Ainfi, lorfqu’on cherche à comparer îa théorie
avec les obfervations, ce n’eft pas à chercher rigou-
reufenient fi la théorie donne Véquation fêculaire ob-
fervée, mais fi elle donne ou une telle équation, ou.
une de celles qui la peuvent repréfenter, ou réciproquement,
la théorie étant donnée, il faudra voir
feulement fi les obfervations s’accordent avec \équation
fêculain de la théorie, foit avec les équations
que ( art. Approximation ) on peut y fubftituer.
Voyez les Mémoires de l'académie des Sciences ,1771,
& le Mémoire de.M. de la Grange, qui a remporté le
prix delà même académie en 1774, & oiVce grand
géomètre prouve qu’on peut repréfenter toutes les
obfervations de la lune faites jufqu’ic i, fans fuppofer
d'éq nation fêculaire à cette planete. (d)
ÉQUERRE , ( Aftroh. ) conftellation méridio- •
nale, introduite par M. de la Caille , & qui "eft •
jointe avec la réglé & le triangle auftral eh forme
de niveau. ^ .T riangle, Suppl. {M. d e l à La n d e .')
ÉQUESTRE , ( Hifi.anc.) eft une épithete que \
les anciens donnoient aux hommes, & même aux
divinités. Tite-Live & Plutarque rapportent que
les Romains piqués de ce que les Étrufques refu-
foient de s^allier avec eux, Sx de leur permettre
d’époufer leurs filles, étoient fur le point de leur
déclarer la guerre ; mais Romulus leur perfuada de
fe borner à enlever par furprife les filles de leurs
voifins ; dans cet o b jet, il fit publier que fon peuple
célébreroit un tel jour, des jeux magnifiques à l ’honneur
de Neptune équeflre ou confus : il invita les
peuples des environs de Rome à venir jouir de ce
fpeàacle, & ce fut pour lors que les Romains enlevèrent
les Sabines.
On donnoit à Rome le titre d’ordre équeflre, aux
chevaliers Romains. L’on a découvert une infinité
d’infcriptions antiques, qui défignent Y ordre équeflre.
( F .A .L . )
ÉQUILIBRE, ( Méchanique.) On trouve dans les
Mémoires de l'académie des fciences de Berlin, année
1752 , une démonftration métaphyfique du principe
général de Y équilibre, qui eft du célébré M. Euler.
Son utilité nous a engagé-à la placer ic i, vu que
d’ailleurs elle eft affez fimple pour être à la portée
de tous les lecteurs médiocrement verfés dans le
calcul différentiel. Voici en quoi elle confifte : mais
comme J’équilibre eft produit par l’a£tion des forces,
il eft néceffaire d’expliquer avant toutes chofes ce
que l’on entend par ce mot, afin de s’en former une
jufte idée.
On donne en général le nom de force, à tout ce
qui peut changer l’état d’un corps, foit pour le faire
paffer du repos au mouvement, ou réciproquement
du mouvement au repos, foit enfin pour faire varier
ce mouvement d’une maniéré quelconque. Il y a
deux chofes à confidérer dans chaque force, fa direction
ou dans quel fens elle agit fur un corps, &
fa grandeur. La direction de la force eft toujours
exprimée par la ligne droite,fuivant laquelle la force
tend à entraîner le corps ; & on fe forme une idée
de fa grandeur, en prenant une force connue pour
l’unité , Sx en examinant combien celle-ci eft contenue
dans une autre force quelconque.
Mais on peut encore fe former une idée plus
diftinCte de ces chofes, en fe les repréfentant de
cette maniéré. Suppofez que le corps A (plancheIII
de Mêchan. dans ce Suppl, fig. (T. ) foit attaché par
la corde E F , à la barre M M , avec qui elle fait un
angle droit. Suppofez encore une, barre N N , parallèle
à la première, mais immobile , Sx que ces
deux barres foient jointes enfemble par les filets 11,
22 > 33 ■> &c• perpendiculaires à N N , qui peuvent
fe contracter : enforte que quand cela arrive , là
barre M M Sx le corps font obligés de s’approcher
de N N. Il eft évident que, fi l’on prend chaque filet
pour l’unité , & que le nombre en foit = N , ce
nombre exprimera auffi la force totale de tous ces
filets pour tirer le corps A vers N N , fuivant la
direction E F.
Dc-'là il fuit que l’aCtion de cette force confifte
dans la contraction aCtuelle des filets r i , z i , &c.
& que cette aCtionfurle corps A eft d’autant plifs
grande, que les filets fe font plus raccourcis : on
fuppbfe d’ailleurs que dans quelqu’état-qurilsfoient,
ils aient toujours le même pouvoir de TexontraCtef.
Par conféquent le raccourciffement des filets eft la
jufte mefure de l’aCtion de la force totale N : fi donc
ils fe font raccourcis d’une quantité Sx que le
corps ait été ainfi entraîné par un efpace = { , l’aCtion
de la force fur le corps A fera exprimée par là
quantité N £, qui exprime auffi le raccourciffement
total; des-filets.
Que la diftànce du corps A , à la barre immobilè
À7 jV, foit égale à x , & que la longueur de là corde
E F foit égale à b , qui doit être une quantité
confiante ; x —b exprimera la longueur des filets, Sx.
N ( x —b) la fomme des longueurs de tous les filets.
O r , cette quantité devient de-plus en plus petite
par l’action de la force ; mais comme b eft confiant,
il n’y a que x qui puiffe diminuer ; par conféquent
l ’objet de la force eft de diminuer la quantité N x ,
qui eft le produit de la force N , par la diftànce du
corps A à la barre immobile N N. Il eft évident
qu’on peut fe paffer ici de la confidération de la
diftànce abfolue, puifque la force eft cenfée confiante
: car fi la barre N N étoit à toute autre distance
du corps A , la même contraction des filets
produiroit toujours la même diminution dans la
quantité N x , pourvu que cette barre fut toujours
perpendiculaire à la direction E F , fuivant laquelle
on conçoit que le corps eft follicité à fe mouvoir
par la force N.
Après avoir ainfi expofé en quoi confifte l’aCtion
d’une force, on en peut facilement tirer cé principe
général, Que toute force agit autant quelle peut : pro-
pofition qui eft affez évidente , pour être admife
comme' un axiome par tous ceux qui en auront
compris le fens. Car l’aCtion de la force confiftant
dans la contraction des filets, ils ne cefferont de fe
contracter tant qu’ils ne rencontreront pas d’obftacle
invincible. Par conféquent ces filets, & partant la
force qui en eft compofée, agira autant qu’elle
pourra, ou jufqu’à ce qu’elle rencontre un obftacle
invincible.
Mais lorfqu’un corps, ou un fyftême de corps,
eft en équilibre, les forces qui le follicitent à fe
mouvoir font tellement oppofées entr’elles, qu’elles
ne fauroient agir ou remuer le corps ; il faut alors
que l’aCtion des forces foit la plus grande, ou que
les filets dont les forces font compofées, fe trouvent
alors dans leur plus grande contraction, enforte
qu’il eft impoffible qu’ils fe contractent davantage.
Ainfi un corps, ou un fyftême de corps, fera en
équilibre, quanciles forces qui le follicitent à fe mouvoir
feront tellement difpofées à l’égard du corps
ou du fyftême de corps, que la contraction des filets
foit la plus grande, ou que la fomme des longueurs
des filets pris enfemble, foit la plus petite qu’il eft
poffible. Que l’on confidere, par exemple, dans un
fyftême de corps, chaque force féparément, de
même que fa direction, fur laquelle on prendra
une diftànce arbitraire x ; nommant après cela la
force qui agit fuivant cette direction N , N x fera
la fomme des filets dont cette force eft cenfée compofée.
Et dans le cas à!équilibre, la fomme de tous
ces N x , qui conviennent à chacune des forces prifes
féparément, doit être la plus petite, puifque la contraction
des filets eft alors la plus grande.
La force de ce raifonnement confifte. en ce que
Ton
l’on réduit toutes les forces à un certain nombre
de filets femblables Sx égaux entr’eux, qui par la
faculté qu’ils ont de fe raccourcir, compofent la
force même. Ainfi» l.orfque le corps eft en équilibre,
il faut que les filets de toutes les forces qui agiffent
fur lu i, foient dans leur plus grande contraction,
conforméinent à l’axiome ci-dçffus. Car > s’ils pou-
voient encore fe contracter, ils le feroient, Sx le
corps ne feroit pas en équilibre. Donc fi le corps
eft en équilibre, la contraction de tous les.filets eft
la plus grande , ou ils n’en fauroient recevoir aucune
, 0« ce qui revient au même, la fomme de
toutes les forces follicitantes eft la plus petite.
Telle eft donc la réglé générale ,• pour trouver
quel doit être l’état des corps follicités par des forces
quelconques, pourvu qu’elles ne varient point fuivant
la diftànce, afin qu’ils foient entr’eux en équilibre.
Suivant cette réglé , on confidérera chaque '
force à part, on prendra fur fa direction un point
fixe , Sx on multipliera la force par la diftànce de ce
point au lieu de l'application de la force, ou par la
diftànce qu’il y a de ce point au corps fur lequel
elle agit. On affemblera enfuite tous ces produits ;
Sx là lomme qui en réliiltera, fera un minimum dans
le cas d’équilibre. Et réciproquement on pourra déterminer
par la méthode des plus, grands Sx des plus
petits, l’état d'équilibre, lorfque les forces font
confiantes, ou que la quantité N , qui a exprimé
jufqu’ici la force , ne dépend point de la quantité x
qui a été confidérée comme la variable.
La force de la gravité eft de ce genre , car fa
variation, eft infenfible à de petites diftances de la
terre. Si donc on confidere un corps A B , fig. y ,
dont les parties M ae font follicitées à fe mouvoir
que par l’aCtion de la gravité, fuivant la direction
verticale M P , Sx que l’on prenne à volonté fur
cette ligne un point fixe P , qui foit dans l’horizontale
N N ; on fera la diftànce M P — x ; Sx nommant
la maffejie la particule M , dM , ce d M
exprimera en même tems le poids de la particule
M , ou la force avec laquelle elle eft follicitée à fe
mouvoir fuivant A fP : donc x d M eft dans ce cas
le produit qu’il faut mettre à la place de N x , pour
cette particule ; Sx partant la fomme de tous les
x d M qui réfultent de tous les élémens du corps.,
fera la plus petite , lorfque le corps fe trouvera
„ en équilibre. Mais on fait que la fomme de tous les
x d M exprime le produit du poids entier du corps,
par la diftànce de fon centre de gravité à la même
ligne horizontale N N. Si donc on fuppofe que M
foit le centre de ce corps -, le produit M x G H , qui
eft égal à la fomme de tous les x d M , fera un
minimum en cas d'équilibre. D?où l’on voit que les
corps pefans ne fauroient être en équilibre , à moins
que leur .centre de gravité ne foit auffi bas qu’il eft
poffible.
La démonftration que l’on vient de donner du
principe de Y équilibre, fuppofe que l’aCtion des forces
fur les corps ne varie point, à quelque diftànce
qu’elles en foient. Car files forces ne font pas confiantes
> il faudra fuppofer le nombre des filets variable
pendant qu’ils fe contractent, puifqu’on les a
envifagës commë confervant toujours le même pouvoir.
Voici comment il faut envifager la.chofe dans
le cas où la force varie fuivant les diftances. La force
repréfentée par N x ; doit être décompofée en fes
élémens N d x ; & comme N , qui repréfente le
nombre des filets à chaque diftànce P x , eft variable,
qu’on fuppofe ce nombre = P , on aura P d x pour
l’élément de la force : donc l ’intégrale S P d x fera
la jufte valeur qui doit être mife à la place de N x ,
quand la force eft variable.
Afin de répandre un plus grand jour fur ce fujet,
il faut confidérer comment les formules N x , que
Tome ÏI,
■ les forces confiantes donnent, deviennent un minimum.
Cela arrive, lorfque leurs différentielles N d x ,
prifes enfemble, évanouiffent : mais dans ces différentielles
, il n’eft plus queftion fi la force N eft
confiante ou non. Donc fi la force eft variable ,
& qu elle foit = P , on aura P d x , au lieu de N d x ,
dont la fomme doit être égalée à zéro ; par çonfé-
quent, la formule qui devient un minimum en cas
d'équilibre, doit être compofée de celles-ci S P d x ,
que l’on doit tirer de chacune des forces follicitantes;
d’où l’on voit que dans le cas des forces confiantes,
ou de P—N , on aura les mêmes formules N x , pour
rendre un minimum, que celles que l’on a trouvées
ci-deffus.
Tel eft donc le principe univerfel qui convient
à tout état dû équilibre. En vertu de ce principe , il
faut confidérer féparément chaque force qui folli-
cite le corps à fe mouvoir : fuppofez que ces forces
foient = P Q R , &c. & que les directions fuivant
lefquelles elles agiffent fur le corps M,fig. 8 > foient
A F , B G ,C H; prenez à volonté fur ces directions
les points fixes F , G , H; Sx. nommant A F x , B Gy,
CH^, on aura pour l’état d’équilibre SPdx+SQdy+
SRd^-{-8xc. qui doit être un minimum. Pour la commodité
du calcul, il convient de placer les points
fixes F , G , H , dans de certains endroits plutôt
qu’ailleu.rs : ainfi dans le cas des forces centrales que
l’on exprime par de certaines fondions de la diftànce
a leurs centres de forcés, il faut placer ces points
dans les centres mêmes.-Alors P , Q , R , pouvant
être exprimés par ces quantités a. xn, t&yn ,y {p ,
fi'é. Texpreffion dont l’on devra faire un minimum,
1 + j t ï , * " * 1 + T t r d + ' + t y
&cela s’obfervera dans tous les cas femblables.
Comme la force P fournit dans tous les calculs
une quantité pareille à celle-ci S P d x , fi on nomme
effort l’intégrale de cette quantité réfultant de la
force P , on pourra renfermer le principe général
d'équilibre dans cette réglé bien fimple :
La fomme de tous tes efforts que des forces font fur
un corps, doit être un minimum pour que ce corps foit
en équilibre,
Lorfque le corps dont on cherche l’état d’équilibre^
eft flexible ou même fluide, il en faut confidérer tous
les. élémens féparément, de même que les forces
qui les follicitent, pour en tirer d’abord tous les
efforts que chaque élément foutient. Enfuite on
trouvera pa'r le calcul intégral la fomme de tous
ces efforts, ou l’effort total que le corps éprouve,
de laquelle on fera un minimum, qui indiquera alors
les conditions requifès pour que le corps foit en
équilibre.
Il faut remarquer qu’il n’eft pas néceffaire d’introduire
dans le calcul de Y équilibre , les forces qui
attachent le corps à' quelque objet fixe, ou qui le
tiennent arrêté. Ainfi, fi on veut trouver par cette
■ méthode la courbure d’une chaîne fufpendue , on
ne fera pas attention à l’effort que ibuffrent les
clous auxquels la chaîne eft fufpendue ; & lorfqu’il
eft queftion de Yéquilibre d’un fluide renfermé dans
un vaiffeau, il n’eft pas néceffaire de confidérer les
forces avec lefquelles le fluide jpreffe le vaiffeau. Il
fuffira, dans l’un & l’autre ca s, de confidérer les
feules forces de la gravité, pour en déterminer l’état
d'équilibre. La raifon de cette diftinétion eft aifée à
comprendre, par la maniéré d’envifager l’aétion des
forces, favoir, dans la contraction des filets. Ainfi,
s’il y a des forces auxquelles le corps ne fauroit
obéir, comme celles qui le tiennent à quelque objet
immobile , elles n’entreront point dans le calcul,
mais feulement celles qui peuvent imprimer quelque
mouvement au corps : on en prendra les efforts,
comme on l’a déjà dit, & faifant des fommes un
O O o o o