étant plus courte que deux côtés du carré pris ensemble | on mesurerait un carré
double en moins de temps que deux carrés simples ; et qu’ainsi, si l’on substituoit
la double aroure à 1 aroure primitive, on abrégerait la durée des opérations de
1 arpentage autant que la diagonale est plus courte que la somme des deux côtés
du carré dans lequel elle est tracée. •>
Il s’agissoit de déterminer le rapport entre ces deux quantités ; ou bien, en appliquant
cette recherche à l’unité de mesure agraire, il s’agissoit de trouver combien
de cannes de cinq coudées étqient contenues dans la diagonale d’un carré de
vingt cannes de côté. On trouva que cette ligne en contenoit plus de vingt-huit
et moins de vingt-neuf; en ramenant à cent coudées la longueur du côté de
l’aroure, on trouva encore que la diagonale de ce carré étoit au-dessus de cent
quarante-une coudées et au-dessous de cent quarante-deux; enfin, poussant plus
loin 1 exactitude de la recherche, on reconnut qu’en quelques petites fractions de
coudées qu’on exprimât le côté de l’aroure, on ne pouvoir parvenir à exprimer
exactement en unités de la même espèce le côté de la double aroure ; singularité
qui fut sans doute le premier exemple frappant de quantités géométriques
incommensurables entre elles. A u reste, il n’étoit pas très-important ici d’obtenir
le rapport rigoureux entre la diagonale et le côté du carré; le procédé de mesurage
que nous avons décrit, étoit suffisamment exact pour les besoins de l’agriculture.
Ces besoins n’exigeant pas dans la détermination des longueurs une précision
mathématique, il y avoit beaucoup moins d’inconvéniens à faire subir à
1 unité de mesure agraire une légère altération, qu’il n’y avoit d’avantages à accélérer
les opérations de l’arpentage annuel : ainsi, sans être arrêté par 1’impossibilité
d assigner le rapport entre le côté de l’aroure simple et celui de la double
arome, on sen tint a rechercher par quel nombre entier de cannes celui-ci
devoit etre represente, lorsque celui-là étoit composé de vingt cannes.
Nous avons vu qu’alors la valeur exacte du côté de la double aroure étoit comprise
entre vingt-huit et vingt-neuf cannes : c e to it, par conséquent, entre ces deux
nombres qu’il fàlloit choisir la racine de la nouvelle mesure agraire. Examinons
quels motifs durent déterminer ce choix.
L ’unité de mesure primitive étant de quatre cents cannes superficielles, la valeur
exacte de la double aroure aurait été de huit cents. Or le carré de 28 est 784 , et
celui de 29 est 841 ; le premier de ces nombres est moindre de 16 et le second
plus grand de 41 cannes superficielles que la double aroure : il y âvoit donc, sous
ce rapport, une première raison de préférer le nombre de vingt-huit cannes à
celui de vingt-neuf, puisque la surface résultant de l’emploi du premier approchoit
plus que la surface résultant de l’emploi du second, de l’unité de mesure agraire
de huit cents cannes qui servoit de type, et avec laquelle il falloit coïncider.
Une seconde raison de cette préférence se trouve dans la composition même
de ces nombres : en effet, le nombre 28 a six diviseurs entiers (1), ce qui permet-
toit le partage de la double aroure en parties aliquotes, tandis que le nombre 29
est un nombre premier.
(1) Ces diviseurs sont les nombres i , 2 , 4 , 7 , ¡ 4 , 28.
Enfin, si, comme on n’en peut douter, la redevance que les terres sùpportoient
s’appliquoit à chaque unité de mesure agraire, on dut plutôt diminuer qu’augmenter
la surface de cette unité quand l’étendue en fut altérée, parce que cette
diminution, qui augmentoit la quantité des mesures de terre imposables, s’accdf-
doit ave,c les intérêts du Gouvernement et des propriétaires, qui avoient plus de
pouvoir et qui jouissoient d’une plus grande influence que les cultivateurs.
Nous voici donc amenés à une nouvelle unité de mesure agraire dont le côté
étoit de vingt-huit cannes de cinq coudées chacune, et qui, à un cinquantième
près, équivaloit au double de l’aroure primitive : on avoit, en l’adoptant, abrégé
les opérations de l’arpentage ; mais une autre considération indiqua bientôt les
moyens de les abréger encore plus.
En effet, vingt-huit cannes de cinq coudées chacune équivalent à cent quarante
coudées; or cette longueur de cent quarante coudées peut aussi se former
de vingt cannes de sept coudées chacune. Il étoit facile de trouver dès roseaux
assez longs et assez forts pour fabriquer ce nouvel instrument. On voit qu’il ne
falloit l’appliquer que vingt fois de suite sur le côté de la double aroure, tandis
qu’il falloit appliquer vingt-huit fois de suite sur la même ligne la canne de
cinq coudées. On abandonna donc l’usage de celle-ci : en lui substituant une
canne de deux coudées plus longue, l’unité de mesure agraire resta composée
de quatre cents cannes superficielles, c’est-à-dire, précisément d’un même nombre
de cannes que l’aroure primitive ; avantage d’autant plus précieux-, que les habitans
des campagnes conservoient par-là l’usage des sous-divisions de l’aroure auxquelles
ils étoient accoutumés.
On ne trouve dans l’arttiquité aucun témoignage positif sur l’emploi de la
canne de sept coudées, et sur la substitution de la double aroure de quatre cents
cannes superficielles à la simple aroure de cent coudées de côté, indiquée par
Hérodote. Mais le silence des anciens âiiteurs sur ce sujet n’a rien qui doive
surprendre : car aucun ouvrage d’auteurs Égyptiens qui se soient occupés de cette
matière, n est parvenu jusqu’à nous; et ce que nous savons sur les Usages et les
lois de cet ancien peuple, nous a été transmis par un très-petit nombre d’historiens
étrangers, dont l’objet étoit plutôt de conserver la mémoire des révolutions
politiques de ce pays, que d’entrer dans les détails minutieux de l’économie civile.
Peut-etre, après avoir lu ce qui précède, objectera-t-on que la formation d’une
mesure agraire de quatre cents cannes septénaires , dérivée de Xaroure. primitive
de dix mille coudées superficielles, aurait exigé, de la part des arpenteurs d’Égypte ;
des notions de calcul et de géométrie qui étoient au-dessus de leur portée. Mais
cette objection tombe d’elle-même, si l’on considère que l’arperttage des terres
étoit une des attributions' les plus importantes des prêtres Égyptiens, et que ,
livrés dès la plus haute antiquité à l’étude de la géométrie, de l’arithmétique et
de l’astronomie, les progrès qu’ils firent dans ces sciences les rendirent capables
de devenir les instituteurs de Pythagore, de Platon, d’Eudoxe, d’Arehimède
et de la plupart des anciens philosophes (1).
(1) Strab. lib, x v i i , png. 806. Diogen. La en. lib. vin, lib. III. Diodor. Situl. lib; r, sect. il, cao.jô,