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aussi en soixantièmes, et ces derniers en 60 autres. Tout ce mémoire à prouvé,
au reste, que la division successive des mesures par 6 et 10, depuis la circonférence
terrestre jusqu’aux dernières parties, avoit servi de base au système Égyptien.
Si le périmètre du globe étoit ainsi divisé, comment imaginer que le cercle
en général eût été soumis à une division différente ! Il faut bien plutôt croire
que l’échelle sexagésimale avoit passé de la géométrie et de l’astronomie au système
métrique.
On sait combien le problème de la duplication du cube a eu de célébrité chez
les anciens; il a occupé Platon, Ératosthène, Héron d’Alexandrie, Philon de
Byzance, qui en ont donné une solution mécanique et par tâtonnement. Hippo-
crate de Chio, Archytas, Menechme, Eudoxe, Apollonius, Nicomède, Pappus et
Dioclès, ont donné des solutions géométriques, et qui se rapprochent plus ou
moins de celles des modernes, lesquelles consistent à employer l’intersection du
cercle et d’une section conique. On trouve que les lignes de la .grande pyramide
de Memphis fournissent aussi une solution matérielle du problème : Pour doubler
le cube de l'apothème, il suffit de faire le cube du socle. En effet, 2 3 P\y/[y, longueur
du socle, étant divisés par 184”,722, longueur de l’apothème, donnent 1,26;
or 1,26 est justement, à une très-petite quantité près, la racine cubique de 2,
racine par laquelle il faut multiplier le côté d’un cube, pour avoir celui d’un
cube double. Plus simplement, si vous multipliez 4 00 coudées, longueur de
l’apothème, par 1,26, rapport des côtés de deux cubes sous-doubles, vous aurez
504 coudées, longueur dit socle (1).
Ce problème revient à’ la division d’une pyramide en deux parties égales en
volume. Dans un cas, il faut multiplier, et dans l’autre, il faut diviser par la racine
cubique de 2. Ainsi les géomètres Égyptiens pouvoient, par l’exemple de la duplication
du cube, apprendre à partager une pyramide en deux parties d’un volume
égal.
DE l’é t o i l e à c i n q b r a n c h e s , ‘ f i g u r é e d a n s l e s m o n u m e n s é g y p t i e n s .
L a figure donnée aux étoiles dans les monumens Égyptiens suppose une construction
géométrique fort curieuse, et qui paroît avoir été inconnue aux géomètres
Grecs. De cette construction résulte une propriété remarquable (2); savoir, qu’il
y a une infinité d’autres figures que le triangle dont la somme des angles est
égale à deux angles droits. En général, dans tous les polygones étoilés et d’un nombre
impair de côtés, la somme des angles saillans est constante et de 18o°.
Pour construire un polygone étoilé de cinq côtés, par exemple, il faut diviser la
circonférence en cinq parties égales, et, aux points que j’appellerai 1,2,3,4,5,
mener successivement des cordes de 1 à 3 , de 3 à 5 , de 5 à 2, de 2 à 4, enfin de
(1) L é cube de 400 coudées est de 64000000 cou- qu’on les suppose construites. O r j’ai dit que la figure de
dées cubes, et celui de 504 fait 128024064, dont la la pyramide étoit employée aux démonstrations géomé-
moitié est dé 64012032, égale, à prés, au cube triques.
de l’apothème. La différence est sans doute encore trop (2) C ’est M . Poinsot qui le premier l’a fait connoître
grande, puisqu’elle devroit être absolument nulle; mais parmi nous. Voyez le Journal de l’École polytechnique,
elle étoit tout-à-fait insensible dans les figures de géomé- tom. IV , io.° cahier, ann. 1810.
trie, soit planes, soit stéréométriques, à quelque échelle
D E S A N C I E N S E G Y P T I E N S . 7 1 j
4 à 1 ; alors le polygone est fermé. La figure est une étoile à 5 pointes ; chaque
angle saillant est de 36°, et la somme, de 180“. Tout polygbnë construit par cè
procédé, c’est-à-dire, en menant des cordes d’un poifltà l’autre, eh Sautant pardessus
1, 2j 3, 4, &c. points intermédiaires, suivant que la circonférence est divisée
en 5 , 7, 9, 1 1 , &c. sera une étoile, dont les angles saillans jouiront de la même
propriété (1).
Il suit de cette définition que le polygone étoilé à 15 côtés se construit en menant
des cordes du 1." au 8.' point, du 8.' au 15 .', du 15.' au 7 .', et ainsi de
suite, et que l’angle saillant est de 12“, lâ Somme de 180°. Cela posé, l’étoile
Égyptienne, représentée'dans les bas-reliefs, les peintures et les monumens de
tout genre, est une figure à cinq angles très-aigus, qui est renfermée trois fois dans
le pentédécagone étoilé (2) ; c’est donc de cette figure que l’étoile paroît empruntée.
Il ne faudroit point comparer l’étoile des Égyptiens au pentagone étoilé; les
branches de celui-ci sont beaucoup trop larges et trop courtes relativement. Celles
de l’étoile, au contraire, sont étroites et très-alongées ; de plus, elles s’appuient
toujours au centre sur un cercle : or celui-ci est très-sensiblement formé par les intersections
des 15 cordes dans la figure de géométrie ; ce dont on peut s’assurer en
construisant la figure, même à une grande échelle. Comme la pointe eût été trop
aiguë pour être exécutée, les Égyptiens avoient coutume de la tronquer un peu.
Souvent l’exécution de ces étoiles est négligée ; ce qui vient de l’immense quantité
de celles qu’on avoit à représenter (car aucune figure hiéroglyphique n’est plus
commune sur les monumens) : mais l’angle aigu résultant des côtés prolongés se
retrouve constamment (3) ; il en est de meme du Cercle qui est au centre.
Le polygone étoilé à 15 côtés a une autre propriété ; c’est que chaque côté ou
corde est rencontré par les 14 autres sous des angles tous multiples de l’anglë
saillant, lequel est égal à 12°, c’ëst-à-dire qu’ils sont égaux à 12°, 24°, 36°, 48°, 6o°,
et ainsi de suite jusqu’à 180°. Il est possible que la progression duodécimale dès
mesures ait été puisée dans cette série, la division du cercle en 360 parties étant
d’ailleurs admise en principe. Le nombre 60, autre diviseur du système métrique,
se trouve également dans l’étoile Égyptienne, en ajoutant les 5 angles.
Sans prétendre avancer ou nier que les Égyptiens aient connu cette propriété
de tous les polygones étoilés à nombre impair de côtés, que la somme de leurs
angles fait constamment deux angles droits, je crois être autorisé à dire, 1 que la
figure de l’étoile gravée sur les monumens Égyptiens a été puisée dans le polygone
à 15 côtés qui renferme trois de ces étoiles ; 2.0 que ce n’est autre chose qu’une
figure de géométrie ; 3.0 que la progression duodécimale et sexagésimale des
(1) En général, n étant le nombre des divisions de
la circonférence, il faut sauter par-dessus un nombre
de points intermédiaires ; l’angle saillant = 1 — .
Dans le triangle, qui est un cas particulier de ces polygones,
1—É se .réduit à o ; les cordes doivent donc se
mener consécutivement par les points de division. Quel
que soit le nombre des côtés du polygone, la somme des
angles rentrans est toujours de 6 angles droits; chacun
d’eux est triple de l’angle saillant : ainsi l’anglë rentrant
dans le polygone à 15 côtés est de 3 6°. Les branches de
l’étoile Egyptienne font un angle de 84°.
(2) Voye^ la planche placée à la fin de ce chapitre.
(3) Les côtés sont, ordinairement, presque parallèles,
dans les oüvrages peints ou faits à là hâte. Cela même fait
voir l’intention d’exprimer un angle très-aigu.