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Puis donc que les racines imaginaires font toujours
en nombre pair , & que leur nombre eft égal aux
dégrés de l'équation , il s’enfuit :
4°. Que toute équation dont le nombre des dé-
grés eft impair, doit contenir au moins une racine
réelle.
5°. Que toute équation dont le premier & le dernier
termes , après avoir é t é tranfpofés , O n t des lignes
contraires, contient au moins une racine réelle.
Lorfque cela a rrive, S t que le nombre de fes dimen-
lions eft pair, de même que celui des racines im-
poffibles, celui des racines réelles doit l’être pareillement.
6°. Que fi l’on divife une équation par l’inconnue,
moins une de fes racines, on la réduira à une di-
menfion plus bas ; comme toute équation contient
autant de racines qu’elle a de dégrés , il s’enfuit
encore :
7°. Que retranchant le nombre des racines ima.-
ginaires de celui de fes racines, je veux dire, dû
nombre de fes dimenfions, le reftant fera celui des
racines réelles.
8°. Après avoir trouvé, par le moyen des réglés,
les racines réelles, faites la quantité inconnue x
égale à chacune : tranfpofez les termes d’un côté :
multipliez les équations lès unes par les autres , &
divifez l’équation propofée p a r le produit qui en
résultera. Faites le quotient égal à z é ro , & vous
aurez une équation qui renfermera toutes les racines
impoflibles, fans en avoir aucune de réelle. On
trouvera enfuite les racines impoflibles par la m é - ,
thodequ’enfeigne M. de Bougainville dans fon Traité
du Calcul intégral, dans le cinquième St fixieme
chapitre de fon introdu&ion. C’eft la meilleure que
je connoiffe.
Elle confifte à partager l'équation donnée en deux
autres du même nombre de dimenfions, mais qui ne
contiennent que des racines réelles', que vous trouverez
par le moyen des réglés, ou autrement au
moyen de quoi, vous aurez toutes les racines impoflibles
de votre équation.
Comme peu de gens connoiffent cette méthode,
il convient de la donner ici.
L’auteur commence par donner la démonftration
des deux propofitions fuivantes.
Prop. i . Lorfqu’une quantité eft égale à zéro , St
compofée de plufieurs termes , dont quelques-uns
font réels , & les autres multipliés par |/ — i , la
fomme de tous les termes réels eft égale à zéro ; &
celle de tous ceux qui font multipliés par \A — i ,
égale pareillement à zéro. C’eft le foixante-neu-
vieme article de fon Introduction.
Prop. 2. Lorfqu’une équation ne contient que des
racines imaginaires, on peut toujours fuppofer la
quantité inconnue égale à m + n v/ — i , dans laquelle
mStn font des quantités réelles. C ’eft le huitième
article de la même introdu&ion.
Par conféquent, pour trouver les racines d’une
équation telle que celle dont il s’agit, il faut mettre à
la place de chaque inconnue, x ; par exemple, m
-|- n |/ — i , & l’on aura une nouvelle équation qui
contiendra les termes réels & les termes multipliés
par \Y — i , dont le premier & le dernier font égaux
à zéro par la propofition i . Faites-le donc, & vous
aurez deux équations dont il vous fera facile de découvrir
les deux quantités m & n, de même que celle
de x , qui par la deuxieme propofition eft égale à m
+ n V ~~ ï *
Voici un exemple qui fera comprendre ce que
j’ai dit dans la première partie de cet article. Sup-
pofez que les racines réelles, découvertes par le
moyen des réglés dont j’ai parlé , foient a , b — c ,
&c. Faites* = a , * = è , x — — c , & c . Tranfpofez
les termes, St vous aurez x — a. = .o , x — b = o‘,
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* £ — o , &c. Multipliez ces dernieres équations
les unes par les autres, divifez l'équation donnée par
leur produit, St procédez comme j’ai dit ci-deffus.
9°. Le plus grand coefficient négatif d’une équation
quelconque , confidéré comme pofitif, Si augmenté
de l’unité, excede toujours la plus grande
racine pofitive de l'équation. Par conféquent ,
io ° . Si en place de la quantité inconnue x de
l’équation, vous mettez le coefficient, pris comme
pofitif & augmenté de l’unité , moins*, toutes les
racines deviendront pofitives. Dans ce cas, vous
n’aurez beioin que des réglés de la figure i , dont les
centres font à leurs extrémités, Si elles vous fuffi-
ront pour tous les cas poffibles ; car vous devez
avoir obfervé bue les centres de celles de la deuxie*
me figure font autrement difpofés. '
i i ° . Si après avoir rendu toutes les racines de
votre équation pofitive , vous voulez vous éviter la
peine de tranfporter la réglé MM à la droite de R R;
ce qui eft fujet à quelque inconvénient, je veux
dire, fi vous voulez que toutes les racines de votre
équation fe trouvent entre O & T , ou entre zerç Si
l’unité, au lieu de la quantité inconnue x de la dernière
équation, mettez * , multipliée par le plus grand
coefficient négatif, confidéré comme pofitif Si augmenté
de l’unité. Par exemple, file plus grand coefficient
négatif de l'équation eft — 9 , mettez 10 * à la
place de chaque x , Si voiis aurez une nouvelle
équation, dont toutes les racines fe trouveront fur
la ligne O T , fans qu’il foit befoin de la prolonger,
car elles feront moindres que l’unité , je veux dire,
que D C ou O T ; mais après avoir ainfi trouvé les
racines, il faut les multiplier par le coefficient augmenté
de l’unité, c’eft-à-dire, dans l’exemple ci-
deflus , par 10 , parce qu’ayant mis 10 * pour * ,
on rend chaque racine dix fois plus petite qu’elle
n’étoit.
Ces propofitions font reçues de tous les algébrif-
tes , & n’ont.pas befoin d’être démontrées.-
Voici la defeription" d’une machine pour régler
le mouvement des réglés dont j ’ai.parlé : elle n’eft
que pour les équations du deuxieme dégré ; mais
on peut également l’employer pour toutes les
autres.
A B C D , figure 4 , eft un chaffis de fer ou d’acier,
compofé de quatre barres deferaffembléespar leurs
extrémités , qui forment un parallélogramme re&an-
gle de douze pouces de long fur huit de large , aux
quatre coins duquel font des appuis E F , G H , IK f
Si LM , fur lefquels il porte. Sur le côté A , eft un
coulant N , qu’on peut arrêter avec une vis dans
tel endroit qu’on v eu t, & fur lequel la traverfe N O
tourne fur fon centre. Son autre extrémité tient par
le moyen d’une vis avec fon écroue à la traverfe
P Q , qui eft pareillement arrêtée fur le chaffis aux
endroits P Si Q , mais de maniéré qu’on, peut.l’approcher
ou l’éloigner à volonté de l’extrémité A .
Cette traverfe eft repréfentée par la ligne R R de la
première figure. Les quatre appuis E F , G H , 1K ,
L M , portent quatre traverfans S T , U X St Y Z ,
fur la première defquels eft une boëte coulante o ,
qui fert de centre au traverfant ab. Le fécond St le
troifieme , favoir U X Si Y Z , font pareillement
garnis de deux noix coulantes e St f , qu’on arrête
oii l’on veut par le moyen d’une vis , Si auxquelles
la foie «/eft attachée. Les trois traverfans S T ,U X ,
A , ou plutôt la ligne tracée fur celui d’en haut repréfente
la ligne S S de la figure 1 , Si la foie e f , la
bjife Z Z de la même figure.
g h ik eft un autre parallélogramme environ deux
fois plus long que le premier, dont les côtés gk &
h i , coulent dans des fupports attachés par des vis
au chaffis A B CD , dont trois font marqués par les
lettresl 9mf n 9 SC ont des dents triangulaires par-
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de doits , depuis g jüfqu’à d , St depuis h jufqirà. 0 ,
.lefquelles s’engrainent avec celles de deux roues s
& t de même diamètre, dont l’axe p r eft foütenu
dans deux endroits , favoir u , Si un autre qu’on ne
peut voir dans la figure. Ces dents fervent à régler
le mouvement des traverfans gk S ch i', Iorfqu’on
fait mouvoir la machine ; au moyen de q u o i, les
barres n x Si y ^ , qui coulent dans deux pièces 1 Si
a font toujours parallèles. Elles font repréfentées
par l,a ligne M M de la première figure. Celle de
deflbus nx eft garnie d’une pointe 3 , dont fëxtrê-'
mité fupérieure palfe dans là rainure de la barre 4 ,
5 ,S i l’inférieure par celle de l’alidade fit O. Sur la
barre de d e fliis j^ , effyattachée une pointe perpendiculaire
6 , 7 , dont on peut ôter la pointe pour y
mettre un crayon ; cette pointe repréfente le point s
6 la première 3 , le point r de la première figure.
Sur la barre 4 , 5 eft un boulon rivé 8 , qui eft placé
dire&ement au-defliis de la rainure de la barre P Q,
& qui repréfente te , le point a de la première figure.
Les deux traverfans 9 ,10 & 1 1 , & 12 , coulent dans
les fupports 13 , 1 4 , 1 5 & 16 , font garnis de dents
triangulaires , qui engrainent avec celles des roues
17 & 18 , dont l’axe eft marqué par les nombres 19 ,
20. Ces roues règlent le mouvement des barres, S t
font que celle qui eft marquée p’ar les chiffres 4 ; $ ,
fe meut toujours parallèlement ; elle eft repréfentée
par la ligne la de la prèmierefigure. Les coulans e,
/ , c , N&c R , étant arrêtés avec dès vis dans les
endroits convenables, félon les coefficiens de l'équation,
ainfi qu’on le verra dans l’article fuivant, en
avançant ou reculant la barre g h , on fera mouvoir
la machine, & la pointe 6 , 7 , décrira une courbe
qui fera le lieu de l'équation. Les endroits oïl elle
paffera fous la foie «ƒ, à Compter de la ligne ponctuée
, qui éft marquée fur la traverfe U X , indiquera
les racines réelles ; & le nombre de fois qu’elle
approchera & s’éloignera de la même foie fans paf-
fer deflbus, marquera celui des racines imàginai-
ïes* Au-deflus des montans E F , G H , I K & LM ,
font de petites pièces 2 1 , r i & 23 , qui empêchent
les barres qui Coulent deflbus dé fortir de- leurs places.
Voici maintenant la manière de reftifier la machine
pour une équation donnée;
Arrêtez lés noix « ,ƒ , auxquelles la foie eft attachée
à égales diftances des foutiens E F St LM ;
avancez ènfuite la noix c , qui porte l’extrémité de
là barre a b , de forte qu’elle foit plus éloignée du
foutieh EF-, que l’endroit oti vous avez arrêté la
noix c , d’un nombre de divifions prifes fdr Une
échelle de parties égales, égal au terme connu de
Ÿ équation, s’il eft pofitif, & plus près s’il eft négatif ;
& arrêtez-la dans cet endroit. Faites enfuite couler
la noix N , qui porte la barre N O , l’éloignant ou
Fapprochànt du foutien E F , plus que ne l’eft la
noix c , d’un nombre de divifions prifes fur là même
échelle égal au coefficient de l'équation, je veux dir
e , celui ofi la quantité inconnue n’a qu’une dinien-
fion ; plus loin fi le coefficient eft pofitif, & plus près
s’ il eft négatif. Faites enfiiitë couler la noix R , qui
fixe l’autre extrémité de la barre N O , jufqu’à cè
qu’élie fait plus' éloignée d’urié ligne tirée du fou-
lien E F au foutien LM , je veux dire, du côté D
du chaffis-, que la noix N , d’autant de divifions que
le cèefficient du terme de V équation , oii l’inc On nue
à deux dimenfions l’indique, plu's loin s’il éft pôfi-
t if , & plits ptès S’il éft négatif. Pour cet effet, on
doit-graduer le eôté^ A dü chaffis, lés barres S T ,
U X , Y Z & lè' traverfant P Q , à commenter du
front D. Gesgradations font marquées différemment
für la> machiné , mais d’urte manière moins cohihtô-
de. Si Ton obfèfre lès endroits oh la pointe , oti fè
crayon 6 y 7 , Coupe la foie efi, à conimencér dé;ld
ligne pon&uée marquée fur la traverfe U X ; &
Tome I I .
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qu’on ies riiefure fur une échelle , fur ïaquefle la dif-
tance du traverfant P Q , prife depuis une ligne tirée
du milieu de l’extrémité^ de EFk GHreprélente l’unité
( on peut en voir la raifon dans la démonftration
ci-deffus, Où D c ou O T , figure 1 , qui marque la dif-
tance de cette ligne P Q de la barre A , eft prife pour
I unité.}, on aura les racines que l’on cherche. Si l’on
ote la foie e f , & qu’on mette un carton fur la machine
, fur les deux fràverfans fupérieurs U X &
Y Z , après avoir tracé déffüs une.ligne qui repré- .
fente la foie e f , & nijs un crayon en place de la
pointe 7 ; 'ce dernier décrira une courbe, qui avec
la ligne'droite dont je viens de parler, conftruira
l'équation donnée. Plus les coefficiens feront grands
( on peut les augmenter autant qu’on veut fans
Changer-les racines, en les multipliant par tel nombre
qu’on voudra. ) , plus lés angles, que la courbé
& la ligne formeront, feront grands ; ce qui eft avam
tageux dans la çonftruétion des équations. Comme il
paroît par la démonftration précédente, qu’en augmentant
les barres de cette machine, on peut l’em-*
ployer généralément pour toutes les équations de
quelque degré qu’elles puiffent être , on peut l’ap-*
peller, à jufte titre, un cônfirucleur Univerfel d'équations.
(J-’)
. ÉQ UA TION S DÉTERMINÉES. (Algebret ) Je ITIS
bornerai dans cet article à expofer ce qui a été fait
jufqu’ieifiir la folution générale des'équations, dont
on n a point parle dans le Dictionnaire raifionné des
Sciences, &c. parce que lorfque l'article Équation
fut imprimé , les analiftes ne s’étoient pas encore
occupés de cet objet, comme ils l’ont fait
depuis*
Le premier qui ait fait quelques pas dans cette recherche
, eft le célèbre Tchirfnaus, géomètre Allemand,
à qui l’on doit la découverte des cauftiquqs*
Il propofaune méthode pour faire difparoître autant
de termes qu’on voûdroit d’une équation propofée
par le moyen d’une fubftitûtion ; & il trouva que 15.
l’on vouloit la réduire à deux termes, le premier 6c
le dernier, & faire dilparôître les intermédiaires,
on feroit dépendre la folution de la propofée,, de
celle d’une équatioûYn- f A = o ,n étant le’degré de
la prôpofée, &c A dépèhdâht d’une équation du
degré n — 1 , h — i . . . . 1. 1 .
M. Euler & M. Bèzoüt, l’un dans le tome X I
des Mémoires de Peür’sb'oür'g; l’autre dans les Mémoires
de P Académie dès Sciences , pour l’année 176.5,,
ont pris une autre méthodé. Ils ont fuppofé que la’
racine d’une équation du dégré n , étoit de la forme
\A A + j/ B . . . le nombre des A , B , Sic. étant
7i —i ; St ils ont trouvé.que l’on aŸoit À par urte
équation âuffi du dégré. /z—t ? n— i , à — j .V. i< 1.
La folution d’une équâtiorl dit 5e degré" fe trou*
voit donc réduite à celle d’uné équation du vingt- •
qu'atriemë. Et quoique ( fàyti les Recherches dé
M. de là Grange & dé M. dé Vandèrfrfo'ridé , fur çët
Objet. ) cètté équation foit réduéfiblè à une du lîxie-
me', f équation du cinquième dégfé fféft pasjrabaiffée
pat cè rhoÿen ; St celle du fixième le féroït encore
moins.
Il refte.donc ici deux objets à confidérer, l’un la,
pbffibiïité de parvenir à cet abàiffeiheht , auquel
les équations feinblent s’y refufer ; l’àutre lès ihoyens
de rendre praticables leS calculs immëhfés ôii c'etté
méthode générale doit lîëcëffairemeqt conduirè. ,
- MM. Waring & WanidërmOndè fè;{prit Occupés
avec béaucOup de fuccés' dii fécond objet. On fait
que le fe'cOnd terme d’une équation eft égal à la
foiiirhe des racines;- lé’ trOifième à celle dé lëitrSp'ro-
dilits deux^à deux , & ainfi de fuite. On fait au,ffi que
cès fofiïlions qui fbh't connues , puifqu’èlles font lès
coefficiens de là propoféë étahf données, dn peut en
N N n n n ij