i l l
tirer la valeur d’une fondion quelconque des racines
, pourvu que toutes y entrent d’une maniéré
femblable ; mais les formules des coefficiens de la pro-
pofée qui expriment ces fonctions femblables de racines
, font difficiles à exprimer fous une forme générale
& commode , lorfque le nombre des racines
oli les expofans de ces fondions font des quantités
indéterminées. Si les fondions femblables de toutes
les racines font rationnelles , les fondions descoef-
ficiens de la propofée le font auffi : mais fi elles font
irrationnelles ; fi au lieu de fondions femblables de
toutes les racines, on cherche des fonctions femblables
de deux, de trois racines feulement ; alors les
fondions des coefficiens qui y répondent ne font
plus rationnelles , & il faut déterminer le dégré des
équations dont elles dépendent alors, & les c&effi-
ciens rationnels de ces équations.
Soit par exemple une équation :
a;» + a x n~ 1 -\-b x n~x ............. + r ” s o.
& qu’on demande' la valeur d e .............................
y=pu4P + BP + CP . . . . . . . . . .
A y B , C , étant les racines de la propofée, & entrant
au nombre de m dans la valeur de j ; i° . f ip
eft entier, on verra que Véquation qui doit donnery,
fera d’un dégré égal au nombre des combinaifons de
n quantités prifes en nombre m ; z°. ûp eft une fradion
dont le dominateur loit p' , le dégré de l’équation rationnelle
en y , fera le même nombre des combinaifons
de n t quantités prifes en nombre m, multiplié
par p'm, & de pLus , il n’y aura dans Y équation
en y , que les termes oii l’expofant de y fera un multiple
de p' . Si q p' eft le dégré de cette équation e n y ,
on aura le coefficient d e y ? - l P égal à une fondion
de a , b1 . . . r" du dégré p p 1, le coefficient de y ?~ *p '
à une fondion du degré 2 p p 1 i àc ainfi de fuite, & il
n’y a plus à déterminer que les coefficiens de ces-
fondions. Cette derniere partie eft celle pour laquelle
il eft le plus difficile de trouver des expref-
fions générales. Nous renvoyons pour cet objet à
l’ouvrage de M. Waring , intitulé : Meditationes A l-
gtbraicce ; aux Mémoires de M. Vandermonde ; Mémoires
de l’académie des Sciences, volume de 1771 ;
aux Mémoires de Berlin , années 1770 & 1771 , oîi
M.'de la Grange s’eft occupé auffi du même objet.
Cette théorie , une fois établie en général, & réduite
à des formules dont on puiffe faifir la lo i , il eft
clair qu’on aura immédiatement & fans calcul les
coefficiens de toutes les équations transformées qu’on
emploie pour rabaiffer la propofée.
Refte à favoir fi ce râbaiffement eft toujours poffible.
M. de la-Grange a prouvé qu’on ne pouvoit
fuppofer en général que la folution d’une équation
dû dégré n , dépendît de .celle d’une équation du dégré
n — 1. Examinons, donc s’il n’y a point d'autres
reffourcés. M. de la Grange prouve que la quantité
A , ci-deffus donnée par une équation de dégré n— 1 ,
n— 2 ,‘ jz—3 . . . . fera rédudible à une équation du
degré n— z r, n— 3 .........................3. 2. 1 foit ce
degré râ, & cherchons A comme nous avons cherché
x , nous aurons, faifant A —F , la quantité V eft
employée ici pour faire difparoître le fécond terme,
\Z A ' + y/ 3 ' , & au nombre de m—1. A ' par une
équation du degré m— 1 , m—1 , m— 3 . . . . . . 3 , 2 , 1 .
Alors il fe préfente deux cas, ou le nombre m — 1 ,
de fondions A ‘ , B‘ , &c. fera plus grand qu’il ne
doit être, . ou il ne le fera pas dans, le premier cas ,
il arrivera qu’il y aura un certain nombre des racines
de l'équation en A' qui fe trouveront être zéro ; foit
ni' le dégré de Y équation en A' y nous ferons A — V —
V. -d" + \/ B 11 y &c. & nous aurons A u par une
équation du dégré m'— 1 , m’— 2 . . , . 3 , 2 , 1. Si la
fuppofition de m * — 1 radicaux n’eft pas trop compliquée.
Le dégré de Y équation en A ' fé réduira
km — z y m— 3 . . . . . 3 , 2 , 1 , il en fera.de même
pour A " y & ainfi de fuite. Il eft clair que pourvu
que là valeur de x foit finie, & que l’on puiffe la
fuppofer formée par des radicaux placés fucçeffive-
ment, enforte que la valeur de x foit compofée de
n — 1 termes de la forme 1/ A , A de ré termes \/ A '
plus un terme confiant, A' de n" termes \/ A " ,
plus un terme confiant, & ainfi de fuite un nombre
fini de fois , on aura enfin la racine cherchée. Or
il n’y a point de fonction compofée de radicaux
qu’on ne puiffe réduire à cette forme : donc en
fuivant le procédé ci-deffus, on parviendra à trouver
enfin une quantité A , qui fera donnée par une
équation du fécond dégré , toutes les fois qu’elle fera
poffible.
Maintenant il y a lieu de penfer que le nombre
de ces opérations ne pourra être plus grand que n—i .
En effet, foit x , égal à une fondion qui contienne
des radicaux les uns fous les autres, qui ait n— 1
termes différens femblables entr’eux , il faut qu’une
fondion linéaire des produits & des quarrés de ces
termes foit une quantité rationnelle. Les quarrés
ne peuvent pas l’être, puifque les racines ne le font
pas, & que n > z ; donc il faut que les produits de
deux termes le foient. Or cela ne peut arriver s’il
n’y a pas dans ces termes une fondion fous le radical
2. 11 faut enfuite qu’une fondion linéaire pro-
duife trois de ces termes, de leurs cubes, du produit
des quarrés de chacun par les autres foit une
quantité rationnelle , les chbes ne font pas rationnels;
& pour que les autres le deviennent , il faut
que chaque contienne des radicaux fous la ligne 3 ,
& ainfi de fuite jufqu’au dernier terme ; terme qui
devient fondion linéaire des termes qui font fous la
ligne n. On voit donc pourquoi il pourroit y avoir,
& même il doit y avoir n— 1 radicaux fucceffifs.
Mais on ne voit pas pourquoi, en prenant cette
forme , il y en auroit un plus grand nombre.
Nous terminerons cet article par une confidéra-
tion qui peut être d’une grande utilité. C ’eft que
mettant la propofée , fous la forme xn + b* x n~x
-J- c3 xr” - 3 . . . . + rB , toutes les fondions ration-
les fous le figne n , feront des fondions de b1 , c3, r*
du dégré n , les fondions fous les radicaux n&cn!
des fondions du dégré nn ; & ainfi de fuite Q C’eft,
je crois , M. Fontaine, qui dans fon Mémoire fur
les équations, a employé le premier cette remarque,
qui peut abréger confidérablement les calculs. ). les
coefficiens de ces fondions feront des nombres rationnels,
& ceux des radicaux, des racines des équations
y " — 1 ==o, ym — 1 , ==;0, &c. Il ne refte
donc plus fur la réfolution générale des équations
que deux difficultés ; i°. la longueur du calcul;
20. qu’il n’eft pas rigoureufement démontré qu’une
équation déterminée d’un dégré quelconque , ait une
racine d’une forme générale & finie ; c’eft ce qui
arriveront, fi en fuivant la marche indiquée- ci-
deffus la folution de la propofée n étant un nombre
premier , fe réduifoit à la folution d’une autre équation
du dégré n , qui n’auroit pas de divifeurs rationnels
, ou fi n n’étoit pas premier à une équation d’un
dégré pour lequel Y équation qui donne les termes
fous le radical n , ne fe rabaifferoit. pas au-
deffous du dégré n — z n — ^ . . . . . . 3» 1 , 1.
Ainfi , dans le cas oit la racine n’auroit aucune forme
finie poffible , la méthode propofée ci-deffus conduira
encore à trouver cette impoffibilite. C’eft
donc à diminuer la grande complication des calculs,
& à trouver des méthodes qui les abrègent, que les
; analiftes doivent tendre maintenant.
Ira:
J’ai publié quelques recherches fur ce fnjet
dans le tome V des Mémoires de lacadémie de Turin.
( ° )
ÉQ U A T ION S aux différences finies. Taylor paroît
être le premier géomètre qui ait confidéré les différences
finies. M. Euler a fait fur cet objet un grand
nombre de belles & utiles recherches dans fes Injli-
tutions de calcul différentiel; mais il s’eft occupé
fur-tout d’appliquer au"x fuites infinies ou indéfinies,
la théorie de ces différences, ou réciproquement.
En effet, fi on appelle X une fon&ion quelconque
dé x , & X ' ce qu’elle devient en mettant pour x:,
x - f a x ( a eft ici le figne de la différentiation
comme d pour les équations ordinaires ) ; on a éga-
lem ïh t^ 'ÿ x + A # , 8 c 'X '±X + i£ '* x +
En effet, fi on cherche à avoir AT' en X , en ordonnant
la férié par rapport à A x , il eft ajfé de voir
qu’on peut prendre X pour le premier terme de
cette valeur, puifqu’en faifant A x = 0, X ' devient
X , le fécond terme multiplié par A# doit être égal
à ce que devient ■ ƒ ^ - , en y faifant a x= é o , c’eft-
à-dire à dj f f \ le troifieme multiplié par deux eft
égal à , en faifant a x — o, c’eft-à-dire, qu’il eft
■ dj X- , & ainfi de fuite.
Ce théorème dont j’ai déjà faitufage à Y article
Approximation, dans ce Suppl, eft dû à M. d’A lembert.
Si l’on a A X égal une fon&ion de x , on aura encore
, par le moyen de cette expreffion ,X e n x par
une férié infinie. En effet, puifque A X connu , que
j'appelle -fe + -r~ < - '
A x rJ, &c. j’aurai A x X ' — A d x r- -A * r‘-
— -~d~y. mettant pour a a; fa valeur A
a * a a x f ; ... . d x f. . .
ddx I e , d d x . r ' 1
— f :<Ùcï’ A x ^c' Pou r~tÏ7 A x valeur d A —
A x * 9 j’aûr^i X e n férie-de A & de fes
différences.
Je me propofe dans la fuite de cet article de traiter
les équations aux différences finies d’une maniéré
générale & directe. On trouvera aux articles Possibles,
Maximum , Linéaires , ce qui regarde leurs
équations de condition, ou de maximum , & la folution
des équations linéaires. J’ai montré A Y article
Approximation, vers la fin , que leur folution
approchée dépendoit toujours d'équations linéaires,
& je me bornerai ic i à jlonnër une théorie générale
d t i é q u a t io n s aiix différences finies des-fondions qui
peuvent entrer dans'leurs intégrales , & de la maniéré
de les trouver rigoureufement autant qu’elles
font pofllbles par la méthode des coéfficiens indéterminés.
Soit Z , une fondiomde x , y , ç j qu’on mette dans
Z au lieu /Je x , xr+ A x au lieu de y , y + Ay au l}eu
gâ i t i +.A î > & qu’on appelle Z ' ce. que devient £ ;
alors on aura 2 ' 1 z + A Z & a Z== Z ' - Z .
Si on a une fondion de x , y , A x ,A jl-y A ^ , A,«^
A \ &A H x étant fuppofé çonftant, on mettra dans
çetteffqqdmn Q_ , x + A * > au lieu ;à e .^ y ,+ A y
P O u r y , , î4 - A 1 p o u r ^ jA ^ q . A 2y p o u r jA y , A^
+ A v.£. P9ur A î>. pour A^y, a ^ q.
A P01?1*' & ainfi de-fuite & appeflant Q ' ce
que devient alprs Q,..on aura Q:' = <2 .+ A Q A Q
| 'S o it’..Z.= ,lx'., pni aura' Z ’ = x \l'x '-\- Arx 8c a Z
= i * a -V'S*- / 'x = l t Z Ù f i .—1 1 -ql; | 8
Soit Z = e a *? Z< = e ** + * * x = e d A x e a x.
Z == ( e a a * — ï ) e ax ; donc A x étant confiant
A Z = o toutes les fois que e
* = 1.
Soit Z = e ax ~ + bx + c Z ' =
* “ + b' x + c' &CZ1
+ A Z ' = =
", lorfque A x eft
fuppofé confiant.
On trouvera de même que foit Z une fondion de
e a x , e ‘‘^ x = 1 , Z 1 = Z , pourvu que cette fonction
ne foit pas telle que pour avoir e a* x — i = 0 ,
il faille prendre a ^ x = o , ce qui arriveroit fi Z
— l e a x , o u ( e a* ) m, ou contenoit de pareilles
fondions. Soit enfin Z = e Ne Z ' =ze N e “* . “ *-
donc fi e * a * eft un nombre entier, la comparaifon
de ces deux équationspeut faire évanouir cette tranf-
cendante , de même la comparaifon de 3 ,4 , &c.
équations femblables, feroit difparoître e a x t * .
bx , v 9
e ax e , &c.
Si maintenant on veut réfoudre le problème fuivant
, trouver l’intégrale fans différences variables
d’une équation aux différences finies, on y parviendra
à l’aide des obfervations fuivantes.
i ° . La propofée eft produite par la comparaifon
des équations Z — o , a Z"=,ô, a 2 Z = o , a « Z = o.
20. Il n’y a point de fondion tranfeendante de
& y dont la différence ne le fo it , ou n’en contienne
une nouvelle.
3°. x étant une variable dont la différence A x
eft confiante , au lieu d’une arbitraire fans variable ,
on aura une fondion arbitraire de e ax , a étant tel
que e a a * =
40. Une feule différentiation pourra, par la comparaifon
entre la différentielle & l’intégrale , faire
évanouir un terme ePx , p étant quelconque , & la
fondion arbitraire fera le coefficient de ce terme.-
Deux différentielles fucceffives , comparées avec
leur intégrale, peuvent faire évanouir un terme
e *** + &*, a & pétant quelconques & déplus un
i e r m é e b' x y B 'é t a n t donné en a & b , & ainfi de
fuite. La comparaifon de l’intégrale avec la différentielle
peut faire auflx difparoître e N e . , & la comparaifon
de l’intégrale avec deux différentielles fuc-
bx
ceffives, faire difparoître e a x e , & ainfi de fuite.
50-. Quoique la propofée ne contienne pasA*^
cependant l’intégrale de l’ordre immédiatement inférieur
, peut contenir *, parce que la différentielle
exade peut contenir un terme confiant a = ■-* A *
dont l’intégrale eft
6°. Si dans un produit indéfini Fx. F x — a x . F x —
z A at... le nombre des termes étant — ou — ; n’étant
un nombre entier, on fait x =x-{- A x , ce produit ne
change pas-de forme & eft feulement multiplié par
F A x , ou par F x -|-Ax, F x q- z & x . . . . F x
- f .n A'at; donc fi on l’appelle AT, on aura— ~y ~~
—■ FjxttE A a;, ou F x q - A a:, F x A z ^ x . . . en nombre
déterminé & fini, donc une feule différentiation peut
fa$re difparoître un nombre déterminé de ces produits
multipliéSiOu divifésles uns par les autres, en
mëifie tems qu’une exponentielle & une fondion arbitraire
, & de même deux différentiations peuvent
faire difparoître une fondion
F x y F x — A#, F x — 2 A# y&c ,
7°,'Si.la propofée contient des radicaux dans fon
intégrale immédiatement inférieure , en différent.iant
la propofée,, on aura une équation qui aura*"deux intégrales
rationnelles de l’ordre immédiatement, inférieur.
8°. Le nombre des arbitraires eft égal à l’expôfant