3 -° Le passage de Plutarqué nous apprend que le nombre 4 du triangle étoit
formé du premier nombre pair, ou 2, multiplié par lui-même ; en le joignant, ainsi
que l’unité, aux trois autres, nous aurons.la série des cinq premiers nombres. Maintenant,
si on les multiplie 2 à 2, 3 à 3 et 4 à 4> ^es produits expriment un grand
nombre de rapports compris dans le tableau des mesures Égyptiennes (1).
Ainsi la progression des mesures et leurs rapports paroissent dériver, du moins
en partie, de la considération de trois figures de géométrie : les polygones étoilés
à 5 et à 1 5 côtés, et le triangle rectangle Égyptien. En second lieu, toutes les mesures
de stades se trouvent dans ce triangle et ses dérivés, En troisième lieu, les
élémens de la grande pyramide sont tous renfermés dans ce même triangle; ce qui
contribue à expliquer le choix que l’on a fait de cette espèce de pyramide, plutôt
que d’aucune autre.
Je rappellerai ici un passage de Plutarqué dont je n’ai encore cité que le commencement.
Il est question des Pythagoriciens. « Le nombre de 36, dit-il, appelé
» tetractys, étoit sacré: le serment que l’on faisoit par ce nombre, étoit des plus
» révérés ; ce qui est, dit Plutarqué, une chose rebattue. Le même se forme aussi par
» l’addition des quatre premiers nombres pairs et des quatre premiers impairs.»
C ’est là le fameux quaternaire si connu par les rêveries anciennes et modernes dont
il a été l’objet, et qui n’est, au fond, qu’une figure très-simple de géométrie ou
d’arithmétique. Le mot de tetractys annonce que la figure étoit un carré ; ce carré
avoit 6 unités de chaque côté. Or le nombre 6 est un diviseur commun des
rapports du système Égyptien. Les nombres, dans ce système, sont divisibles par 6
ou 10 (dont le produit es® 6©), ou bien ils en sont des puissances.
Cette remarque me conduit à une autre propriété du triangle Egyptien. Si,
après avoir mené une perpendiculaire sur l’hypoténuse, on en mène une autre
du pied de celle-ci sur le moyen côté, puis une autre sur l’hypoténuse, et ainsi
de suite indéfiniment, on a une série de lignes en zigzag et décroissantes, parallèles
ou à la hauteur ou au moyen côté, et qui ne ressemblent pas mal à ces figures de
serpens dessinées dans les tombeaux des rois de Thèbes, sur les faces des rampes
ou plans inclinés, avec un nombre considérable de circonvolutions. Or, si l’on
calcule les valeurs de ces lignés, on trouve qu’elles forment une série infinie, dont
les termes sont égaux, suivant une certaine loi, aux puissances de .4 divisées par
les puissances de 10 et multipliées par 6 (2).
Si l’on fait la même chose du côté opposé, c’est-à-dire, en abaissant des perpendiculaires
suécéjsivement sur l’hypoténuse et le petit côté, on a une série analogue,
dont chaque terme est égal au quadruple de la fraction élevée à.ses différentes
puissances (3). Calculant aussi les longueurs du moyen côté et du grand segment
de l’hypoténuse, réduites par les perpendiculaires successives, on a une série
(0 e tableau général et comparé des mesures.
(2) Chaque terme est égal à - ^ n‘— ou L ? „ étant le rang de la perpendiculaire, et les côtés du
triangle étant tou}ours représentés par^3, 4» 5•
(3) La valeur du terme est 4 (— )
formée des puissances de 4 et de xo (i ). Enfin, si l’on considère de la même
manière le petit côté et le petit segment, on trouve encore une série formée des
puissances de 6 et de i o ( 2 ).
Ainsi le triangle qui se compose de côtés égaux à 3, 4 . 5, renferme une multitude
de propriétés, et, entre autres, la progression numérique par 6 et 10 ; ce
qui a contribué sans doute à faire adopter par les Égyptiens l’échelle sexagénaire,
employée dans la division du cercle et dans la série du système métrique. Il est
permis de conjecturer que la recherche de toutes ces propriétés différentes occu-
poit les prêtres, puisque Diodore, Porphyre et Jamblique, nous les représentent
comme livrés sans cesse à des combinaisons d’arithmétique et de géométrie (3).
Ces études, au reste, n’ont pas toujours été vaines et stériles pour la science.
Il n’est pas étonnant, après cesrapprochemens singuliers, que les Égyptiens aient
eu constamment une sorte d’affection pour les quantités multiples de 6. Le nombre
des colonnes dans les portiques des grands temples est de 6 ou 2 x 6, ou 3 x 6,
ou 4 * 6 - Dans les salles hypostyles, on compt.e 12 ou 24 ou 36 colonnes; au
Memnomum, ce nombre est de 60. On fait la même remarque dans les cours
et les péristyles, dans les temples périptères, et enfin dans les répétitions des
ornemens symétriques. La longueur de l’espace que les jeunes gens élevés avec
Sésostris devoient parcourir tous les jours, avant de prendre aucune nourriture,
étoit de 30 x 6 stades ou y x 6*, &c. Le nombre 60, dit Plutarqué, est la première
des mesures pour les astronomes (4).
Je trouve encore une source de la division sexagésimale dans la composition
des polyèdres réguliers, dont les Égyptiens ont certainement eu une parfaite con-
noissance ; car les Platoniciens avoient puisé chez eux tout ce qu’ils enseignoient
dans leur école sur ces élémens de la géométrie. 4 triangles équilatéraux forment
le premier polyèdre régulier, qui est la pyramide ; 8, l’octaèdre; 20, l’icosaèdre;
enfin 60 font le dodécaèdre, si l’on considère le pentagone qui forme chaque
face, comme composé de y triangles isocèles ; et c’est ainsi que ces philosophes
l’envisageoient (y). Ils décomposoient en outre chaque triangle en 6 élémens,
ainsi que je l’ai exposé plus haut d’après le Timée de Platon (pag. 7 1 7 ) , c’est-
à-dire, en 6 triangles scalènes. Ainsi la pyramide étôit composée de 4 x 6 élémens;
l’octaèdre, de 8 x 6 ; l’icosaèdre, de 20 x 6 ; enfin le dodécaèdre, de 60x6 ou 360.
C’est pour cela qu’ils comparoient le dodécaèdre à la divinité. De même, disoient
ils, que le zodiaque est formé par 12 figures ou divisé en 12 parties, et
chacune de celles-ci en 30 ; de même, dans le dodécaèdre, il y a 12 pentagones
, -a "~L 2 j « - i /jufnvo/Mvoiç. (Plut. D e Iside et Osir. pag. 3 S i , tom. IL )
(1) La formule est ---n_ - ou - - n_ t . Quand n T o u t concourt à faire penser que ces peuples faisoient
, . . i _____ usage de l’arithmétique sexagésimale. Cette arithmétique
est un nombre pair, les valeurs se rapportent au moyen b . . , x f . , 1
. , i»l ' a aussi occupe les modernes, et ils ont tait des tables
cô te : et quand il est impair, a 1 hypoténuse. . , .. 1 ^ \ n + t sexagesimales. V oyez la Métrique astronomique de.Mau-
(2) La valeur de chaque terme est 3 I— j . I I rice Ëressius, Paris, 1514, et aussi la table sexagésimale
, , • de Taylor, la Logistique astronomique de Barlaam, & c .
seroit facile d’étendre ces recherches, mais ce n est pas 0
ici le lieu. (5) AlcinVüs, De doctrina Platonis. {Voye^ un recueil
(3) Koyrç ci-dessus, pag. 700 et suiv. de fragmens des philosophes Pythagoriciens et PlatOni*
(4 ) .......*0 m i fAti'Tfuv met to'»©tWr & y - ciens, publié à Venise en 15 16 , chez les Aides.)
A . Y y y y 2