la chambre du roi, étoit au tiers juste de ia hauteur de l’axe. Or, si, de »ce point,
on suppose une ligne horizontale allant à l’apothème, elle le rencontrera au point
qui correspond à la fin du deuxième plèthre, à partir du bas. C ’est à ce dernier
point que se termine le triangle ayant to plèthres carrés, précisément autant que
le triangle entier a d’aroures.
Mais le choix de ce point avoit peut-être un autre but plus important, celui de
faire connoitre comment l’on mesure le .volume des pyramides. En effet, d’après
ce que je viens de dire, le dessus de la,chambre du ro| étoit à io4 coudées
de hauteur; ce qui repondoit à 2 piétines ou 200 pieds mesurés sur l’apothème :
I 0 4 t t est Ie tiers de 3 1 2 y , hauteur totale. Il est donc possible que le choix de
ce point ait eu pour but de montrer qu il faut multiplier la surface de la base
d’une pyramide pat- le tiers de la hauteur, pour en avoir ia solidité. Le calcul
donne pour le volume de celle-ci environ 26 millions de coudées cubes (1).
On sait que le centre de gravité d’un triangle isocèle est au tiers de sa hauteur,
et, en général, a 1 intersection des lignes menées des sommes des angles au
milieu des côtés. La démonstration en est donnée par Archimède (2). Aristarque
de Samos avoit démontré cette proposition avant lui, et peut-être la tenoit-il
d ailleurs ; la construction de la pyramide en est du moins un indice.
Tels sont les divers motifs qui ont engagé les Égyptiens à placer le faux plafond
de la chambre du roi au tiers de la hauteur de l’axe, plutôt qu’à aucun autre
point. Le dessein des constructeurs étoit d’arriver à ce point par des lignes inclinées
et d un grand développement. Quel motif les a guidés dans le tracé des profils
de ces canaux ! J ai cherché' a connoître si les inclinaisons avoient été fixées arbitrairement,
ou si au contraire, et selon toute présomption, on les avoit assujetties
a ia destination du monument, qui paroît toute géométrique ; j’ai trouvé un
résultat conforme à cette dernière idée. Que l’on mène du milieu d’un des côtés
de la base une ligne dirigée au milieu de l’apothème opposé, et passant par conséquent
au tiers de la hauteur de 1 axe, et qu’on calcule ensuite l’angle de cette
ligne avec J horizontale, on trouve 220 36’ 1 3”: or l’inclinaison du premier canal
a été mesurée ; elle se trouve égale à 220 30' environ. Les constructeurs dirigèrent
donc ce canal parallèlement à la ligne qui passe par le milieu de l’apothème. Cette
ligne et celles qui lui correspondent déterminoient, sur l’axe, le centre de gravité
du triangle de la coupe.
La pyramide renfermoit en elle-même la démonstration sensible de la valeur
du carre de 1 hypoténuse dans un triangle rectangle isocèle, et la simplicité des
nombres rendoit le résultat plus frappant. En effet, le carré construit sur la diagonale
de la base étoit, comme on l’a vu page yoj), de yo aroures, et le carré
du côte de la base, 2y, cest-à-dire, la moitié. Or cette diagonale est l’hypoténuse
dun triangle rectangle, dont les deux autres côtés sont égaux chacun à la
base de la pyramide.
(1) En mètres cubes, la pyramide fait 2562674, et en pjeds-cubes, 74763451. L e socle n'est pas compris
dans ces mesures; il vaut 2662621 mètres cubes, ou 78669305 pieds cubes.
(-) D * l'équilibre des plans, liv. i , propos. 13.
La somme des carrés de la hauteur et de la demi-diagonale étant égale à la
somme des carrés de l’apothème et du demi-côté, ou bien encore au carré de
l’arête, les démonstrateurs puisoient sans doute des'exemples de la proposition du
carré, de l’hypoténuse dans ces propriétés et dans plusieurs autres semblables qui
appartiennent aux pyramides. Mais nous avons une autre preuve que les Égyptiens
connoissoient ce théorème, et je voulôis seulement montrer ici l’usage qu’on
faisoit de la pyramide comme figure de géométrie. En effet, Plutarque nous
apprend que les Égyptiens avoient l’habitude de considérer, dans leurs spéculations,
le triangle qui a 3 parties de hauteur, 4 de base et y de Sous-tendante,
et où celle-ci, multipliée par elle-même,' produit un carré égal à la somme-des
carrés formés par les deux autres lignes ; le nombre zy, qui résulte de part et
d’autre, étoit celui des lettres Égyptiennes, et celui des années qu’on attribuoit
a la durée de la vie d Apis. A la fin de ce paragraphe, je citerai le passage de
Plutarque, et je ferai quelques recherches sur les nombres qui composoient ce
triangle Egyptien, et sur les conséquences curieuses qu’on peut en tirer relativement
aux mesures, ¡¡jy,
L ’aroure avoit 10000 coudées carrées : un cube dont le côté auroit été celui
de l’aroure, valoit donc un million de coudées cubes. Il est remarquable que ce
volume est le même que celui d’un parallélipipède ayant même base que la pyramide
et même hauteur que le socle.
Nous n’avons pas de renseignemens sur la nature des moyens trigonométriques
en usage parmi les Égyptiens, moyens qui suffisoient toutefois pour mesurer les
distances inaccessibles ; mais il est bien difficile de croire qu’ils eussent pu faire
aucune observation sans le secours de la trigonométrie. La notion des distances
entre les corps planétaires, qui est certainement très-ancienne chez eux, suppose
la mesure des angles sous lesquels ces distances sont aperçues ¿et, à moins du calcul
ou de la construction des triangles, on n’en pourroit faire l’étiime même la'plus
grossière. On ne sauroit donc faire honneur à Hipparque de l’invention de la
trigonométrie. Bien que je pense que les Égyptiens aient eu certains procédés
de calcul, et des tables où les angles étoient exprimés en parties du rayon, il
y a lieu de croire qu’ils résolvoient aussi les triangles par construction géométrique
; l’incertitude ne sera peut-être jamais fixée sur ce point, tant que leurs
anciens livres de science ne seront pas découverts.
Les anciens ignoroient l’usage des sinus; ils se servoient des cordes des arcs;
ils divisoient aussi le rayon en soixantièmes, en soixantièmes de soixantième, et
ainsi de suite jusqu’au quatrième degré (1). Nous avons vu, chap. 1.", qu’ils fai-
soient certainement usage de la division du cercle en 6 fois 60 parties, divisées
( i ) Ptolémée, qui évalue les cordes des arcs en soixantièmes
du rayon, puis en soixantièmes ou minutes, et en
secondes (Iib. i , cap. 9 et alibi) , avoit certainement
trouvé cette méthode établie en Egypte. L ’opinion vulgaire
est que le premier traité de trigonométrie fut composé
par un certain Ménélaüs ; cette opinion demanderait
à être soumise aux recherches d’une critique éclairée.
A .
Théon rapporte que Ménélaüs avoit écrit, ainsi qu’Hip-
parque, sur le calcul des cordes ; mais son ouvrage n’est
point• parvenu jusqu’à nous, non plus que celui d’Hip-
parque. Je ne doute pas que Ptolémée n’y ait puisé les
élémens de sa table sexagésimale. Il ne nous reste de Ménélaüs
que son Traité des sphériques, ou sur les triangles
sphériques.
X x x n