de l’ordre de 1b propofée ; mais on ne peut p'ashn
-fuppofer en général n intégrales algébriques de l ot-
dre n — i . En effet, on a d’abord le terme e* * a qu’une
feule différentiation ne pourroit pas faire difparoïtre,
ainfi lorfque l’intégrale de l’ordre n — z doit le contenir
, une des intégrales de l’ordre n — i le contenant
aufli, fa différentielle exàâe contiendra e b' x .
D ’ailleurs ( 2 étant le figne de l’intégration par
rapport aux différences finies , & F x défignant une
fonction donnée de x ) , l’integrale de 1 ordre n — 1
peut contenir s. F x 9 Si cette fomme peut ne pas
être exprimable en termes finis, par une fonction
finie de a:; alors fi l’intégrale de l’ordre /zy 2 contient
2 F 1 x , & que F ' x contienne 2 F x , il paroît
impoflible d’avoir deux intégrales de l’ordre n - 1.
Mais fi on peut égaler 2 F 1 x à une fonâion finie de
x U F x plus une fondions F"^ x , F" ne contenant
plus F x , on aura alors les deux intégrales, & comme
de telles fondions peuvent entrer dans la différentielle
exafte , fan,s que * foit dans la propofée, on
ne pourra fuppofer qu’on ait n intégrales de l’ordre
n — 1 oui Düiffent la produire fans contenir * & eb'*,
ou e b" x , &c. dans leurs différentielles exaftes, ou
même des produits indéfinis.
o°. Il fuit de-là qu’il faudra ou fuivre la méthode
des intégrations fucceffives, ou bien, lorfqu’on aura
une équation intégrale de l’ordre n — 1 qui contienne
ic Ou eP * , ou un produit indéfini, du e N e , fuppofer
une autre intégrale du même ordre contient x
ou eP x 9 ou la fonéfion indéfinie, & de plus g * *1+*,' *
une fonction indéfinie qui («°. 6) peut difparoïtre,
par deux différentiations, & ne devient la propofée
qu’en mettant au lieu de celles de ces quantités qui
relient après avoir comparé cette nouvelle inté-,
grale avec fa différentielle, leurs valeurs tirées dè
Y équation intégrale qu’on a trouvée d’abord, & fi la
nouvelle intégrale contient ea* , &c. on fup-
pofera que e a x 2 + b x , &c. entre aufli dans la troi-
fierae intégrale, & ainfi de fuite.
9°. On obfervera que , _____ ________
S x A x Z x z x A Z — ^ A x A Z A x A * Z
z=. x A £ — A x Z + A Z .
io°. Pour intégrer la fonôion en x purs, on remarquera
que la différentiation n’en ayant pu faire
évanouir ni radicaux, ni fondions tranfcendantes,
toutes les fois qu’elle pourra être exprimée par une.
fon&ion finie, cette fonction fera une fra&ion ra-
tionellè de x & des fondions dé x contenues dans la
différentielle , & on l’aura toujours en férié infinie
par la méthode dont j’ai parlé au commencement
île cet article.
1 1°. Si une équation propofée contenoif dés quantités
transcendantes, alors il faudrojt les regarder
comme fondions algébriques de nouvelles variables.
& de leurs différences, enforte-que les regardant
fous ce point de vue la propofée foit encore poflible.
Quel que foit une équation aux différences finies J
ces principes fuffiront pour l’intégrer par la méthode
des coéfficiens indéterminés.
Quant aux intégrales qui échappent à cette méthode
, on peut dans différens cas trouver des ibrtfles
de fondions qui les repréfentent ; mais cette difculîion
nous entraîneroit trop loin.
Si au lieu de favoir qite a x eft confiant, on fa voit
qu’il efl égal à <p, fondion de x & y , il n’y auroit
qu’à éliminer y , & on auroit x par urie équation
comme ci-deifiis*, dont l’intégrale contiëndroit une
nouvelle variable x ' 9y feroit donné par une éqüatibn
femblable, & pour avoir y e n il faudroit élitiii—
ner x 1. (0)
ÉQUATIONS aux différends finies & infiniment petitts.
Je donne ce nom à des équations qui contiennent
outre les variables^, & fleu rs différences finies'&infiniment
petites, telles que d x 9 dy9 A x , dy9 ^ A y ,
d A y 9 d % A ny, d a n- 1 y . , &c. Aucun' géomètre
n’a encore confidéré la théorie de ces équations.
Voici quelques remarques fondamentales qui pourront
conduire à une méthode de les réfoudre généralement.
i ° . La propofée pour un ordre n de différences
pourra, fi Z en eft l’intégrale complette & finie
etre mife fous la forme
a Z - \ - b d Z - J- c A Z + c da, Z -f-ƒ d A Z g. A 1 Z . . i
p d n Z q Zxz. O .
II fuit dé cette forme femblable à celle des différences
partielles, que la. propofée n’a point pour intégrale
néeeffaire une équation de l’ordre n— 1 , dont
les différentielles combinées entr’elles pyoduifent la
propofée.
2°. A x étant fuppoféconfiant, les quantités ea x p ■ ■ I M H B m 1 x l v ||J i étant un nombre entier, ou eax 4 , g 6 étant
également dans Z 9Z - \ -A Z 9 Z + d Z 9 & par con-
féquent fi dans la propofée p & q ( n9 1 ) nè font
pas égaux à zé ro , c'eft-à-dire-, fi la propofee contient
à la fois des différences nes finies & infiniment
petites , l’intégrale n,e contiendra point'd’autres
tranfcendantes ni d’autres arbitraires que des
fondions fans variables, p pourra être égal à — — >
mais jamais plus grand, & femblablement pour les
fondions eax e p ne pourra être > n + — 1J
30. Si la propofée eft telle que les équations. A n Z
= 0 d n Z ±z o n’entrent pas dans fa formation, mais
feulement les équations A n~ mZ x zo d n~m‘ Z — O,
& des équations aux différences, partie finies /partie
infiniment petites. Alors, on pourra avoir une
intégrale qui contiendra m tranfcendantes quelconques
, ou un plus grand nombre de tranfcendantes
eb x feulement, & telles qiiè l’ iïné étant V une autre
foit V -f- V9 éc ainfi de fuite, ce nombre étant toujours
facile à déterminer pour chaque ordre, & mr
arbitraires pareilles à celles des équations aux différences
finies, c’eft-àfdire, qu’on aura pour intégrale
une fondion algébrique des variables & de
leurs différences infinimentpetitesdont les çoefficièns
pourront .être eaX , & én général des fondions
Q de à: donnëés par Aei'équations aux différences
finies entré # & Q.
Vôÿèz fnr .cè ïujêî les Mémoires de PacâcCémie des
fciencis , année ! y’y ï . '
Voyez auffi Yardcle ËcyEJAtioNs linIêàires au
mot Linéàirês , dans cè Supplément, ou l’on çon-
fidere quèlques autres hypbt^efes à’équations- aux
différences nîlies. (0)
Équations empiriques J On a nommé ainfi dés
équations trouvées indép'ètidatftmertt tde tôutë théorie
& d’après les feules obfervations o une planète,
& comme elles repréfentênt avec èAâditn.îlë” le
mouvement de cette pla’netè pendant lés''révolutions
obfefvées, on en conclût qu’elles pourroht lès
ripréftntef1 indéfiniment /
Ainfi’les équations dë tfiafS ytfelles que Këplef ?és
détermina lUffqu’il trôùvâ îftojyen d’expliqU.ér le§'
irrégularitesquil àvbifSbférVées dans foÜtStiési en
fuppofant qtig fon orbitë ë tek elliptique!, èes^fiik-
tions, dis*|e \ étoiënt ëmpifiqîiés. Mais Ibffqu^eh appliquant
cëttç(îoiauxâiitlrëS plariëtë's, ilp^dvd^ùe*
leurs Orbites 'étoient aùffi flès .éllipfès , aldr's' ff.ur's
équations trouvées d’après cette hypothefe nftént dés
équatiorfs données par là théorie^ non plfis des
équations empiriques, ^rifi, une^équation à qqi on a
donné long-tems ce nom , ceffe de favoir lôrfqu’on
trouve une théorie qui en rend raifon.
M. Wargentin a trouvé des équations empiriques
pour les latellites de jupiter, d’après ces obferva-
tions feules & d’après ces équations, il a dreffé des
tables de ces fatellites qui repréfentent leurs mou-
vemens avec des erreurs qui ne vont pas au-delà
de quelques minutes.
M. de la Grange eft le premier qui ait imaginé de
réduire en méthode générale l’ârt de trouver ces
■ équations empiriques. Voici une idée abrégée de
cette méthode.
I e*., Toute expreffion d’une quantité donnée par
une équation différentielle, peut être fuppofée égale
à une fuite de termes çnfinus & cofinus ( Foye{ les
articles Approximation &c Équation séculaire
, Suppl. ). Le problème fe réduit & doit trouver
cette férié par les feules obfervations, toutes les
fois du moins que cette férié eft convergente.
2°. Dans ce ca s , un certain nombre fini de termes
de cette férié doit repréfenter les obfervations. Soit
donc Q la quantité dont on cherche la valeur, foient
Z , Z ' , Z Z i .. Z . n des valeurs obfervées
de Q répondant à n valeurs de l’angle décrit x
ou du tems t , nous aurons Z («° 1 ) égal à un nombre
fini de termes, fin. a ' - f b ' X 9 ou fin. a -f- b T &
cof. a ' + b ' X 9 ou cof. a -\-b T , chacun de ces termes
étant multipliés par un coefficient confiant, AT St
T font les valeurs de x & / , correfpondantes à Z .
Soient maintenant X + p t X - j - z p 7X + - $ p 9 &c.
les valeurs correfpondantes à Z ' , Z " , Z &c. &
prenant une férié Z q - Z '.y-J-Z " y a+ Z " 'y 3, <S*c.
(X ) le terme général de cette férié fera compofé de
termes ço (. a ' +b> X + b ' p m, fin. a ' + b r X + b
pm 9m étant l’expofant du terme général; o r , puisque
fin. a ' + b ' X-\-pm=:
{a ' + b' x + b ’ p m ) y - 1 — (y + y x + b 'p m) ^ - 1
& que cof. a 1 q- b ’ X-\-brp m—
{a '+ b X + b p m ) i / - i - ( * ' + b ' X +b;P m ) y
il eft aifé de voir que le terme général (A ) fera compofé
d’un nombre 2 n de termes, dont chacun fera
égal au terme correfpondant dans le terme précédent
ae la férié multipliée par e~ b‘p y - * f
donc chaque terme formera une fuite géométrique ;
donc la propofée fera égale à la fomme de 2 n de ces
fuites , & le dénominateur de la férié récurrente
fera 1 — ePb' v/~ i 9 i —e -p b 'v '- i } & ainfi de fuite
pour chaque finuç ou cofinus ; donc le dénominateur
lera 1 — 2 , cof. b 1 p y + y t X 1 — 2'cof. b " p y + y * 9
&c. donc la férié (^ ) fera récurrente foient donc
Z 9Z ‘ , Z " 9 Z '"9 &c. les valeurs données par l’ob-
fervation , il faudra donc chercher la férié récurrente
de cette forme, dont 2 + Z ,y + Z " y 1 q.
Z " y ?, &c. font les premiers termes pour cela ; je
remarque qne la fomme de la férié, récurrente fera
néceffairement
X H - B y q- C y * + D y i .................p y m - x.
A[ -f- B 'y q- C'y a -j- D 'y *...........P 'y »».
donc prenant toujours Z en nombre impair, foit
a m — 1 le nombre, on aura par des équations linéaires
les valeurs des A , B . . . P9. . . A ' B ' . . . P'9 & fi
ces valeurs forment une férié convergente, lorfqu’on
augmente le nombre des obfervations, alors
prenant le dominateur, on cherchera à réfoudre
Véquation A ' q- B ' y . . . q- P 'y m = 0 en faéleur 1 —
2 , cof. b ' p y + y a,on mettra enfuite
A q- B [y -f- Cy 2
A ' + B ' y ~ . . . . P 'ym
fous la forme «L’une fomme de fraélions divifées par
1 7 1 c?^‘ + J '1 , & l’on aura par ce moyen la
détermination des coefficiens des termes en finus'.
A u r e fte ,f i Véquation n’eft. pas fufceptible de la
forme ci-deffus, les racines indiqueroient dans la
foyme générale cherchée des quantités e f* qu’on
fait pouyoir s’y trouver. S’il y a plufieu& racines
reelles égalés, alors il y aura dans la valeur cherchée
des quantités proportionnelles aux puiffances de x
& ces puiffances feront d’un degré égal au nombre
des racines égales diminué de l’unité.
Si ces racines égales font de la forme 1 - 2 cof.
■ p b + y 2, alors cela indique dans la quantité cherchée
des termes de la forme cof. a + b x , & ainfi de
fuite, enforie que quelle que foit la forme cherchéer
pourvu cjue la quantité foit donnée pour une équa-
tion différentielle, & qu’elle puiffe être repréferitéê
par une certaine etendue de valeurs d’une maniéré
approchée, on la trouvera d’après les obfervations
par la méthode ci-deffus. (0).
Équation séculaire. On appelle ainfi eriàftro*
nomie une équation qui augmente continuellement
avec le tems; toute équation au rayon refteur d’une
planete proportionnelle , foit au tems ou à fès puiffances
, foit à l ’angle du mouvement moyen & à fes
puiffances, eft une équation féculaire. Il en eft dé
meme de toute équation du moyen mouvement qui
feroit proportionnelle au quarré du ternis i ou à les
puiffances fuperieures : o r , de toute équation pour
le tems proportionnelle au quarré ou aux puiffances
de l’angle du moyen mouvement.
A Y article Approximation dans cè Sàppî. nous
avons montre que l’ex^ftence apparente de ces équations
dépendoit dans la théorie de l’égalité des racines
d’une équation, qu’un changement permis dans
toute efpeee de méthode d’appproximation pouvoit
faire difparoïtre cette égalité ; que dans le cas oit la
différence des racines feroit très-petite, ce même
changement pourroit en introduire d’égales : qu’ainfi
dans ce cas, on ne peut être fur qu’il n’y ait pas
üéquation féculaire9 & que jamais on ne peut être
certain qu’il doive y en a vo ir , à moins que l’on
puiffe s’affurer que la férié où la méthode d’approximation
conduit, ne foit convergente, lorfqu’elle renferme
Y équation féculaire, & divergente lorfqu’elle
ne la renferme pas, ou réciproquement.
11 ne nous relie donc plus ici qu’à parler de Y équation
féculaire, confidérée aftronômiquement. Quelque
longue que foit une fuite d’obfervations, elle
ne prouve rien pour la réalité d’une équation féculairei
En effet, foit/» le nombre des révolutions obfervées
d’un aftre, il eft clair que puifque cof. m x — r
~ ~k a.3.4. » ? Ci ; '•>
Si on a une équation apparente proportionnelle
au quarré de l’angle parcouru, c’eft-à-dire à x a , &
foit P x * 9 cette équation aù bout de p révolution
elle fera P p 1 n 2, n étant la circonférence du cercle*
elle fera par conféquent
a. p — A " pn + P m * t bc.
o r , cette férié eft toujours plus petite que P m1 n 4
p 4, cof. m p u ; donc, pourvu que l’on prenne m tel
que la quantité P m 1 n 4p 4, cof. m p n , foit infen-
fible aux obfervations ; on peut fuppofer au lieu dé
l’équation P X * , une équation de — l ~co{-mx. ? fans
qu’il y ait d’erreur fenfible : o r, quel que foit p 9 on
peut toujours prendre m affez grand pour cela ; donc
on peut repréfenter aufli bien les obfervations fans
le fecours d’une équation féculaire.
Quelle que foit une équation féculaire donnée pat
les obfervations, on parviendra donc à la repréfenter
aufli bien par une ou plufieurs équations proportionnelles
à des finus.