d i t , les poids qui font requis pour d ou b le r, tripler ^
& c . la charge. Il fera bon auffi dé v oir fi les montées
•obfervées répondent par elles-mêmes à celles que
donn ent, tant la théorie pure que la théorie corrigée
par la formule---- - — —. Pour cet e ffe t, il faud
ra calculer les hauteurs auxquelles les différens
poids employés auront dû faire monter la balle. Si
o n v eu t enfuite paffer aux jets obliques, on pourra
•commencer par examiner f i , fous un angle de 450.
les amplitudes font doubles des hauteurs obfervées
précédemment. Il eft à remarquer fur-tout, que des
expériences faites a v e c une balle d’ivoire ou de
b o is , ferviront, à caufe de la légéreté de ces balles1,
à éclaircir quelques points effentiels touchant l’art
d e bien fervir l’artillerie. M a is , pour ne pas rendre
c e t article trop lon g , je vais le finir, en expliquant
encore l’ufage d’une piece fort utile , quand on veut
appliquer l’infiniment aux jets des boulets de canon
o u des balles de mou fqu et, qu’on confidere comme
prefque redilignes : je la nommerai la mire ; elle
efl: repréfentée par la fig. 2. A B efl un petit cylindre
de cuivre qui traverfe la planche A B (fig. /.)
e n n. ' C B 8c A D font deux montans du même
métal', garnis chacun au bas d’un cylindre de plomb
p , 8c. tournant librement autour de la traverfe A B ,
afin que la mire prenne une fituation v e r tica le ,
quelque inclinaifon que l’on donne au canon. C D
e f l une autre t ra v e r le , dans laquelle fe meut une
lame de cuivre E F , divifée en parties égales ; on
peu t la monter 8c la b a iller , 8c l ’arrêter â telle
hauteur qu’il convient par une v is O : le centre de
la partie ronde qui la termine, e fl percée d’un petit
trou par lequel on v ife : la hauteur de cette lame
petit être d’environ 4 pouces.
Pour expliquer l’ufage de cet infiniment ^ on fup-
po fe ra les réglés de la théorie exa&ement obfervées.
U n corps jetté avec force aura toujours un mouvement
c om p o fé , l’un uniforme dans la dire&ion du
canon , en ligne d ro ite , l’autre uniformément accéléré
8c vertical. D e ce double mouvement réfulte
l ’arc parabolique , qui ne différé pas beaucoup de
la ligne d ro ite , fi le corps efl jetté avec fo r c e , 8c
fi on ne prend que des diftances médiocres. Cela
p o fé , on confidérera d’abord le reffort que le canon
renferme, comme tendu dans toutes les expériences
a v e c la même force. Il fera bon de commencer les
effais par des jets horizontaux. Suppofons le petit
canon couché horizontalement à la hauteur C, depuis
le plancher ou quelque autre plan, 8c que cette hauteur
foit de 6 po u c es , on fait partir le coup , 8c un
autre obferve l’endroit du plan où la balle fera tombée.
Si la diftance a entre cet endroit 8c la bouche
du canon efl x = 6 pieds,.la balle aura d éc r it, par
un mouvement uniforme horizontal, un efpace de
6 p ied s , dans le même tems que par fa pefanteur,
e lle fera tombée de la hauteur de 6 pouces. Ce tems
fera égal à-peu-près à ^ fé c o n d é , 8c la balle fera
partie av e c une vîteffe à faire 33 pieds dans une
fécondé de tems. Le principal efl de fa v o ir , par
cette expérience réitérée, que la diftance horizontale
efl douze fois plus grande que le baiffement ;
8c il faudra d o n c , pour pointer exactement la machine
baliftique , hauffer la mire de la douzième
partie de la diftance qui e fl entre le petit trou de
la mire 8c une vifée qu’on appliquera au bout du
canon. La mire ainfi p la c é e , fervira pour toutes
les diftances de 6 pieds, à quelque hauteur ou profondeur
que fe trouve le but ; parce que , fe tenant
toujours verticalement par le moyen des contrepoids
p , 8c parallèlement au mouvement vertical
accéléré de la balle , il y aura toujours deux triangles
femblables ; la balle baiffera toujours de 6
£o\iççs ; c’eft ici un des grands avantages de la
machine baliftique, 8 c, fuivant ces réglés, nous avons
fouvent réufli à donner contre une balle fufpendue
en l’a i r , à une diftance donnée depuis la bouche
du canon , pourvu que cette diftance ne fût que
d’un petit nombre de pieds. Mais il refte à faire
v o ir où il faudra placer la mire , lorfque la diftance
du but x n’eft pas précifément de 6 pieds.
Soit donc n x une autre diftance quelconque , il
eft clair ( par la théorie de la chûte des corps qui
tombent) que la balle baiffera dans fa route de la
quantité n n C , parce que les tems font ici comme
1 : n ; donc le baiffement de la balle fera à la route
direéte , ou , à - peu - p r è s , à la diftance du bu t,
comme n n C à n x , ou comme n G à x ; d’oii il
fuit que les hauffemens du vrai point de la mire
font en raifon des diftances du but. S o it , par exemp
le , la diftance entre la mire 8c la vifée de 8 pouces,
le hauffement de la mire fera de 8 lign e s , lorfque
le but eft éloigné de 6 pieds ; mais fi cette diftance
n’étoit que de 3. pied s, il ne faudroit plus hauffer
la mire que de 4 lignes. ( J . B.")
Solution du problème ballijlique, en fùppofant la
refifiance de l'air proportionnelle au quarré de la vîteffe
du projectile ; tirée du journal littéraire de Berlin,
ann. 1 7 7 1 , vol. V I I I . C ’eft fur le jugement d’un des
plus grands géomètres de l’E u ro pe , que nous mettons
ici fous les y e u x des fa vans, cette nouvelle fo-
lution du problème baliftique, que M. J. Bernouilli
a jugée plus fatisfaifante que celles qui en ont été
données jufqu’à préfent. Elle eft d’un officier d’artillerie
auquel, fans le con noître, nous donnons le
jufte tribut d’éloges qui lui eft dû.
§ . 1. Soit m la gravité fpécifique de la matière
dont le corps projetté eft compo fé , n la gravité fpécifique
de l’ a i r , S1 le diamètre du corps fphérique,
M fon poids s’il eft p le in , 8c A fon poids s’il eft
c r e u x , comme les b omb es , grenades, 8c foit
M : A = p. : y , fo it enfin x un certain nombre qui
indique combien de fois la hauteur de la colonne
d’a ir , dont le poids eft égal à la réfiftance, eft plus
grande que la hauteur de laquelle un corps pefant
doit tomber pour acquérir la vîteffe du corps proj
e t é dans un point donné de la courbe qu’il parcourt
, 8c foit u cette y î te f fe , la réfiftance R : on
aura
où j’ai pofé a = -j- J'.
§ .2 . Soit maintenant l’angle d’élévation = « ; la
vîteffe initiale = c ; l’abciffe = x ; l’ordonnée = y 1
l’arc parcouru= 5 ; 8c/>= ~ ; 8c e la bafe des loga-;
rithmes hyperboliques.
La nature de la courbe décrite fera exprimée paxf
cette équation,
2L
Il s’agit maintenant de trouv er une équation entre
x 8c y par le moyen de cettfe équation.
§ . 3 . Je fuppofe la nature de la courbe exprimée
par cette fuite :
y = A x + X + - ~ X ' + 1 £ - * " + ~ X ,',+ & c.
dans laquelle X , X ' &c. font des fondions telles
que
X ~ a x 1 j8 x* -J- &ۥ
X I z=,a! xh + /3 x* + &c.
X II xz a x* -J- /3 x * -J- 8rCm
on aura d’ab ord,
£ = p = a + - L .
d’où l ’on tir e , en fùppofant x ss ç
A tang. a
f. dp 1 d dX
enfin - f - — — - 4- &c»
donc en fùppofant # == o , on aura s — ô ; donc dans
c e cas on aura
d d X __ __ fec< __ ^
On peut remarquer qu’ en fùppofant x = 0 , on
•aura
■ o ; - 7 7 - — o ; X = o ;
- £ ^ - = ° t i i i x " — o ;
§ . 4. Pofons maintenant
1 + p p = fec. a 1 + - '. ( - - t - J r + - p r fr| ‘
hous aurons en fubftituant la valeur d e p p ( §• 3* )
lès équations fuivantes :
Y = 2 tang. 0
d x
dx
Y ' = 2 tang. uH l
Y ' = 2 tang. •»
dX» ^ dX dX'
Y " '= 2 tang. &>
dX"> 1 d X d X ' / d X ‘ \
- 7 r - + 1 - 7 T ‘ - ’j T + k 7 r )
Y " "z z 2 tang. cû
dX"" dX " , ,d X ' iX-: |
- j r + f e f i r + ^ ' î r , 1
6*c.C
es équations fe continuent aifément, fuivant la
lo i qui eft évidente. Et püifque ds =s d x y / ( i + / , /7)>
fi nous pofons
- £ i = .p + _ i r z + - ^ - z , + - ^ r z u+ & c . .
Nous aurons également les fond ions Z , Z 1 ôcc*
exprimée par F , Y ' 8ce. enforte que
Tp = fec. a.
Z = î F cof. a
Z ' = i ( F ' — Z 2) cof. a.
Z ,,M % ( Y " - 2 Z Z ' ) cof. «.
z ,f' éz \ ( Y " ' - I Z Z " - Z ' 1) cof. «;
Z " " = ( Y " " — 2 Z Z " ' - 2 Z ' Z " ) c o f 0.
&c. .
La loi qu’obfervent ces fondions eft fi c laire , qu il
n’ eft pas néceffaire de l’expliqiier.
§ . 5. Maintenant nous a v o n s , en fùppofant d x
con fian te ,
- i - . + ~ ~ + &C.
JL , u _ l i — _ -L L cof. «- • ou bien en fuba
-d» a9 d x *
ftituant la valeur de e a ( § . 2.)
% W Ê — — d dp •
d dx dx dx* *
, r x d dX a ddX' . a ddX" a ddX'" g -1
donc [ ^ : t x t + i S v ^ &c' J
X (fec. a + - ^ Z + - ^ - + - ^ î— +
+.6-C.
d’où l’on tire les équations fuivantes:: o wBWWbBSBI ' a d x 1 d x i
n a 7 d d X a d dX ' f ^ .
x ) V Z “Tir-+ fec- "
n a 7/ d d X , „ a y dd X ' . a d d X"
Cec to s5 j l £ L -
4 ) - - v - -
H — • cof. u = & c' fuivant la loi
qui faiTte aUx yeux.
§ . 6. En confidérant cestequations , on v o it aifément
qu’elles font intégrales. Car la première l’e f t ,
8c connoiffant la fonûion X , 6n aura F 8 c Z , par
conféquent la fécondé devient auffi intégrale , 8c
ainfi du refte. Pofons pour plus de commodité,
~ . Z .
± z '. ^ f +—z . lïg L—tp
8c ainfi de fu ite , on aura ces équations
ï ) ± fec. 0 .
2 ) U = z - ± ( e c
&c.
§ . 7 . Pour intégrer ces équations,pofons
^ r = P : ^ = Q_
nous aurons par la première
ajtiec.»
donc C e * s= Q == • \ d**-
mais — 2 g fec. «*, fi x-^. o ( § • 3)
donc C = •— 2 g fec.
8 c ï = - —2 g fec. . e a
■a* fec. »
enfin s - - 2^fée.a1 Ce “ d x + conft.
ixfecto
c’eft-à-dire = — a g fec. a e a conft.
mais -4*— '= 6 , fi x = o ; 'donc conft. — à g fec. « ;
donc = — a-g fec. a ( e a — 1 }
À ’ rz conft. — 7 a*g [ e | — fJcl L^
fi x = o , nous avons X — o ; d o n c . . .
conft. = + £ «ag.
donc enfin X== — | a* g “ |—z* y :——
§ . 8. Pour la fécondé équ a tio n , multiplions-la
par e * * , on aura
TT J ■ Kxf a fée, a • ddX' dl X' e * * U d x = e ' x { ----- ^------T"J
d’où l ’on tire par la'méthode‘connue,
8c l’intégrale ^ + f e U d x — e
' 2.x féC. a - î
* ( -4 + C ' ° U d x )
> x fec. a - a x Tcc, a
= f l + f « “ C ^ + f« “ i V . r )
8c en fin X 1 ~ C + B x
+ tÇtl x f ^ e “ WM
ou bien ■ - = B -1----- . a c o f a e