les droites B H & B I aux foyers, leur Comme fera
•égale âu grand axe ; & fi l’on divife par la ligne B a
l’angle J B H que font ces deux lignes, en deux parties
égales, cette ligne B a fera perpendiculaire à
l ’ellipfo dans le point B.
9°. Un corps décrivant l’ellipfe D F K autour du
foyer H , eft dans fa plus grande diftanee à ce foyer
H , lorfqu’il eft en K ; dans fa plus petite, lôrfqu’il
eft en D. ; & dans fes moyennes diftances, lorfqu’il
oft en F éc en E.
iop. De p lus, cette moyenne diftanee FH & .E H
-eft égale à la moitié du grand axe.
11°. L’aire d’une ellipl'e eft à celle du cercle cir-
confcrit D r n K , comme le petit axe eft au grand
axe. Il en eft de même de routes les parties correfi
pondantes M I K , mi K de ces mêmes aires. Cette
propriété fuit de celle-ci, que chaque demi-ordonnée
M I de l’ellipfe, eft à la demi-ordonnée m I du
cercle dans la raifon du petit axe au grand. Ce fe-
roit le contraire, fi on comparoit un cercle à une el-
lipfe circonfcrite, c’eft-à-dire qui auroit pour petit
axe le diamètre de ce cercle.
11°. Tous les parallélogrammes décrits autour
d,es diamètres conjugués des ellipfes, font égaux en-
tr’eux.Le parallélogramme a fi yS'(fig.i 4.) par exemple
, eft égal au parallélogramme e | « ô. M. Euler a
étendu cette propriété à d’autres courbes. Voye^ le
premier volume de l'hijioire françoife de l'académie de
Berlin 9 1J4S.
130. Si la ligne droite B I paffant par l’un des
foyers, fe meut en telle forte que l’aire qu’elle décrit
foit proportionnelle au tems, le mouvement angulaire
de B H autour .de l’autre foyer, lorfque l’ellipfe
ne différé pas beaucoup du cercle, eft fort approchant
d’être uniforme ou égal. Car dans une el-
lipfe qui différé peu d’un cercle, les fe&eurs quelconques
B I D , F I D , & c . font entr’eux à très-peu
près comme les angles correfpondans B H D . Voye^
Injl. Ajtron. de M. leMonnier, pag.SoG. & fuiv.
Defeription de la parabole. Y L K (fig. iS. ) fect.
coniq.) eft une équerre dont on fait mouvoir la branche
Y L i e long d’une réglé fixe Y I ; P F eft un fil
dont une extrémité eft attachée en -STà cette équerre
, & l’autre en F à un point fixe F. Si pendant le
mouvement de cette équerre on tend continuellement
le fil par le moyen d’un ftylet P , qui fuive toujours
l’équerre, le ftylet décrira la courbe appellée
parabole.
La ligne LJ eft nommée la directrice ; F ie foyer;
le point T qui divife en deux parties égales la perpendiculaire
F I à la dire&rice, eft le fommet de la
parabole. La droite T F , prolongée indéfiniment,
l ’axe.
Toute ligne comme n i parallèle à l’a x e , eft appellée
un diamètre. Les lignes comme HL terminées
à deux points H , l de l’ellipfe, & menées parallèlement
à la tangente au fommet d’un diamètre, font
les ordonnées à ce diamètre. Les parties i q font les
abfciffes. Le quadruple de la diftanee du point i au
point F , eft le paramétré du diamètre i n : d’où il
fuit que le quadruple de F F eft le paramétré de l’axe
, qu’on appelle aulîi le paramétré de la parabole.
Propriétés de la parabole. i°. Les ordonnées à un
diamètre quelconque, font toujours coupées en deux
parties égales par ce diamètre.
2P. Les ordonnées à l’axe lui font perpendiculaires
, & font les feules qui foient perpendiculaires à
leur diamètre ; les autres font d’autant plus obliques,
que le diamètre dont elles font les ordonnées , eft
plus éloigné de l’axe.
30. Le quarré d’une demi-ordonnée quelconque
q l y eft égal au reâangle de l’abfciffe correfpondan-
te i ^, par le paramétré du diamètre i n de ces ordonnées
: c’eft de cette égalité qtt’eft tiré le nom de la
parabole, -»«paCox» , fignifiant égalité ou compataifon*
4°. Le paramétré de la parabole , c’eft-à-dire lé
paramètre de l’axe , eft égal à l’ordonnée à l’axe ,
laquelle palfe par le foyer F , & fe termine de parc
& d’autre à la parabole.
5°. La diftanee F F d’un point quelconque F de la
parabole au foyer F , eft égale à la diftanee F L du
même point à la direârice L I ; cette propriété fuit
évidemment de la defeription de la courbe.
6°. Lorfque l’abfciffe eft égale au paramétré, la
demi-ordonnée eft auflî de la même longueur.
7°. Les quarrés de deux ordonnées au même diamètre
, qui répondent à deux différens points de la
parabole , font entre eux dans la même proportion
que les deux abfciffes de ces ordonnées.
8°. L’angle h i n entre la tangente h t au point
quelconque z, & le diamètre i n au même point, eft
toujours égal à l’angle t iFy que cette tangente fait
avec la ligne i F tiree au foyer. Ainfi, fi Hi l repré-,
fente la lurface d’un miroir expofée aux rayons de-
lumiere de maniéré qu’ils viennent parallèlement à
l’ax e, ils feront tous réfléchis au point F , où ils brûleront
par leur réunion : c’eft ce qui fait qu’on a
nommé ce point le foyer. Voye£ Miroir ardent.
90. La parabole eft une courbe qui s’étend à l’infini
à droite & à gauche de fon axe.
10. La parabole à mefure qu’elle s’éloigne du
fommet, a une direttion plus approchante du paral-
lelifme à l’a x e , & n’y arrive jamais qu’après un
cours infini.
1 1°. Si deux paraboles ont le même axe & le même
fommet , leurs ordonnées à l’axe répondant aux
mêmes abfciffes, feront toujours entr’elles en raifon
fous-doublée de leurs paramétrés, ainfi que les aires
terminées par ces ordonnées.
12°. La valeur d’un efpace. quelconque i q H y renfermé
entre un arc de parabole, le diamètre i q au
point i y & l’ordonnée H q au point //, eft toûjours le
double de l’efpace i h H renfermé entre le même arc
iHy la tangente i h, & le parallèle h ü k i q ; ou ce
qui revient au même, l’efpace i H ^ eft toûjours les
deux tiers du parallélogramme eifeonferit.
139. Si d’un point quelconque H de la parabole, on
mene une tangente H m à cette courbe, la partie i nt
comprife entre le point où cette tangente rencontre
un diamètre quelconque & le point i fommet de ce
diamètre, eft toûjours égale à I’abfciffe i q , qui répond
à l’ordonnée q H de ce diamètre pour le point H.
i 4°- Toutes les paraboles font femblables entre
elles & de la même efpeCe , ainfi que lés cercles.
15°. Si on fait paffer un diamètre par le concours
de deux tangentes quelconques , ce diamètre divife-
ra en deux parties égalés la ligne qui joint les deux
points de contaél: cette propriété eft commune à
toutes 1 es ferlions coniques.
Defeription de Ühyperbole. Là regie I B T (fig. rG. )
eft attachée au point fixe / , autour duquel elle a la
liberté de tourner. A l’extrémité T de cette regie eft
attaché un fil H B T y dont la longueur eft moindre
que l T ; l ’autre bout de ce fil eft attaché à un autre
point fixe H , dont la diftanee au premier I eft plus
grande que la différence qui eft entre le fil & la regie
/ T , & plus petite que la longueur dç cette regie.
Cela pofé, fi pendant que la regie I T tourne
autour du point /, on tend continuellement le fil par
le moyen d’un ftylet qui fuive toûjours cette regie,
ce ftylet décrira la courbe appellée hyperbole;
Les points H & / font appelles les foyers. Le point G
qui divife en deux parties égales l’intervalle IHy eft:
le centre. Le point D qui eft celui où tombe le point
B , lorfque la regie I T tombe fur la-ligne / H y eft le
fommet de l’hyperbole. La droite D K double de
D C y eft l’axe tranfverfe ; la figure S KL égale & fem-
blable à B D T , que l’on décriroit de la même maniéré
fcft attachant la réglé en H , au lieu de l’attacher en
/ , feroit l’hyperbole oppofée à la première.
Le rapport qui eft entre la diftanee des points H
& / , & la différence du fil à la réglé, eft ce qui ca-
raâérife l’efpece de l’hyperbole.
Il y a une autre maniéré de décrire l’hyperbole,
qui rend plus facile la démonftration de la plûpart de
les propriétés. Voici cette méthode.
L L & M M (Jig. i j . ) étant deux droites quelconques
données de pofition qui fe coupent en un
point C y & c D d C un parallélogramme donné , fi
on trace une courbe e D h qui ait cette propriété
qu’en menant de chacun de fes points e les parallèles
e d, & e c à LL & MM, le parallélogramme cedC
foit égal au parallélogramme De Cdt cette courbe
fora une hyperbole.
La courbe égale & femblable à cette courbe que
l’on décriroit de la même maniéré dans l’angle op-
pofé des lignes MM y L L , feroit l’hyperbole oppo-
îée. .
Les deux hyperboles que l’on décriroit avec le
même parallélogramme entre les deux autres angles
qui font les complémens à deux droits des deux premiers,
feroient les deux courbes appellées les hyperboles
conjuguées aux premières. Voye^ C onjugué.
Le point C où les deux droites M M y L L yf e rencontrent,
eft le centre de toutes ces hyperboles.
Toute ligne paffant par le centre, & terminée aux
deux hyperboles oppofées, eft un diamètre de ces
hyperboles.Toutes les droites menées parallèlement
à la tangente au fommet de ce diamètre & terminées
par l’hyperbole, font des ordonnées à ce diamètre; &
les parties correfpondantes du prolongement de ce
diamètre, lefquelles font terminées par le fommet de
ce diamètre & par les ordonnées, font les abfciffes.
Un diamètre quelconque de deux hyperboles oppofées,
a pour diamètre conjugué celui des hyperboles
conjuguées qui a été mené parallèlement aux
ordonnées du premier. •
Le paramétré d’un diamètre quelconque, eft la
troifieme proportionnelle à ce diamètre & à fon
conjugué.
Les lignes L L , M M font appellées les afympto-
tes y tant des hyperboles oppofées que des conjuguées.
Voyeç Asymptote.
Propriétés de l'hyperbole. i°0 Les ordonnées à un
diamètre quelconque font toûjours coupées en deux
parties égales par ce diamètre.
2°. Les ordonnées à l’axe font les feules qui foient
perpendiculaires à leur diamètre; les autres font d’autant
plus obliques, que le diamètre eft plus écarté
de l’axe ; & en comparant deux hyperboles de différentes
efpeces, les diamètres qui lèront à même dif-
tance de l’ax e, auront des ordonnées d’autant plus
obliques, que la différence de l’angle L C M & fon
complément fera plus grande.
30. Le quarré d’une ordonnée à un diamètre quelconque
eft au quarré d’une autre ordonnée quelconque
au même diamètre, comme le produit de l’abf-
ciffe correfpondante à cette première ordonnée par
lafomme de cette abfciffe& du diamètre, eft au produit
de l’abfciffe correfpondante à la fécondé ordonnée
, par la fomme de cette abfciffe & du diamètre.
40. Le paramétré de l’axe tranfverfe eft égal à
l’ordonnée qui paffe par le foyer.
<°. Le quarré d’une demi-ordonnée à tin diamètre
eft plus grand que le reôangle de l’abfciffe correfpondante
par le paramétré de ce diamètre. C ’eft de
cet excès, appellé en grec uVêpCoA», qu’eft venu le
nom de l’hyperbole.
'6°. Si d’un point quelconque B (Jig. / G.) on tire
deux lignes B H , B I aux foyers, leur différence
fera égale au grand axe ; ce qui fuit évidemment de
la première defeription de l'h y p e rb o le *
7°. Si on divife en deux parties égales l’angle
H B I , compris les deux lignes qui vont d’un point
quelconque aux foyers, la ligne de biffe&ion fera
tangente à l’hyperbole en B.
8°. Les lignes droites L L , M M (fig. 17.*) dans
lefquelles font renfermées les deux hyperboles oppofées
& leurs conjuguées, font afymptotes de ces
quatre hyperboles, c’eft-à-dire qu’elles en approchent
continuellement fans jamais les rencontrer,
mais qu’elles peuvent en approcher de plus près que
d’une diftanee donnée, fi petite qu’on la fuppofe.
90. L’ouverture de l’angle que font les afymptotes
des deux hyperboles oppofées , cara&érife l’ef-
pece de cette hyperbole. Lorfque cet angle eft droit,
l’hÿperbole s’appelle: équilatere, à caufe que fon axe
( latus tranfverfum ) & fon paramétré ( laïus rectum )
font égaux entre eux. Cette hyperbole eft à l’égard
des autres, ce que le cercle eft à l’égard des ellipfes.
Si par exemple fur le même ax e, en variant l’axe
conjugué , on conftruitdifférentes hyperboles, les
ordonnées de ces différentes hyperboles qui auront
les mêmes abfciffes , feront à l’ordonnée correfpondante
de l’hyperbole équilatere, comme l’axe conr
jugué eft à l’axe tranfverfe.
io ° . Si par le fommet d’un diamètre quelconque
on tire une tangente à l’hyperbole, l’intervalle retranché
fur cette tangente par les afymptotes, eft
toûjours égal au diamètre conjugué.
i i °. Si par un point quelconque m de l’hyperbole
(fig. 29.) on tire à volonté des lignes KmH, rm R
qui rencontrent les deux afymptotes, on aura M R
m r, H E = mK : ce qui fournit une maniéré bien
fimple de décrire une hyperbole, dont les afymptotes
CQ , C T foient données, & qui paffe par un point
donné m : car menant par m une ligne quelconque
KmHy Sr prenant H E —mK , le point E fera à
l’hyperbole. On trouvera de même un autre point
M de Fhypèrbole, en menant une autre ligne rm R f
& prenant MR = m r; & ainfi des autres.
12°. Si fur l ’une des afymptotes O M (fig. /y.)
l’on prend les parties C I > C I I , C I I I , CI V y C V ,
&c. qui foient en progreflion géométrique, & qu’on
mene par les points C I , C i l , C / / / , C I V y les
parallèles I i , II I I I 3 , I V 4 , V 5 , & c . à l’autre
afymptote, les efpaces / 2 , 11 3 , III 4 , I V 5 ,
V 6, & c. feront tous égaux. D ’où il fuit que fi l’on
prend les parties C I , C i l , C I I I , &c. fùivant
l’ordre des nombres naturels ; les efpaces ƒ 2 , I I 3 ,
I I I 4 , & c . repréfenteront les logarithmes de ces
nombres.
De toutes les propriétés des fictions coniques on
peut conclure : i°. que ces courbes font toutes en-
femble un fyftème de figures régulières, tellement
liées les unes aux autres, que chacune peut dans le
paffage à l’infini, changer d’efpece & devenir fue-
ceflivement de toutes les autres. Le cercle, par
exemple, en changeant infiniment peu.le plan coupant,
devient une ellipfe ; & l’ellipfe en reculant fon
centre à l’infini, devient une parabole, dont la pofition
étant enfüite un peu changée, elle devient la
première hyperbole : toutes ces hyperboles vont en-
fuite en s’élevant, jufqu’à fe confondre avec la ligne
droite, qui eft le côté du*cone.
On v o i t , 20. que dans le cercle le paramétré eft
double de la diftanee du fommet au foyer ou centre
; dans l’ellipfe , le paramétré de tout diamètre
eft à l’égard de cette diftanee dans une raifon qui
eft entre la double & la quadruple ; dans la parabole
cette raifon eft précifément le quadruple , & dans
l’hyperbole la raifon paffe le quadruple.
3°. Que tous les diamètres des cercles & des ellipfes
fe coupent au centre & en-dedans de la courbe
; que ceux de la parabole font tous parallèles entr’eux
& à l’axe ; que ceux de l’hyperbole fe coupent