coudée Égyptienne , à 1 '”>385 ou 4 pieds§ environ : o r , dans les dernières opérations
entreprises par les Français pour connoître les niveaux respectifs des deux
mers, on a trouvé 4 pieds 3 pouces de différence entre la mer Rouge et la plaine
des Pyramides. Aujourd’hui, c’est celle-ci qui est supérieure ( 1 ). Comme l’exhaussement,
depuis le temps de Sésostris, peut être évalué à 2™ i [8 pieds 6 pouces] (2),
le sol du pays entre Memphis et le Delta étoit donc autrefois inférieur aux hautes
eaux de la mer Rouge, de 4 pieds 3 pouces ou 4 coudées. Ainsi l’on est fondé à
croire que les Égyptiens avoient trouvé des moyens de niveler le sol avec exactitude.
C étoit d ailleurs une des opérations qu’il étoit le plus nécessaire de savoir
exécuter, pour régler l’ouverture des;canaux et la distribution des eaux: or on
sait combien ces travaux ont occupé les anciens habitans du pays, et combien,
sous ce rapport, ils ont acquis de célébrité.
Je me hate de passer au grand monument qui a fait, au commencement de ce
mémoire, 1 objet d’un chapitre entier. La grande pyramide de Memphis présente
à elle seule, dans sa construction et dans son exécution, une foule de données
géométriques, dont je vais faire la recherche. Et d’abord, pour connoître si le
choix des proportions de la pyramide a été arbitraire, ou bien fondé sur des motifs
évidens, j examinerai quelles sont les propriétés géométriques d’une pyramide droite,
a base carree, dont la base est comme y , et l’apothème comme 4 > proportion que
les constructeurs ont adoptée. On eût pu choisir une pyramide équilatérale, ou toute
autre dans laquelle il y auroit eu un rapport exact, soit entre la base et l’arête ou
la hauteur, soit entre 1 arete et 1 apothème ou la hauteur, soit enfin entre la hauteur
et 1 apothème : mais les Égyptiens ont préféré, sans doute pour quelque raison,
celle dont 1 apotheme et la base avoient le rapport que je viens d’éxprimer.
En effet, si 1 on suppose successivement, 1.“ une pyramide équilatérale ayant
une base comme 8; 2.0 une autre pyramide ayant la même base et sa hauteur
comme y , ce qui se rapproche du monument Égyptien ; 3.0 une troisième ayant
la meme base et son arête comme 7, rapport qui est aussi approchant dé celui du
monument Égyptien ; on aura toujours un même résultat pour la superficie des
faces de la pyramide, -cest-a-dire que cette superficie n’aura aucun rapport assignable
avec celle de la base, et-cela parce que 1 apothème sera toujours incommensurable
avec le côté (3). A u contraire, dans celle-ci, la face et la base ont, l’une
2y aroures de superficie, et l’autre 10, et elles sont comme 2 et y (4 ). Je ne
(1) La.première assise de la grande pyramide, taillée
dans le roc, est de 134Js 5r° ' 1 * au-dessus du chapiteau
de la colonne du Meqyâs, et de 138‘,s ioi’° 2 1 au-dessus
de la plaine de G yzeh , au niveau moyen (*). O r la mer
Rouge est inférieure de 8dï 8i*° i 1 au même chapiteau :
donc la plaine actuelle des Pyramides est plus haute que
les hautes eaux de la mer Rouge, de 4 pieds 31’0. (Voyez
le Mémoire sur le canal des deux mers, par M . Le Père,
pag. 160, ¡7$ et 176, et la planche ¡4., Ê . M .)
(2) A Héliopolis, le sol actuel de la plaine est à i m,88
au-dessus de la base de l’obélisque, dont le socle avoit
au moins sept décimètres^ et il n’est pas probable que le
socle ne fut pas élevé, au-dessus'du terrain, d’un ou deux
décimètres, en tout 2m | à pçu près, ce qui équivaut à
8d* environ. Je regarde comme sensiblement de niveau
le sol d’Héiiopolis et#celui de la plaine des Pyramides.
Donc le sol ancien de la plaine étoit à 4ds 3 po au-dessous
de la mer R ou g e , ou 4 coudées.
(3) Dans le premier cas supposé, l’apothème est 4 ;
dans le deuxième, / 4 1 » dans le troisième,^ /0 7 , & c . :
les surfaces sont donc 1 6 / 3 , 4 / 4 1 , 2 / 9 7 , & c .
(4) Consultez la figure de la pyramide, pag. 537.
(*) Le plan auquel les ingénieurs Français ont rapporté le niyellement,
est au-dessus tleTalbyeh (village qui est au point leplus bas) dei jo* 9'* y1.
au-dessus du point où commencent les sables........................ 140. 7. 8.
Hauteur moyenne i4 j* '8M7
Il faut en retrancher 64‘ io'*
fcricur au plan de nivellement ;
dessous de ce rocher, 138* 10"
u, en négligeant lés lignes , 145 • ;
1 dont le rocher de la pyratniJe e
île, pour l'abaissement de la plain
doute point que le désir d’avoir des lignes et des surfaces commensurables entre
elles n’ait en partie déterminé les géomètres Égyptiens dans le choix des élcmens
de la pyramide. Les rapports de 4 à y entre l’apothème et le côté, de 4 a 10
entre les superficies de la face et de la base, étoient frappans par leur simplicité,
et d’un usage commode pour les calculs.
La pyramide équilatérale ne présentoit qu’un seul avantage, celui de l’égalité
des angles et des côtés ; mais, en comparant une quelconque des dimensions à
toutes les autres, ou le rapport en étoit irrationnel, ou elles étoient identiques.
Dans notre pyramide , au contraire, la comparaison de la base à l’apothème
donnoit, pour excès de l’une sur l’autre, précisément le côté de l’aroure, mesure
de cent coudées, quart du stade Égyptien, élément de toutes les mesures agraires,
et d’un usage journalier dans le pays.
C ’étoit là un moyen de retrouver en tout temps le côté de l’aroure, la coudée,
et par conséquent toutes les mesures. Le monument en of&oit encore un autre;
il consistoit à comparer la surface de la base à celle d’une des faces, et d’en
prendre la différence : la quinzième partie de cette différence équivaloit à une
aroure, et la racine carrée de cette dernière quantité étoit la mesure de cent
coudées.
Continuons de rechercher les propriétés de la grande pyramide de Memphis,
envisagée comme figure de géométrie : car je pense que ce monument étoit considéré
comme te l, et qu’il servoit aux spéculations géométriques, parce qu’il ren-
fermoit les exemples de la plupart des propositions fondamentales. J’ai déjà dit,
dans le chapitre 111, que, l’apothème de la pyramide étant 4, et la base y, il en
résultoit pour la valeur de la hauteur, ÿ ]/39; et pour celle de l’arête, f y/80
(c’est-à-dire, moins de 3 -J- et de 4 j) - Quand les géomètres vouloient avoir des
exemples des lignes irrationnelles, ils les trouvoient donc dans les dimensions de
la pyramide ; circonstance qui, au surplus, est commune à tout solide semblable,
où deux dimensions seulement sur cinq peuvent être commensurables entre elles.
Ainsi l’on attribue à tort à Démocrite (qui, au reste, vécut cinq ans en Égypte)
d’avoir le prèmier fait connoître les lignes irrationnelles; on ne peut douter que
les Égyptiens ne les connussent bien long-temps avant lui.
La base avoit en surface 2 y aroures ; chaque face triangulaire, 1 o aroures ; le
carré construit sur la diagonale, yo aroures ; celui de la demi-diagonale, 12 aroures
et demie, &c., et ces espaces fàisoient, en coudées carrées, 2y0000, 100000,
yooooo, ia yo oo, &c. Sachant, d’une part, que la base avoit 2y aroures de surface,
et, de l’autre, qu’il y avoit y mesures sur un côté de la base, y mesures sur
l’autre, dont la multiplication donnoit 2y mesures carrées ou aroures, on com-
prenoit aussitôt que la superficie d’un carré se mesure en multipliant par lui-même
le nombre des unités du côté.
La mesure de la surface d’iin triangle étoit également visible. On savoit que la
face de la pyramide avoit 10 aroures, et que la base renfermoit y mesures, et la
hauteur 4- on voyoit qu’il falloit multiplier y par la moitié de 4» pour obtenir la
superficie de ce triangle, et, en général, la base par la moitié de la hauteur, pour