L Q eft égale k Q J , auffi O L eft égale E J .
Mais 01. eft égale h L K , donc, Ne. ' ... ......
L’angle OML reliant de 450. faifons les angles
NMO , O M P , LMT égaux. Les droites L T , LN,
L O , L P , font les tangentes des angles L M T ,
LMN, LMO , LMP , pour le rayon LM. La droite
OE étant déjà tirée, tirons les N E , P E , qui
rencontrent la LJenR&i.eaS,&cherchons comment
les Q L , QJ font coupées en R & en S. _
Par les triangles equîangles N L R ,. E JR , çont-
me E J à LN , ainfi JR à RL : donc, componmdo,
la fomme de E J & de L N , eft à 'LN , cornue
( la fomme de JR Si de R L , c’eft-à-dire, ) JL k
R L Prenant la moitié des antécedens, la moitié
de la fomme de E J & de LN , efl■ LN comme
( la moitié de J L , c’eft-à-direI ) Q L eft N LR s
& par convtrjîon des raifons, la moitié de la lom-
me de E J &t de LN eft la moitié de l’exces de
E J fur L N , comme QL ( à l’exees de QL fur
TR rVft-à-dire. à à O R , comme la fomme entière
de E J & de Z V à tout W & de E J fur- LN.
Mais puifque E J eftégaleà O L ou ZAf, la fomme
de E J & de LN eft la fomme du rayon Sç de la tangente
de l’angle LMN ; & l’excès de E J (m LN eft
l’excès du rayon fur la tangente du meme angle,
& puifque ces deux quantités fon t, par la Trigonométrie
, comme le rayon à la tangente de 1 excès
de l’angle OML de 4 S V [ l'r
à-dire à la tangente de 1 angle OM N , ou de ion
égal TML. Donc fi l’on prend LQ pour rayon,
Q R eft la tangente d’un angle égal à l’angle T ML.
Par le même raifonnement, mais en prenant
O J pour la moitié de JL &■ l’excès de P L fur
E J ou LM , on trouvera que JQ eft à QS comme
la fomme (de P L & de LM , c’e f t - à -d ir e ,) du
rayon & de la tangente de la fomme de 1 angle
OML (de 45°.) & de l’angle OM P , eft à. l’excès
de la même tangente fur le rayon ; mais ces deux
quantités font, par la Trigonométrie, comme le
rayon à la tangente de l’angle OM P , ou de fon
égal TML : fi donc on prend JQ ou QL pour
rayon la QS doit être la tangente d’un angle
égal à l’angle TM L , auffi-bien que la QR. D’oit
l’on tire la conftru£tion de l’échelle des heures,
telle que nous l’avons donnée. n e
ao. J’ajouterai qu’ayant trouve la conftruchon
de l’échelle des heures , & fon emplacement tel
que la livne EO de trois heures, coupe cette échelle
egalement en Q , & ayant démontré que dans ces
cas la droite E J eft égale à la LO ou L E , il eft
très-facile, de trouver la cpnftruaion de la ligne
des latitudes. ■
Car élevez fur L J , au point Q , une perpendiculaire
qui rencontre en TJ la droite EE j & fur
QL faites un triangle reflangle Q L X I qui ait l’angle
Q L X égal à l ’angle LE R . La droite Q X e ft le
finus de cet angle pour le rayon QL. Mais par
les triangles équiangles J E L ,U Q L , comme L E
à JE , ainfi LQ à Q U : & par les triangles equian-
gles LE K , Q L X , comme E L à L K , ainfi LQ k
Q X . La raifon de LE à E J eft .la même que celle
de E L k L K , parce que E J & LK font égales;
donc LQ à QU comme LQ à Q X ; les Q U , Q X
font égales : Q X eft le finus de l’élévation du pôle
pour le rayon Q L , ou pour la moitié de l’échelle
des heures ; & toujours LU , côté, oppofé
à l’angle droit, eft au finus de l’élévation du pôle
, comme toute l’échelle des heures eft k la partie
de’ l’échelle des latitudes qui convient à cette élé-
vation du pôle. ■ -: :
Voici comment je penfe que 1 inventeur eft
parvenu à la découverte de ces deux eehelles.
Il a remarqué que la pofition des lignes horaires
E N 9 E O , E P , dépend des points N , O ,P ,
qui à tour leur dépendent de la grandeur de la
droite LM ou LK. Il s’eft avifé de mettre cette
droite LM en E J , eft de joindre J L , qui eft coupée
par les lignes horaires.
Si E O eft la ligne de trois heures, 8c par conféquent
OL égale à LM , ou à L K , ou à EJ, les triangles
O Q L , E Q J font manifeftement égaux, 8c la
LQ eft égale à la QJ ; mais à caufe des angles
J E Z ,E L O le cercle décrit du centre Q 8c du rayon
QJ, pafle par E 8c par L : donc les droites J Q , QE,
8c par conféquent auffi QL 8c QO font égales.
Cela pofé, on voit d’abord que fi l’on prolonge
en Y julqu’à la circonférence du cercle, la droite
Q U déjà tirée pour trouver la raifon des droites LJ,
J E , elle eft un rayon par rapport auquel les Q R ,
Q S , Q L , Q J , font les tangentes des angles Q Y R ,
Q Y S , Q Y L , QYJ. Mais QY L demi-droit, eft égal
à l’angle LM J, donc prenant Mq égale à QY,8c tirant
q l perpendiculaire à la q M , elle eft égale à la LQ.
On aura vu par expérience que la q r eft égale à la
Q R , 8c ainfi des autres, & on en aura trouvé la dé-
monftration précédente ou quelque autre. On trouvé
prefque toujours la démonftration d’un théorème
dont on connoît la vérité.
41. Mais, comme l’a fort bien remarqué M. Lambert
, la propriété de la droite L J relativement à la
droite L P , eft générale. Je m’explique.
Soit (figure iS) A B une droite donnée de pofition,
qu’on doit divifer par la rencontre des droites qui
fuivant une loi donnée, font au point C donner des
angles avec la droite CD donnée de pofition, 8c par
conféquent de grandeur. Suppofons qu’il foit plus
commode de divifer la droite A B , par le moyen du
point E , 8c de la droite FG , auffi donnée de pofition
qui rencontre en H la droite A B .
Par la condition du problème, il faut qu’ayant fait
un angle quelconque D C J , la droite FG foit divifée
en L , enforte que la droite tirée par les points E 8c
L , aboutifle au point J. Car il eft manifefte que de
cette maniéré les droites tirées par £ 8c par les
points de divifion de la droite FG , donneront les di-
vifions cherchées de la droite A B.
Tirez de la droite E D qui rencontre en K la
droite FG. Il eft clair que le point K eft un de ceux
qu’on cherche, 8c répond au point D , puifque fi le
point K eft donné, la droite tirée par E & par K
donneroit le point D , comme le problème l’exige ;
donc à rebours les points E 8c D donnent le
point K.
Maintenant fi l’on pouvoit trouver un point M, tel
qu’ayant joint la ML 8c la K M , tous les angles
KML fuflent refpe&ivement égaux aux angles
D C J , tout feroit fait; car la droite E L , prolongée
s’il le faut, donneroit le point J.
Suppofons la chofe faite, & le point M foit celui
que l’on cherche. Lorfque la CJ tombe fur la CN, 8c
devient parallèle Jl, la A B , ces deux droites ne fe
rencontrent poipt;3& celle qu’on doit tirer dupoint
E au point de rencontre, eft auffi parallèle à la
A B , 8c ne rencontre point la FG du côté O. L’angle
qu’on fait fur KM , au point M , doit être du côté
P , égal â l’angle D CN ; donc le point M eft à la circonférence
d’un fegment de cercle qui pafle par K ,
8c qui eft capable de l’angle donné DCN.
Lorfque la droite C J tombe fur la C T , de
nouveau la droite tirée pa rle point E eft parallèle
à la A B , 8c rencontre la F G quelque part
en Q. Alors, l’angle KMQ doit être égal à l’angle
D C T ou C D B , qui avec l’angle D C N fait deux
droits ; 8c le fegment capable de l’angle C D B ,,
du côté de la droite E Q , & de l’angle D C N
du côté de la droite A B , doit auffi pafler par Je
point Q. La droite K Q eft donnée de pofition 8c de
grandeur : on peut donc décrire fur cette droite le
legment demandé : que ce foit K M R Q .
Pour trouver le point M que l’on cherche, faites
au point C fur la droite D C un angle donné D C J ;
8c au point Q fur la droite K Q l ’angle KQR égal
à l’angle DCJ. Tirez la E J qui rencontre en L la
FG ; joignez la RL qui rencontre en M la circonférence
K Q RM ; je dis que M eft le point cherché.
D ’abord l’angle KMR fait deux droits tant avec
l’angle de fuite KML , qu’avec l’angle K Q R oppofé
dans le quadrilatère KMRQ inferit dans le cercle;
donc l’angle KQ R eft égal à l’angle KML; mais l’angle
K Q R a été fait égal à l’angle D C J : donc, &c.
4z. II feroit difficile de montrer par la comparai-
fon des droites 8c des angles, qu’un autre angle
quelconque, DCS eft égal à l’angle correfpondant
KMF. Mais on peut le prouver par une propofition
qui regarde les quantités en général. Si deux quantités
x 8c y font égales, croiflent ou décroiflent
uniformément, 8c parviennent dans le même temps
à la grandeur A ou à zéro, je dis que ces quantités
font égales dans tous les états correfpondans. La
chofe eft manifefte 8c l’application facile. On peut
fuppofer que la droite JC tourne uniformément autour
du point C , 8c traîne avec foi la droite I L E ,
8c avec elle la droite L M qui tourne autour du
point M. Les angles I C D , L K M font égaux ;
quand la droite I C tombe en C N , la droite L M
tombe en M P ; 8c les angles D C N , K M P font
égaux; quand la droite 1 C tombe en Z) C , la droite
L M tombe en M K , 8c les angles font nuis de côté
8c d’autre, &c.
Au refte ceux qui voudront voir ce problème
réfolu par une favante analyfe algébrique , le trouveront
dans le traité de M. Lambert, cité au commencement
de cet article.
Lé même auteur propofe une forte d’échelle qui
fert pour toutes les hauteurs du pôle, auffi bien que
celle que nous venons dé décrire. La voici :
43. Sur deux droites A B , D E ( planche I I I ,
figure 16") qui fe coupent à angles droits au point
C , décrivez la projettion ftéréographique fur le plan
d’un méridien. ( Ÿoyt{ la méthode, article Ca r te s
GÉOGRAPHIQUES du Dictionnaire raif. des Sciences,
8cc. 8c du Suppl. ) Il eft iuperflu de dire que les méridiens
doivent être décrits de 15® en 150 pour les
heures , de y° 30' en 70 '3 0' pour les demi-heures,
& c . & votre échelle fera faite.
Pour conftruire un cadran horizontal, prenez
l’arc A F égal à la hauteur du pôle ; par le. point F
rirez la droite F G , parallèle à la droite A B ,8c
qui rencontre en G le cercle A D B E , 8c en H la
droite D E . Du centre H & de l ’intervalle H F , décrivez
un demi-cercle qui rencontre les p rojetions
des méridiens aux points 7 , 8 , 9 , 10, 1 , 2 , 3 , 4 ,
5 ; tirez par H 8c par chacun de ces points de divifion
des droites qui feront celles des heures, là droite
D E fera la méridienne, 6c le point 8c le centre du
cadran.
nez 1 arc A F égal à la hauteur de l’équateur. Le
refte de la conftruéHon eft le même.
44- C ette figure eft une proje&ion qui fuppofe
Joeu au zenit Z ( planche I I , fig. 7 ) dans notre
c’ /1S ^1 Ie diamètre du méridien du lieu ;
* ^ont *es Pôles projettés en A 8c en B , 8c par
conféquent B D la tangente, 8c D A la cotangente
de la moitié de la hauteur de l’équateur ( V. C artes
géographiques dans le Suppl. ). Mais puifque
1 angle Z C Z) eft égal-à l’angle P D H , qui dans
notre cas repréfente la hauteur.de l’équateur, il eft
jnamfefte que tirant par C la droite C I perpendiculaire
fur la A H , l’angle Z C / eft le complément de
1 angle P D H ; donc ici l’angle Z C 1 eft la hauteur
du pôle ; & l’arc de cercle décrit du Cefltfê C 8c dit
rayon C Z , 8c compris les droites C Z 8c C I a
autant de degrés qu’en a la hauteur du pôle.
45. A prêtent comparant la fig. y , ( planche 1I \
avec la fig< ,G , {planche I I I ) , le demi-cercle F n <
eft celui dont O D eftla projeaion ( fig. y ) . Le
cercle A E B D,{fig. 1 S) eft celui dont./? A , (fig. 7 )
eft la projeaion, 8c dont C eft le centre dans les
deux figures; l’angle F C A {fig. ,&) répond à l’an-
gle Z C I , {fig. y ) ; c’eft pourquoi l’arc A F , {figk
1 G ) doit avoir autant de degrés qu’en a la hauteur
du pôle. Au furplus, il eft évident que les points Z ,
7 , P , 8cc. repréfentent ceux où chaque méridien
rencontre l’horizon ; par conféquent les droites H F 9
N y , H P , 8cc. font les lignes des heures.
Afin que cette figure ferve d’échelle, on trace la
projeaion A E B G D F enforte que les traits foienc
ineffaçables ; par exemple on l’a fait graver fur une
plaque de cuivre ; enfuire on y décrit pour une hauteur
du pôle donnée le demi-cercle F i z G , enforte
qu’on puifle l’effacer quand on veut ; on décrit fur
la furface où doit être le cadran un demi - cercle
égal à celui de l’échelle, on tranfporte fur le premier
les arcs 11 12 , 1 2 1 0 , & on tire les lignes ho-,
raires feulement fur le cadran*
46. On peut faire auffi des inftrumens qui mon-:
trent les heures par les hauteurs du foleil.
Sur un diamètre A B {fig. ,y , planche III. ) pris à
volonté, décrivez un demi-cercle A C B , dont le
centre eft D ; faites l’angle B A C égal à la; hauteur
du pô le , 8c les angles C A E , C A F , chacun égal à
l’obliquité de l’écliptique : fur les arcs E E , CF marquez
les points où ces arcs font coupés par les angles
de déclinaifon des fignes 8c degrés du zodiaque, la
jambe commune de tous ces angles étant la droite
CA. Pour éviter la confufion, nous n’avons marqué
que les fignes.
47. A préfent par le centre D tirez la droite D G
parallèle à la A C , & du point A fur D G menez la
perpendiculaire AG . D u centre G 8c de l’intervalle
D G décrivez un cercle D H I , que vous diviferezen
vingt-quatre parties égales pour les heures, en quarante
huit pour les demi-héures, &c. De chaque divifion
de la circonférence tirez des perpendiculaires
fur la droite D G ; chaque point de rencontre eft un
centre duquel, par le point A , vous décrivez les arcs
compris entre les droites E A , A F : par exemple
du centre K 8c de l’intervalle K A décrivez l’arc du
cercle qui aboutit au point marqué 8 , 4 ; 8c du centre
Z & de l’intervalle L A , l’arc qui aboutit aux points
y , 6 , 8c ainfi des autres. Par A fufpendez un fil qui
porte un petit grain mobile 8c un poids Wfur le côté
OP : mettez deux pinules perpendiculaires au plan.
O P , & l’inftrument eft conftruit.
: 48. Pour en faire ufage , dirigez les pinules vers
le foleil ; le demi-cercle reftant dans cette fituation,
defeendez le grain mobile jufqu’au cercle A E C FB ,
qui eft celiti de 12 heures ; enfuite portez le fil tendu
furie lieu du foleil pour le jour de l’obfervation,
par exemple, en A Q , le grain mobile vous indiquera
l’heure : dans la figure il eft en q , 8c indique cinq
heures après midi ou fept heures du matin, & environ
trois quarts.
On voit bien que pourfe fervîr exa&ement de ce
cadran, il faut qu’il foit monté fur un pied, à-peu-
près comme les quarts de cercle aftronomiquesj
Pour ce qui regarde les pinules, voici la conftru&ion
de celles que j’ai fait faire pour un inftrument à
prendre les hauteurs égales : j’ai trouvé ces pinules
fort commodes.
49. A B C D , EFG H {planche I F , fig. 10. ) font
deux plaques de cuivre parfaitement égales. La première
eft percée de quatre fentes : une verticale,
H l ; une horizontale, K L , 8c deux MN, OP qui