par M. du Séjour dans les Mémoires de Laça demie
■ royale des Sciences de Paris, année 1.764 & fuivantes,
-avec des formules analytiques très-élégantes & très-
générales, dont l’auteur a déduit une infinité de cas
6c de problèmes relatifs aux éclipfes ; 6c dès l’année
176 1 , M. Goudin 6c M. du Séjour s’étoient occupés
enfemble de l’analyfe des éclipfes. V oyez les Recherches
fur la gnomonique , les rétrogradations & les eclip-
J e s , chez Defaint 6c Saillant, 17 6 1 ,8 6 pag. in-S°.
Après avoir expliqué la méthode rigoureufe de
'calculer les éclipfes, nous paffons à une méthode
•graphique, par laquelle on peut trouver fans calcul,
-avec la réglé & le compas, les phafes d’un éclipfe de
foleil à deux ou trois minutes près, ce qui eft très-
fuffifant pour prédire des éclipfes en différens pays
<ie la terre, & pour tous les ufages de l’aftronomie,
•excepté pour le calcul d’une obfef vation déjà faite.
Cette méthode eft plus difficile à démontrer, mais
beaucoup plus facile à exécuter que la méthode rigoureufe
que nous venons d’expliquer. La figure que
i ’on fait pour trouver les phafes d’une éclipfe eft
celle du globe terreftre projetté, c’eft-à-dire, rapporté
dans la région de la lune. Pour faire fentir les
raifons & les principes de cette opération graphique,
nous allons montrer la maniéré dont les éclipfes de
Jbleilarriventfurlafurface delà terre, dans le cas
le plus fimple , en fnppofant un principe qu’il ne
faut pas perdre de vu e -, favoir, que le foleil eft
affez éloigné de nous, pour que les rayons qui partent
du centre du foleil, 6C qui vont aux différens
points de la terre, foient fenfiblertient parallèles. Le
point T ,p l. d?Ajlron. de ce Suppl, fig. 2 4 , que je
fuppofe le centre de la terre, voit le centre du fo-
îeil par un rayon T S ; le point E qui eft à la furface
de la terre, voit le centre du foleil par un rayon EO ,
qui ne fait avec le précédent qu’un angle de 8'' 5
6c qui va par conféquent le rencontrer à une diftance
prodigieufe ; airifi ce rayon eft fenfiblement parallèle
au précédent : on peut donc fuppofer que la
ligne E A O parallèle k T L S , eft celle par laquelle
le point E de la terre voit le centre du foleil.
Si cependant l’on vouloit avoir égard à la parallaxe
du foleil, & fuppofer que le rayon E O fe rapproche
de E S pour aller former au centre du foleil un angle
de 8" f , toute la différence confiftera à diminuer
Pangle T E A de 8" - , en tirant une ligne E R qui
faffe avec E O un angle R E O , 6c ce fera fur la
ligne E R que le point E de la terre fera le centre
du foleil. Si l’on luppofe que L A foit une portion
de l’orbite lunaire interceptée par les rayons T S ,
E R , la ligne L A que nous appelions la projection du
rayon delà terre E T , dans l’orbite lunaire, paroîtra
plus petite de 8W f , lorfqu’on voudra tenir compte
de la parallaxe du foleil: luppofons que le foleil foit
au point S , l’efpace que les rayons G S 6c T S interceptent
dans l’orbite de la lune, & que nous avons
appellé la projection de la terre, eft vu de la terre G
fous un angle L G S qui eft la différence des parallaxes
de là lune & du foleil, c’eft-à-dire, la différence
des angles G L T 6c L S G ; mais il faut imaginer
le point de concours S à une diftance prodigieufe,
pour que l’angle S ne foit que de S" alors l’angle
L G S eft plus petit de cette quantité que l’angle L ,
& l’angle R E L plus petit de S" { que l’angle E L T
ou fon égal O E L ; ainfi la proje&ion de la terre eft
vue fous un angle fenfiblement égal à la parallaxe de
2a lune.
Si la lune eft en L au moment de la conjonélion,
Pobfervateur placé en K fur la furface de la terre ,
verra une éclipfe centrale de foleil, puifque le centre
de la lune lui paroîtra fur le ra-y on T K L S , par lequel
il voit le centre du foleil. Soit A L une portion
de l’orbite lunaire décrite avant la conjonâion, en allant
de A en L , ou d’occident vers l’orient ; puifque
le point E dè la terre voit le centre du foleil fur la
ligne E A O, il s’enfuit évidemment que quand la lune
fera au point A de fon o rbite, elle couvrira le foleil
6c formera une éclipfe centrale pour l’obfervateur
placé en E , puifqu’alors le centre de la lune & celui
dufoleillui paraîtront fur une même l i g n e O .
Si la lune emploie une heure à parcourir la portion
A L de fon orbite , l’éclipfe aura lieu pour le point
E de la terre, une heure avant qu’elle ait lieu pour
le point K , ou pour le centre T de la terre, c’eft-à-
dire , une heure avant la conjonftion que je fuppofe
arrivée ,a« point L ; l’efpace A L eft ce que nous appellerons
le rayon de projection, parce que c’eft l ’ef-
pace auquel on rapporte les points E Sc K de la terre
comme fur un plan de projection, 6c qui renferme
toute l’image de la terre E T , dans la région A L de
la lune. L’on a d’abord quelque peine à fe figurer le
foleil, répondant ainfi au même inftant à divers points
de la projeûion pour différens lieux : mais qu’on re-
fléchiffe à ce qui fe paffe dans une allée de jardin ,
où l’on fe promene en voyant le foleil fur fa droite.,
toutesles ombres des arbres font parallèles entr’elles;
quand on eft fiir la première ombre, on voit le foleil
répondre au premier arbre ; quand on a fait quelques
pas, on voit le foleil répondre à l’arbre fuivant, 6c
s’il -y a.quatre perfonnes en même tems quifoient entr’elles
à la même diftance que les quatre arbres font
entr’eux, elles verront répondre ;le foleil aux quatre
arbres différens ; c’eft ainfi que l’obfervateur qui eft
en D , voit lefoleil répondre au point C de l’orbite
de la lune ou de la projeCtion ; tandis que l’obferva-
teur qui eft en K voit le foleil au point L , comme
celui qui eft en F voit le foleil au point H.
Ainfi pour trouver la maniéré dont une éclipfe
doit paroître à différens points de la terre, il fuffit
d’en faire la pro jeCtion fur un p lan ^ L , & la maniéré
dont l’orbite de la lune traverfera cette projeCtion ,
nous montrera les circonftances de Y éclipfe ; nous ferons
affurés, par exemple, que fi île point E de la
terre étant projetté en A , la lune fe trouve en même
tems au point A , elle fera une éclipfe centrale pour
l’obfervateur fitué en E.
Pour tracer la projeCtion ontographique des cercles
de la terre, il fuffit de fe rappeller qu’un cercle
vu obliquement paroît fous la forme d’une ellipfe :
on fait qu’une ligne A B , fig. 25, vue obliquement du
point O , paroît de la même grandeur que la ligne
perpendiculaire A C = A B fin. A B C; ainfi dans.un
cercle C A D ,fig. 27, vu obliquement, toutes les ordonnées^
B , E F paroiffent plus petites dans le même
rapport : le cercle paroît donc une ellipfe C G D ,
dont le petit axe eft au grand comme le finus de l’in—
clinaifon eft au rayon. Cette proportion revient au
même que l’expreffion précédente; il eft néceffaire
de s’accoutumer à comprendre que le cercle vu obliquement,
paroît une ellipfe, ou que rapporté fur
un plan par des lignes perpendiculaires, il y forme
une ellipfe ; car nous faifons un ufage continuel dans
l’aftronomie de cette confidération. Voyons actuellement
de quelle maniéré cette projeCtion peut fe tracer
avec l’exaCtitude néceffaire pour calculer une
éclipfe.
Les principales lignes de la projeCtion d’une éclipfe
font repréfentées dans la fig. 2 8 ; S T eft la ligne menée
du centre du foleil au centre de la terre que nous
appelions Amplement./æ ligne des centres ; I L un plan
qui paffe par le centre de la terre perpendiculairement
à la ligne des centres. C e plan forme le cercle
d’illumination, 6c fépare la partie éclairée I D L de
la partie obfcure L Q V I ; nous allons rapporter à ce
plan les différentes parties de la projeCtion ; mais tout
ce que nous dirons à ce fujet pourra s’appliquer .au
plan de projeCtion, lors même que nous les placerons
dans la région de la. luner parce -qu’il fera toujours
parallèle au cercle d’illumination, 6c y formera une
figure femblable 6c fenfiblement égale. La ligne PO
eft l’axe de la terre;E Q le diamètre de l’équateur
P E L O Q I P le méridien univerfel, c’eft-à-dire,
celui qui paffe continuellement par le foleil, 6c que les
différens pays de la terre atteignent fucceffivement
par la rotation diurne du globe ; E D eft la déclinaifon
du foleil ou fa diftance à l’équateur ; l’arc P I eft
l’élévation du pôle au-deffus du plan de projeCtion :
cette hauteur eft égale à la déclinaifon du foleil ; car
fi des angles droits P T E 6c D T I on ôte la partie
commune P D , on aura l’arc P / = D E qui eft la
diftance du foleil à l’équateur E , ou fa déclinaifon.
Cette élévation du pôle fur le plan de projeCtion eft
auffi égale à l’inclinaifon de tous les parallèles terre
(très par rapport à la ligne des centres, 6c le complément
de leur inclinaifon par rapport au plan de
projeCtion.
Ayant pris depuis l’équateur, les arcs E G 6c Q F
égaux à la latitude d’un lieu de la terre , tel que Paris,
la ligne G H perpendiculaire à l’axe P O , 6c qui
eft le cofinus de la latitude E G , fera le rayon du parallèle
de Paris, ou le cercle que décrit Paris chaque
jour par la rotation diurne de la terre ; 6c G F fera le
diamètre de ce parallèle. Des points G , F6c H , qui
font les extrémités & le centre du parallèle de Paris,
nous abaifferons des perpendiculaires G M , F R ,
J W ; les points M , R , N oîi ces perpendiculaires
rencontrent le cercle, de projeCtion J L , feront les
projections des extrémités 6c du centre du parallèle.
La diftance T M , du centre T de la projeCtion au
bord intérieur M de la projeCtion du parallèle de
Paris, eft égale au finus de l’arc G D ou de la différence
entre E G qui eft la latitude de Paris , 6 c D E
qui eft la déclinaifon du foleil; la diftance T R du
centre T de la projeCtion à l’extrémité la plus éloignée
R du parallèle de Paris, eft égal au finus de
l’arc D Fow V F ; cet arc V Feft égal à la fomme des
arcs y Q 6c Q .F dont l’un eft égal àla déclinaifon du
foleil, ôc l’autre à la latitude de Paris : ainfi la diftance
du centre de la projeCtion au fommet du parallèle ,
eft égal au finus de la fomme de la latitude du lieu ,
6c de la déclinaifon du foleil.
La diftance 7Wou l’efpace compris entre le centre
T de la projeCtion , 6c le centre N du parallèle, eft
égal à T H cof. H T N ; mais T H eft le finus de la latitude
de Paris , H T N eft égal à P 1 ou à D E , c’eft-
à-dire,'à la déclinaifon du foleil pour le moment donné
, en prenant pour rayon le rayon même de la projeCtion,
dont T ATeft le produit du finus de la latitude
6c du cofinus de la déclinaifon.
Soit P C R l’axe de la terre ,fig. 29, élevé au-deffus
du cercle d’illumination, ou du cercle terminateur,
de la quantité P C N égale à la déclinaifon du foleil.
Soit A B D E le cercle ou parallèle diurne ;A F , D
G des lignes parallèles aux rayons du foleil, 6c que
nousfuppoferons auffi parallèles entr’elles.Ces lignes
forment entre la terre 6c la lune un cylindre oblique
dont la bafe eft un cercle , mais dont toutes les fec-
tionsperpendiculaires à l’axe font des ellipfes, puif-
qu’elles font la projeCtion d’un cercle vu obliquement.
La projeCtion de la terre entière dans l’orbe de la
lune fera un cercle M F K. parallèle 6c égal au cercle
d’illumination : mais le parallèle de Paris ou le
cercle A B D E n’étant point parallèle au plan de
projeCtion X Y , il ne peut s’y projetter que fous une
forme elliptique. C ’eft cette ellipfe que nous allons
décrire ; elle eft la même fur le plan de projeCtion
X Y que fur le plan qui pafferoit par N O ; ainfi tout
ce que nous difons à l’occafion de la fig. 28, aura lieu
pourl’ellipfe que nous allons décrire fur le cercle de
projeCtion qui paffe par l’orbite lunaire.
Dans les opérations fuivantes, il faut bien comprendre
que la diftance de la lune au point de la projeCtion
qui répréfente un lieu de la terre, marque la
diftance apparente du foleil 6c de la lune pour ce
point-là : je fuppofe un point A de laterre,fig. 2.9 ,
projettée en Fpar un rayon A F ; le même lieu A 6e.
la terre voit le foleil fur la ligne A F; fx le centre de
la lune répond alors au point Z de la projeCtion, l’ôb*
fervateiir fitué en A , verra la lune éloignée du foleil
de la quantité F L. Ainfi le point Fêtant la projection
du point A de la terre, c’eft au pointFde la projeCtion
que l’on rapporte le foleil , quand on l’ob-
ferve du point A .
Au moyen des propriétés que nous avons expliquées
, 6c de celles de rellipfe, il eft aifé de tracer l’el-
lipfe de projeCtion pour un lieu 6c pour un jour donné.
Soit A X B ,fig. 3 0 , le cercle d’illumination ,ou
le cercle de la terre qui eft perpendiculaire au rayon
du foleil ou à la ligne des centres.; il faut fuppofer le
foleil au deffusde la figure, répondant perpendiculairement
au-deffus du centre C de la terre. La ligne X
P D Ç eft un diamètre du méridien univerfel, dans
lequel on fuppofe le foleil immobile ; A C B eft un
diamètre de l’équateur, perpendiculaire au méridien
univerfel; P eft la projeCtion du pôle, c’eft-à-
dire,' le point du plan dè projeCtion fur lequel le
pôle répond perpendiculairement; on prendra les
arcs B L 6c A K égaux à la latitude du lieu ; enluite
les arcs K M ,K N , L R , L V , égaux à la déclinaifon
du foleil; ôn tirera les lignes M E R, N F P, l’on
aura C E égale au finus de F F ou de la fomme de
la latitude du lieu 6c de la déclinaifon de l ’aftre ; 6c la
ligne CFégale au finus de B Fou de la différence des
mêmes arcs. Ainfi les .points E 6c F feront les extrémités
delà projeCtion du parallèle; donc l’ellipfe qui
repréfente le parallèle aura E F pour petit axe ; 6c
divifant E F en deux parties égales au point G , l’on
aura le centre de l’ellipfe ; car le centre doit être né-
ceffairement à égale diftance des deux extrêmitésF,
F , du petit axe.
Il eft vrai que le point G eft différent du point D ,
par lequel paflè le diamètre K L du parallèle de.Pa-
ris ; mais cela vient de ce .que le cercle A X B fur
lequel nous avons pris les arcs B L , 6c A ZC égaux
à la latitudé de Paris, n’eft pas un méridien ni un cercle
fur lequel fe comptent les latitudes ; l’axe eft incliné
au cercle de projeCtion, le méridien eft incliné
au cercle A X B , le point de l’axe par lequel paffe
le parallèle de Paris, eft bien à une diftance du centre
égale à C D ; mais ce point rapporté fur le cercle
de projeCtion, répond perpendiculairement en
G , enforte que C G eft égale à C D multipliée par
le cofinus de la déclinaifon du foleil.
Mais le demi grand axe de l’ellipfe n’eft autre
chofe que le cofinus de la latitude du lieu ; ayant
donc la grandeur de l’ax e, on tirera par le centre G
que nous avons déterminé,une ligne S G X parallèle
6c égale à K L , qui eft égale au diamètre du parallèle
de Paris ; S G X fera le grand axe de l’ ellipfe qu’il
s’agit de décrire.
Connoiffant le grand axe S X6c le petit axe F GFde
l’ellipfe que nous cherchons, il fera aifé de la tracer,
c’eft-à-dire, d’en trouver tous les points d’heure en
heure. On décrira fur le grand axe un cercle S HXQ_
quirepréfentera le parallèle de Paris ; ce cercle étant
divifé en 24 heures aux points marqués 1,2, &c. on
fera fur que chaque point g du parallèle paroîtra fur
la ligne g ƒ perpendiculaire au grand axe : car quelle
que foit l’inclinaifon du cercle S H L , 6c l’obliquité
fous laquelle il fera vu , pourvu qu’il paffe par
les points S 6c X , le point #• de fa circonférence répondra
toujours perpendiculairement au point h du
grand axe , & l’abfciffe G h de l’ellipfe fera toujours
le finus de l’arc H g du parallèle ou de la diftance au
méridien.
Pour trouver auffi l’ordonnée b h de l’elüpfe au
i