un triangle quelconque. De la connoissance de la mesure des triangles, on pouvoit
déduire aisément celle des autres figures rectilignes.
Le rapport égal qu’il y avoit entre l’apothème et le côté de la base, d’une part,
et, de l’autre, entre la double face et la base, c’est-à-dire, 20 : zy, ou 4 : y , servoit
à rappeler la mesure des superficies; ce même rapport existoit encore entre la
somme des quatre faces et le carré de la diagonale.
La somme des 4 faces est égale à une fois et ~ la superficie de la base : ce
rapport de 8 à 5 est aussi celui de l’apothème au demi-côté de la base.
Les lignes homologues menées dans les triangles semblables sont entre elles en
proportion géométrique. C ’est ce qu’on pouvoit démontrer à la simple inspection
de la pyramide, en partageant l’apothème en deux parties : or cette division n’est
point arbitraire; elle est indiquée par la disposition de la pyramide (1). Divisant
donc l’apothème en deux également par une horizontale, on avoit au sommet
un triangle visiblement égal au quart de la face entière ; car le trapèze inférieur
en fait trois semblables. Les deux triangles sont donc comme 2 4 et 1 o. Le grand
a sa base y, et sa hauteur= 4 : donc le petit a sa ba se= 2 4, et sa h au teu rs 2.
Or on peut faire cette proportion, y ; 4 • : 2 7 : 2- Les deux bases étoient donc
en même proportion que les hauteurs. De là, la considération des triangles semblables,
et, par suite, des figures semblables, c’est-à-dire, des figures qui ont leurs
angles égaux et leurs côtés proportionnels.
La division de la hauteur de la face en deux parties égales n’étoit pas purement
spéculative; elle partageoit la superficie en deux portions hautes chacune de 2 côtés
d’aroure ou 4 stade, et qui étoient. entre elles comme 1 et 3 ; ce qui faisoit
connoître immédiatement la mesure des trapèzes. Triple en surface du triangle
supérieur, le trapèze formé par cette division valoit 7 aroures 4.: comme sa hauteur
est 2 (le côté de l’aroure étant l’unité), il s’ensuit que la surface est égale à
un rectangle qui auroit 2 sur 3 4 - Les deux bases du trapèze étant 2 4 et y, et leur
somme, 7 4, là demi-somme fait 3 4; d’où l’on concluoit évidemment que la superficie
d’un trapèze se trouve en multipliant la hauteur par la demi-somme des bases.
Autrement, la surface de la base de la pyran 'de étant de 2 y aroures, et, celle de
chaque face, de 10, la base est donc égale au double et demi de la face. En
construisant une figure égale à deux faces 4, on produit un trapèze ayant deux
angles droits, dont la hauteur est 4» | j grande base 7 4, et l’autre y ; il est visiblement
égal au carré de la pyramide, ou zy. II faut donc, pour avoir la surface du
trapèze, multiplier 4 par le quart de zy ou 6 4 - or d 4 est la demi-somme de
y -H 7,y ; donc la surface du trapèze est égale au produit de sa hauteur par la
moitié de la somme de ses bases.
Voici un autre théorème que la pyramide présente avec non moins d’évidence ;
savoir, que les figures semblables sont entre elles comme les carrés des lign.es homologues.
Si l’on divise la face par deux horizontales passant au 1." et au z.c tiers
de l’apothème, c’est-à-dire, de 2 plèthres en 2 plèthres, division donnée par la
position de la chambre du-roi, on a un triangle égal à deux plèthres carrés 4 ;
(1) Voyez c i-d e s sou s , e t plus hau t la figure d e la p y ram id e , pa g. 537.
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un second, à 10 plèthres; enfin un troisième ou la face elle-même, faisant 22
plèthres 4 - Le rapport de ces mesures en plèthres avec les mesures en aroures
étoit facile à saisir, comme on le voit par les superficies correspondantes :
APO TH ÈM E DIVISÉ
1 .er t ie r s . . . t r ia n g le ...
i ‘. te m o itié , t r ia n g le .. .
aa| tie r s .. . trap è z e . . .
2.® m o it ié , trap è z e .. .
3.® t ie r s . .. t r a p è z e . ..
T r i a n g l e t o t a l . . .
EH DEUX PARTIES. EN Tnois PARTIES.
9 | § j
plèthres carrés.
I 2 t *
•i/ 10. 2 2 7
II est inutile d’expliquer la raison de cette correspondance, qui est assez palpable.
D ’après le théorème ci-dessus des lignes proportionnelles, les bases des
triangles, dans la face^Iivisée en trois parties,sont de 2 plèthres4, y plèthres,,et
7 plèthres 4 ; les hauteurs, 2, 4 et 6 plèthres. Comparons les surfaces des triangles
entre elles, nous les trouverons égales à 1 , 4 et 9 plèthres carrés : or ces trois
nombres sont entre eux comme les carrés des dimensions homologues que je viens
de rapporter; savoir, les carrés des bases des triangles, 2,y1 ; y* ; 7,y’ , ou bien les
carrés des hauteurs, 4 » 16 et 36. La démonstration étoit encore plus simple pour
la face divisée en deux parties.
Cet autre théorème, que les trois angles d’un triangle isocèle, et par suite
de tout triangle, sont égaux à deux droits, n’étoit pas moins apparent dans la base
de la pyramide : à la vérité, toute figure carrée l’eût offert également. Le carré
de la base ayant évidemment quatre angles droits, quand on le coupoit en deux
par une diagonale, on formoit deux triangles, dont chacun avoit un angle droit
et deux moitiés d’angle droit.
On trouvoit, en divisant l’apothème de plèthre en plèthre, une progression en
raison arithmétique, dans la suite des cinq trapèzes et du triangle supérieur. Le
triangle au sommet est le premier terme de la série; la raison est 4 de plèthre carré,
double en valeur du premier terme. De même, en divisant la face en 4 tranches,
ou par côtés d’aroure, le premier terme étoit 4 d’aroure, le second-L*-, le uoi-
sième et le dernier-Efcien ajoutant les quatre termes ensemble, on avoit 4 L
c’est-à-dire 10 aroures. On remarque que cette progression, multipliée par y , l’m-
verse du premier terme, devient celle des quatre premiers nombres impairs 1 ,3 ,
y , 7. Dans la face divisée en plèthres, on avoit i , 3, y, 7, 9, 11. Le moyen de
sommer une série arithmétique n’étoit pas difficile à déduire de cette définition.
J’insiste sur ce qu’il ne faut pas croire que la division que je viens de faire de
l’apothème en trois parties, soit de pure hypothèse; elle est parfaitement indiquée
par la construction elle-même de la pyramide. Au chapitre ni, j’ai dit que le faux
plafond servant de décharge au poids immense de la pyramide, et qui couronne
(1 ) Voye% la figure d e la py ramide au chap. I I I , p a g . 5 37.
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