toujours dans nos figures 32d,3 o /;ainfi les C D ,A È
fe coupent à angles droits en F ; A D reprefente le
plan horizontal; A C le plan vertical ; A E le plan
de l’equateur ; D C l’axe ou le tranchant du ftyle ;
Et D A C le ftyle entier. .
i ï . Du centre F , & de l’intervalle F A , décrivez
un cercle ; divifez fa circonférence en vingt-
quatre parties égales pour les heures ; numeirotez-les
comme dans la figure, par les points / & / / > 2. & /o,
& c . tirez des droites, qui feront parallèles à la C D ,
aufli bien que la C B , tangente tirée par E ; & rencontreront
l’horizontale A B , e n B G H J K L D M
N O P Q .
13. Après cette préparation, pour trader un
cadran horizontal ( fig. 9 . ) du centre a , décrivez
deux cercles concentriques, l’un avec le rayon a b
ou a c égal à A F ou F E { de la fig. 8. ) ; l’autre avec
le rayon a d ou a e égal à A D ou D B { de la fig. 8. ).
Portez fur la circonférence du petit cercle en commençant
du point 1 z qui doit être au midi ou au
nord, les divifions 1 2 , j 1 , 10 & du cercle égal de
la figure première ; & fur le-diamètre ed du plus
grand cercle, à commencer par le centre a , prenez
les a f & ag; ah & a i ; a 11 & a 12 ; ak & a l ;
a m Et a n , égales refpeôivement aux D L ou D M ;
D K ou D N ; D J ou D O ; D H ou D P ; D G
ou D Q de la première figure. Des points a , ƒ*
h , &c. tirez des perpendiculaires fur ed ; Et des
points 1 & 11 ; 2 & 10, 1 , 3 & 9 de la circonférence
du petit cercle tirez des parallèles aed , qui
rencontrent les perpendiculaires aux points X I ; X ,
&c. Les droites tirées par le centre a Et par les points
X I , X , &c, font les lignes horaires du cadran horizontal,
dont le centre eft a; la méridienne a e ; le
point qui regarde le nord e; le ftyle le triangle
D A C de la première figure , qui doit être droit fur
le plan c V I d, en forte que le point D tombe en a ,
Et le point A en e.
14. Pour tracer un cadran vertical, auftral Et
d ireû , faites la même conftru&ion, Et mettez le
point d en haut ; le point e en bas ; la droite e d verticalement.
Dans ce cadran , le centre eft a , le ftyle
D C E de la figure première placé à angles droits
fur le plan b e cd , enforte que le point D tombe
en a , & le point A en e.
15. Le point e eft celui de XII heures. Gn fait
que les points e , X I , X , &c. font à l’ellipfe , dont
les axes conjugués font de Et a b ; Et que ces points
étant déterminés, comme nous venons de le montrer
, on peut prolonger tant qu’on veut les lignes
horaires a« ( o u XII. ) , a X I , a X , &c.
16. On voit qu’après avoir décrit la première
figure, il eft inutile de décrire les cercles dans les
autres. Car ayant tiré la méridienne d e , & la perpendiculaire
b c qui fe rencontrent en a , il fuffit de
prendre du point a des parties égales à D L ou D M ,
D K o u D N , D J ou D O , &c. Et fur la bc des parties
égales à F c ou F p ,F q ou Fr, F s ou F t , Etc.
de la figure première, Et tirer par les points ainfi
trouvés dans les deux dernierès figures, des perpendiculaires
Et des' parallèles à la méridienne , marquant
les points ou les deux perpendiculaires les
plus éloignées du centre rencontrent les parallèles
les plus proches du centre, Et ainfi de fuite. Ca r,
puifque F A eft à A D comme Fp à dM , comme
F rk D N , Etc. fi F p F r font les finus de 1 50. de 30°.
&c. pour le rayon F A , aufli DM,DNfot\t les finus
de 150. de 30°. pour le rayon D A. On peut aufli
divifer le grand cercle en autant de parties égales
que le petit.
17. Cette derniere remarque montre que le cadran
horizontal fe conftruit comme l’azimutal ; en-
forte que l’un ne différé de l’autre qu’en ce que la
méridienne eft le grand axe de l’ellipfe dans le
cadran horizontal, Et c’eft le petit axe dans l’azîmutalj
comme nous l’avons remarqué dans Varticle AziMUi
T AL de ce Supplément.
18. La même chofe fe prouve ainfi : puifque
( planche J I L fig. 14. ) le côté E L du triangle rectangle
E LN eft plus grand que le côté LM du triangle
reélangle MLN, Et que le côté LN eft commun ,
l’angle N E L eft plus petit que l’angle N ML. *Sur
LM au point M faites l’angle LM n égal à l’angle
L E N , Et le point n tombera entre N Et L. Par les
triangles équiangles N EL ,n M L , comme E L à LM,
ainfi NL à L n ; mais E L eft à LM comme le rayon
au finus de la hauteur du pôle ; Et pour le meme
rayon LM , la LN eft la tangente de l’arc o L des
heures , Et n L eft la tangente de l’angle des heures
nML ou NE L; donc dans le cadran horizontal la
tangente des arcs des heures eft à la tangente des
angles des heures comme le rayon au finus ; & fi la
NL eft la tangente de l’arc des heures, & NL à L n
comme le rayon au finus de la hauteur du pôle ; n L
eft la tangente de l’angle des heures , de la hauteur
du pôle. Mais ( planche IL fig. c). ) A i eft à i B comme
e a à a b, comme le rayon au finus de la hauteur
du pôle; Et fi ai repréfente le rayon, iA repréfente
la tangente de l’arc des heures : donc B i eft
pour le même rayon la tangente de la ligne des
heures.
19. Si donc on faifoit fuflifamment grande la
huitième figure, & fi l’on fubdivifoit les parties DM4
M N , Etc. F p ,p r , Etc. chacune en un certain nombre
de parties égales, par exemple en 4 , elle fervi-
roit d’échelle pour tracer des cadrans de différentes
grandeurs pour la même ville.
Mais les étuis de mathématiques qui nous viennent
d’Angleterre , contiennent deux échelles, à l’aidé
defquelles On conftruit les cadrans folaires aved
autant d’exaâitude que de facilité pour quelque
hauteur du pôle que ce foit. Elles devroient le trouver
dans tous les compas de proportion. Cependant
elles font peu connues en-deçà de la mer 4 quoique
Clavius en parle dans fes OEuvres Mathématiques imprimées
en 16 12, & que Van-Schooten en ait donné
la démonftration dans fes Exercices Mathématiques 4
livre V , feclion 29 , page âio & fuivantes { édition de
J. Elzevir 1657. )
Van-Schooten en attribue l’invention à Samuel
Forfter, profefleur d’Aftronomie dans le college de
Gresham à Londres, qui, en 1638, publia à ce fujet
un traité intitulé The Art o f Dialing , by a new, easy
andtnojl fpeedit vay. Jean Collin décrit au long cette
méthode dans un livre intitulé The Defcription and
ufes o f a great univerfal Qjiadrant, imprimé à Londres
en 1658. Cet auteur en attribue l’invention à
Jean Ferrero, Efpagnol. Harris en parle dans fon
Lexicon Technicum, article Dialling-Lines. Enfuite
M. Krafft, académicien de Petersbourg, en a donné
une. démonftration algébrique dans le XIII. tome des
Commentaires de Petersbourg, pour les années-1741 —
I 43 , page 2 55 & fuiv antes. Enfin M. Lambert, de
l’académie royale des fciences Et belles-lettres de
Berlin , dans fes Remarques pour étendre l’ufage des
Mathématiques pratiques, troifieme tome imprimé
en Allemand à Berlin 1772* page 1 & fuiv antes ,
fous le titre de Propriété particulière des Tangentes ,
fe propofe la chofe comme un problème qu’il réfout
par le calcul, d’une maniéré plus fimple que
n’avoit fait M. Krafft.
19. Les principales lignes qui fe trouvent dans les
étuis Anglois à ce fujet, font repréfentées ( planche
II. fig. 10 du Supplément. ) par les lignes droites A B ,
CD . Ce font deux échelles qui ont entt’elles un
rapport déterminé. On peut les appeller échelles
gnornoniques.
20. La droite A B s’appelle échelle des latitudes.
Dans mon infiniment, elle eft de là grandeur de la
figure , & divifée en 90 parties qui répondent aux
90 dégrés du i quart de cercle, t. J’en ai marqué les
divifions.
21. La feConde ligne marquée CD , s’appelle
l’échelle des heures. Dans la figure elle eft aufli grande
que dans mon infiniment, oit elle eft divifée de
cinq en cinq minutes d’heure.
22. Les. parties de cette échelle , qui font égale- ,
ment éloignées des extrémités, font égales. Ainfi
les parties CI Et D V , C i l Et D IV I ont égales , par
conféquent le point I I I partage également la
droite CD.
23. Lorfqu’on veut tracer un cadran horizontal,
fondement de tous les autres, on trace la méridienne
, fi le plan eft immobile ; Et s’il eft mobile,
on tire une droite à volonté , qui doit être mife dans
le plan du méridien , lorfqu’on place le cadran. Soit
/ planche II. fig. u . ) E F la méridienne, E le point
où doit être le centre du cadran , & A le point qui
doit être tourné vers le nord.
24. Par le point E tirez fur la droite E F la perpendiculaire
indéfinie GH. Sur l’échelle des latitudes
A B , prenez la diftance du point A au point
■ auquel appartient le nombre des dégrés de l’élévation
du pôle du pays. Par exemple , pour Berlin,
où lé pôle eft élevé de çzd 32' 30", prenez l’intervalle
du point A au point 52, Et portez-le fur GH
de côté Et d’autre du point E , en / & K. Je prends
52 au lieu de 52e1 32' 30 ", parce que la petite différence
qu’il y a entre la diftance qu’on a prife & celle
qu’on devoit prendre, n’eft pas fenfible fi le cadran
n’eft pas exceflivement grand.
25. Enfuite prenez toute l’échelle des heures CD,
Et avec cet intervalle, & le point J ou K comme
centre, décrivez un arc de cercle qui coupe en L la
droite EF. Tirez les droites J L , L K , qui feront
égales entr’ellés , Et chacune d’elles égale à la CD.
26. Sur l’échelle des heures C!D, prenez l’intervalle
du point C à chaque divifion de l’échelle ;
portez-le du point Avers J Et vers K , marquant les
heures convenables du côté qu’il faut. Je n’ai dans
la figure marqué que les heures. Suppofons que le
côté L J foit tourné au levant, Et le côte LK k
l ’occident. Je porte l’efpace CI de L en M. Et en N ,
de / en O , Et de K en P ; l’efpace C I I de L en Q
Et en R , de ƒ en S & de A en T ; Et l’efpace C l lI
de L en U Et en X.
27. Du point E je tire par les points M ,N , Q ,
R , & c. des droites ; & à côté de la droite EM , je
marque I , à côté de la droite E N , j’écris //, &c.
28. Si l’on vouloit ajouter les heures 5, 4 , &c.
avant midi, & 7 , 8 , &c..après midi, on n’auroit
qu’à prolonger les P E , O E , T E , SE , &c.
29. La conftruélion des échelles A B , CD (fig. 10i)
eft facile. Elle n’exige de la part des faifeurs d’infiru-
mens de Mathématiques’'qu’un outil qu’ils Ont tous ;
c ’eft un cercle divifé à l’ordinaire. Car foit ( planche
III. fig. 12. ) abc un demi-cerèfë, dont le centre,
eft e, que a c loit un diamètre f'Sc e b un rayon qui
fe coupent à angles droits, & que les quarts de cercle
a b, bc foient divifés en dégrés, &c. Dans la
figure ils font divifés de dix en dix dégrés.
3°-. pour conftruire l’échelle C D {PL II, fig. io. )
de la longueur a c {fig. / 2.) on n’a qu’à projeter fur le
diamètre àc lès dégrés du demi-cercle de trente en
trente;'pour avoir l’échelle divifée en heures ; de :
quinze en quinze pour l’avoir divifée en demi-heures, !
& de 7d 30' en7d 30' pour l’avoir divifée en qiüarts-
d’heures; &c. enforte que pour l’avoir divifée de
-cinq en cinq minutes d’heurei, il fuffit que le cèrcle
foit divifé de io ' en io'.- { Voye^ C ar-tès G éo-
.graphiques. )
31. Il eft clair par cette conftruélion, que les
fome II,
droites eh & e t , e f & C eg ,ea S c e c font refpeélive-*
ment les tangentes de i f d, de 30**, & de 45d, pour
^ le rayon de , & par conféquent proportionnelles à
celles qui déterminent dans les cadrans horizontaux
les heures 1 & 1 1 , 2 ôc 10 , 3 & 9. '
3 2. Il eft clair aufli que les parties également éloignées
des extrémités, font égales comme elles le
font dans les .échelles des heures qui nous viennent
d’Angleterre.
33. Pour conftruire l’échelle des latitudes qui
convient à l’échelle des heures a c , tirez la droite cb
corde du quart, de cercle , vous aurez la longueur
de cette échelle.
34. Afin d’en trouver les divifions, tirez parles
points de divifion du quart de cercle des droites pa*-
falleles au diamètre ac , qui rencontrent le rayon
eb aux points k , l ;m ,n , o , p , q , r. Il eft évident
par cette conftruaion, que les pàrtie s e k , e l , em ,
&c. font lés finus refpe&ifs de io d, de io d de
3 od , &c.
35. Du point a par les points k , l , m, Etc. tirez
des droites qui rencontrent le quart de cercle c 10 b
aux points s , t , u , x \ &c. Du centre c & des inter-
valles e s , c e , eu , cic, &c. décrivez des arcs de cercle
qui rencontrent la corde c b , écrivez à chaque
point de rencontre les chiffres qui indiquent les nom-
bres des dégrés dont les parties e k , e l , em, & c .
font les finus, & l’échelle fera faite.
36. Par les triangles équiangles aeni^ a u c (par
exèmple ) am eft à/rce comme a c k eu ou à Ion
égalé- c 30. Commè la chofe d'ôit être vraie pour
tousdes triangles, on doit avoir a c i c b , comme a b
à b e; ce qui eft vrai du triangle rectangle ifoCele a b c .
37. A préfent, foit ( planche III,fig. 1 3 .) A B
l’échelle des heures , B C la ligne de latitude qui
appartient à l’élévation du pôle B F , dont le finus
eft FG ou D E ; fi fur la droite CA au point A on
fait 1 angle CAH égal à 1 angle F C B , je dis que la
CH tirée à angles droits du point C fur la A H , eft
égale à la AC.
C a r , par les triangles équiangles A D E , A C B ’
Comme A D à D E , ainfi A C à CB. Mais par les
triangles équiangles D G F , AHC, comme D F à FG,
ainfi A C à CH; & A D eft égale à D F , aufli bien
que D E à FG ; do ne A C k CB comme A C k CH;
& par conféquent CA eft égale à CH.
38. Faifons ( fig.' 14. ) , comme dans la figure 11
{planche I L ) , le triangle J L E égal au triangle
A B C de la .figure 13. Pour, décrire le cadran horizontal
qui convient à cette figure, il faut faire l’angle.
AA A égal à la hauteur du pôle , tirer de A fur
A A la perpendiculaire A A ; prendre fur E L pro*
longée la AM égalé à là L K ; du centre M &c de
l’intervalle ML décrire un cercle, dont on divifé la
circonférence de 1 5d en 1 yd pour lès heures, &c'.
enfuite l’on doit tirer par A une tangënte à ce cer*
c le , fur laquelle on détermine , par les divifions de
la circonférence, les parties LN , LO ; L P , &c. qui
font les tangentes des arcs refpéctifs. Les droites
E N , E O , E P , font les lignes horaires. Voyt^
article. C adran Solaire. Diet. raif. des Scier**
ces, &c.
V39. Cela p o fé , la droite A / eft donc égale à
la ' droite A A , par la démonftration précédente ,
& par conféquent à la LM , & à la A O , que je
prends égale à la LM , parce que. j.e‘ fuppofe que
la 'A O eft la ligne de trois heures ; d’où il luit
que- la'1 O A eft la tangente de 4y°. Je dis que là
A O coupe la L J légalement en Q ; & que fi la
ligne de trois heures È O coupe également en Q
la droite L J , la E J eft égalé à la A As
■ Car- par les triangles équiangles O L Q , E JQ ,
comme OA à AQ* ainfi E J à JQ\ ;û donc OA
eft égale à E J , aufli■ A Q eft égale à Q J ; & fi.
' N ij