aifé de voir que fi l’on fait x =z n y
—/ Q , l e numérateur deviendra de la forme a + b n
+ e n * ......... y m + B f qui doit être divifible par f ;
donc a + b n + c n * .. .y m fera divifible par f foit f =
f '■> f U /'■ >/">/"'• •• ^tant des nombres premiers
, il faudra que a + b n -{- c n '... foit divifible ou
par f , ou par Z'1, ou par j ' f " , &c._ou par ƒ , parce
quey ne peut être fuppofe divifible par f ; ainfi nous
cherchons d’abord n tel'que - -, foit un entier.,
& les valeurs de n trouvées nous donneront
les valeurs de y premières à / , Sc les autres fuppo-
fitions nous donneront les autres jufqu’à y divifible
par ƒ qui donne y ”1 divifible par f .
Voilà les feules équations qu’on a pu réfoudre
jufqu’ici pour un dégré quelconque. Je vais maintenant
parler de celles du deuxieme dégré qu’on a ré-
fiolues en général.
Des équations dp fécond dègre. On obfervera d’abord
que par l’algebre ordinaire on réduira la folution
de ces équations, foit en nombres feulement
rationnels,Toit en nombres entiers, à la recherche de
y/ A x * + B , égale à une fonélion rationnelle ou à
un entier.
Pour le premier cas, nous obfervons que ( Voycr^
D io p h a n t e , Dicl. raif. Scc.) (iA ou B font quarrés
ou égaux à l’unité, le problème fe réfout par la méthode
de Diophante ; ainfi, c’eft à rappeller la formule
C C c c ij