La ligne des parties égales, que l’on appelle aufli
liane des lignes, marquée L , eft une ligne divifée en
ioo parties égales ;• & quand la longueur de la jambe
le permet, chaque partie eft fubdivifée en moitiés
& quarts. Cette ligne fe trouve fur chaque jambe
du compas , & du meme cote , avec les divifions
marquées i , 2 , 3 > 4 , &c. K q u’à 10 , qui eft vers
l ’extrémité de chaque jambe. Remarquez que dans
la pratique, 1 eft pris pour 10, ou 100, ou 1000,
ou 10000, &"c. fuivant le befoin; en ce cas, 2 repre-
jfente 20, ou 100, ou 2000, &c. & ainli du refte. La
ligne des cordes marquée C fur chaque jambe eft divifée
fuivant la maniéré ordinaire, & numérotée 10,
a o , 30, &c. jufqu’à 60. Voye{ C orde. La ligne des
finus marquée fur chaque jambe par la lettre S , eft
une ligne des linus naturels, numérotée 10, 20,30 ,
&c. jufqu’à 90. Voye{ Sinus.
La ligne des tangentes, marquée fur chaque jambe
par la lettre T , eft une ligne des tangentes naturelles
numérotée 10, 20, 30, &c. jufqu’à 45. Outre cela,
il y a une autre petite ligne des tangentes fur chaque
jambe, qui commence à 48° & s’étend jufqu’à
750 ; elle.eft marquée par la lettre t. J'byeçT angent
e . La ligne des lécantes marquée fur chaque jambe
par la lettre S , eft une ligne des fécantes naturelles
numérotée 1©, 20, 30, &c. jufqu’à 75 ; cette ligne
ne part pas du centre de l’inftrument ; fon commencement
en eft diftant de deux pouces. Voye^ Séc an t
e . La ligne des polygones marquée par la lettre P
fur chaque jambe, eft numérotée 4 , 5 , 6 , &c. jufqu’à
.12; elle commence à trois pouces du centre de
rinftrument. Voye^ Po l yg o n e .
Outre ces lignes, qui font effentielles au compas de
proportion9 il y en a d’autres proche de fes bords extérieurs
fur l’une & l’autre face, & parallèles à ces
bords ; elles fervent aulïi à des ufages particuliers,
dont nous parlerons.
Les lignes que l’on trouve par le moyen du compas
de proportion font de deux efpeces ; elles font latérales
ou parallèles. Les premières font celles que l’on
trouve fur la longueur des côtés de cet inftrument,
comme A B , A C , (,fig. 6a.);.-& les dernieres, celles
qui traverfent d’une jambe à l’autre, comme D E ,
C B . Remarquez que l’ordre ou l’arrangement des
lignés fur les compas de proportion les plus modernes,
eft différent de celui qui eft obfervé fur les anciens ;
car la même ligne n’eft pas mife aujourd’hui à la même
diftance du bord de chaque côté; mais la ligne
des cordes, par exemple, eft la plus intérieure d’un
côté, & la ligne des tangentes fur l’autre. L’avantage
en eft que quand rinftrument eft mis à un rayon
pour les cordes, il fert aulïi pour les fxnus & les tangentes,
fans que l’on foit obligé d’en changer l’ouverture;
car la parallèle entre les nombres 60 & 60
des cordes, celle qui eft entre les nombres 90 Sc 90
des finus, & celle qui eft entre les nombres 45 & 45
des tangentes, font toutes égales. Chambtrs.
La description que l’on vient de donner de cet inftrument
, eft conforme à la conftruâiouangloife. Les
compas de proportion qui compofent ce que l’on appelle
en France un étui de mathématiques, conliftent aulïi
en deux réglés affemblées, comme ci-deffus, dont
chacune à pour l’ordinaire 6 pouces de long, 6 à 7
lignes de large, & environ 2 lignes d’épaiffeur. On
en fait de plus petits, pour avoir la commodité de
les porter dans la poche, & de plus grands pour travailler
fur le terrein, dont on proportionne la largeur
& l’épaiffeur. On a coutume d’y tracer 6 fortes de
lignes ; favoir la ligne des parties égales, celle des
plans & celle des polygones d’un côté;, la ligne des
cordes, celle des folioles & celle des métaux de l’autre
côté des jambes de cet inftrument.
On met encore ordinairement fur le bord d’un côté
une ligne divifée, qui fert à connoître.le calibre des
canons, & de l’autre côté une ligne qui fert à côn-
noître le diamètre & le poids des boulets de fer, depuis
un quart jufqu’à 64 livres.
Ufage de la ligne des parties égales du compas de proportion.
Pour divifer une ligne donnée en un nombre
quelconque des parties égales, par exemple, en fept ;
prenez la ligne donnée avec votre compas ; mettez
une de fes pointes fur une divifion de la ligne des parties
égales, enforte que cette longueur puiffe être
exaûement divifée par 7 ; mettez-la, par exemple ,
fur 70 , dont la feptieme partie eft 10; ouvrez la fec-
tion ou plutôt le compas de proportion, jufqu’à ce que
l’autre pointe tombe exaûement fur le nombre 70 de
la même ligne des parties égales tracée fur l’autre
jambe : dans cettedifpofition, fi l’on met une pointe
du compas au nombre 10 de la même ligne, & qu’on
lui donne une ouverture telle que fon autre pointe
tombe au nombre iod e la même ligne tracée fur l’autre
jambe, cette ouverture fera la feptieme partie dé
la ligne donnée. Remarquez que fi la ligne à divifer
eft trop longue pour être appliquée aux jambes dij
compas de proportion, on en divifera feulement unê
moitié ou une quatrième partie par 7 , & le double
ou le quadruple de cette ligne fera la feptieme partie
de la ligne totale.
2°. Pour mefurer les lignes du périmètre d’un polygone
, dont un des côtés contient un nombre donné
de parties égales ; prenez la ligne donnée avec votre
compas, & mettez-la fur la ligne des parties égalés,
au nombre de parties fur chaque côté qui exprime
fa longueur ; le compas de proportion reftaht dans cet
état, mettez la longueur de chacune des autres lignes
parallèlement à la première, & les nombres où chacune
d’elles tombera exprimeront la longueur de ces
lignes.
30. Une ligne droite étant donnée & le nombre
des parties qu’elle contient, par exemple 120, pour,
en retrancher une plus petite qui contienne un nombre
quelconque des mêmes parties égales, par exemple
25 , prenez la ligne donnée avec le compas ordinaire
; ouvrez le compas de proportion jufqu’à ce que
les deux pointes tombent fur 120 de chaque côté ;
alors la diftance de 25 à 25 donnera la ligne demandée.
-40. Pour trouver une troifieme proportionnelle à,
deux lignes données ou une quatrième à trois, dans
le premier cas prenez avec votre compas lalongueur
de la première ligne donnée , & mettez-la fur la ligne
des parties égales depuis le centre jufqu’au nombre
où elle fe termine ; alors ouvrez le compas de proportion,
jufqu’à ce que la longueur de la fécondé ligne
foit renfermée dans l’ouverture comprife entre
les extrémités de la première. Le compas de proportion
reftaht ainli ouvert, mettez la longueur de 1%
fécondé ligne fur l’une des jambes de l’inftrument *
en commençant au centre, & remarquez où elle fe
termine ; la diftance qui eft comprife entre ce nombre
& le même qui lui répond fur l’autre jambe, donne
la troifieme proportionnelle : dans le fécond cas ,
prenez la fécondé ligné avec votre compas, & ouvrant
le compas de proportion, appliquez cette éten-;
due aux extrémités de la première, que l’on a portée
fur les deux jambes de l’inftrument depuis le centre.
Le compas de proportion reliant ainli ouvert, portez
la troifieme ligne comme ci-deffus depuis le centre,
alors l’étendue, qui eft entre le nombre où elle
fe termine fur les deux jambes, eft la quatrième proportionnelle.
50. Pour divifer une ligne eh une raifon donnée
quelconque, par exemple en deux parties qui foient
l’une à l’autre comme 40 eft à 70, ajoutez enfemblé
les deux nombres donnés, leur fomme eft 110; alors
prenez avec votre compas la ligne propofée que l’on
fuppofe 165, ôc ouvrez l’inftruinent jufqu’à ce que
cette.
cette diftance s’étende de 110 à 110 fur lés déùk jambes
; le fefteur demeurant ainfi ouvert, prenez la diftance
de 40 à 40, comme aufli celle de 70 à 70 ; la
première donnera 60 , & la derniere 105 , qui feront
les parties que l’on propofoit dé trouver ; car
40 .70 : : 60. io<.
<$°. Pour ouvrir le compas de proportion de forte
que les deux lignes des parties égales faffentun angle
droit, trouvez trois nombres comme 3, 4 , & 5 , ou
leurs équimultiples, 6 0 ,8 0 , 100, qui puiffent exprimer
les côtés d’un triangle re&angle ; prenez alors
avec votre compas la diftance du centre à 100 $ &
ouvrez l’inftrument jufqu’à ce qu’une des pointes de
votre compas étant mife fur 80, l’autre pointe tombe
fur le point 60 de l’autre jambe, alors les deuxlignes
des parties égales renferment un angle droit.
70. Pour trouver une ligne droite égale à la circonférence
d’un cercle ; comme le diamètre d’un cercle
eft à fa circonférence à-peu-près comme 50eft à 15 7 ,
prenez le diamettre avec votre compas, & mettez ce
diamètre fur les jambes de l’inftrument de 50 à 50;
èn le laiffant ainfi ouvert, prenez avec le compas la
diftance de 157 à 157 > elle fera la circonférence
demandée.
Ufage de là ligne des cordes dît compas de proportion.
i° . Pour ouvrir cet inftrument enforte que les deux
lignes des cordes faffent un angle d’un nombre quelconque
de degrés, par exemple 40 ; prenez fur la ligne
des cordes la diftance depuis la charnière jufqu’à
40, nombre des degrés propofés ; ouvrez rinftrument
jufqu’à ce que la diftance de 60 à 60 fur chaque jambe
foit égale à la diftance fufdite de 40 ; alors la ligne
des cordes fait l’angle requis.
' 20. L’inftrument étant ouvert, pour trouver les
degrés de fon ouverture , prenez l’étendue de 60 à
60 ; mettez-la fur la ligne des cordes en commençant
au centre , le nombre où elle fe terminera fera voir
les degrés de fon ouverture. En mettant des vifieres
ou des pinnüles fur la ligne des cordes , le compas
de proportion peut fervir à prendre des angles fur le
terrein , de même que l’équerre d’arpenteur,' le demi
cercle ou le graphometre.
30. Pour faire un angle d’un nombre donné de degrés
quelconque fur une ligne donnée, décrivez fur
la ligne donnée un arc de cercle, dont le centre eft
le point où doit être le fommet de l’angle ; mettez le
rayon de 60 à 60 ; & l’inftrument reftant dans cette
fituation , prenez fur chaque jambe la diftance des
deux nombres qui expriment les degrés propofés, &
portezda de la ligne donnée fur l’arc qui a été décrit
; enfin tirant une ligne du centre par l’extrémité
de l’arc , cette ligne fera l’angle propofé.
40. Pour trouver les degrés que contient un angle
donné , autour du fommet décrivez un arc, & ouvrez
le compas de proportion jufqu’à ce que la diftance
de 60 à 60 fur chaque- jambe foit .égale au rayon
du cercle ; prenant alors avec le compas ordinaire la
corde de l’arc, & la portant fur les jambes de cet inftrument,
voyez à quel même nombre de degrés fur
chaque jambe tombent les pointes du compas ; ce
nombre eft la quantité de degrés que contient l’angle
donné.
t °. Pour retrancher un arc d’une grandeur quelconque
de la circonférence d’un cercle , ouvrez l’inf-
trument jufqu’à ce que la diftance de 60 à 60 foit
égale au rayon du cercle donné : prenez alors l’étendue
de la corde du nombre de degrés donné fur
chaque jambe de l’inftrument, & mettez-la fur la circonférence
du cercle donné. Par ce moyen on peut
inferire dans un cercle donné un polygone régulier
quelconque , aufli-bicn que par la ligne des polygones.
Ufage de la ligne des polygones du compas de proportion.
i ° . Pour inferire un polygone régulier dans un
Tome I I I .
cerclé donne ; prenez avec le compas ordinaire lé
fayon du cercle donné, & ajuftez-le au nombre 6dë
de la ligne des polygones fur chaque jambe de l’inf-
trument ; eh le laiffant airifi ouvert, prenez la diftance
des deux mêmes nombres qui expriment le nombre
des côtés qué doit avoir le polygone ; pâr exemple
, la diftance de $ à 5 pour un pentagone , de 7 à
7 pour un eptagoné , &c. ces diftarices portées autour
de la circonférence du cercle, là diviféront en
un pareil nombre de parties égales.
20. Pour décrire un polygone régulier, par exem-*
pie un pentagone , fur uhe ligne droite donnée, aveé
le compas ordinaire , prenez la longueur de la ligne *
appliquez-la à l’étendue dés nombres 5 , 5 fur les lignes
des polygones ; l’inftrument demeurant ainfi Ouvert
, prenez fur les mêmes lignes l’étendtie de 6 à
6 , cette diftance fera le rayon du cercle dans lequel
le polygone propofé doit être inferit ; alors fi des extrémités
de la ligne donnée l’on décrit avec cé rayon
deux arcs de cercle, leur interfeétion fera le centré
du cercle cherché.
3°; Pour décrire fur une ligne droite Un trianglé
ifocele, dont les angles fur la bafe foient doublet
chacun de l ’angle au fommet, ouvrez l’inftrument
jufqu’à ce que les extrémités de la ligne donnée tombent
fur les points io & 10 de chaque jambe ; prenez
alors la diftance de 6 à 6 , elle fera la lôngueur
de chacun des deux côtés égaux du triangle cherché.
Ufage de la ligne des plans du compas de proportion.
On voudroit conftruire un triangle A B Cfemblablé
au triangle donné a b c , ôc triple eh furface ( Plane*
dyArpentage , fig. t j .) ; il n’y a qu’à prendre avec un
Compas commun là longueur du côté a b , la porter
fur la ligne des plans à l’ouverture du premier plan :
le compas de proportion reftant ainfi Ouvert, on prendra
avec le compas commun l’ouverture dutroifiemê
plan, & l’on aura la longueur du côté homologue au
côté a b: on trouvera de la même maniéré les côtés
homologues aux deux autres côtés du triangle propofé
, & de ces trois côtés l’on eh formera le triangle
A B C , qui fera femblable au triangle donné a b c9
& triple en lurface.
Si le plan propofé a plus de trois côtés , on le réduira
en triangles par une ou plufieurs diagonales :
fi c’eft un cercle qu’il s’agiffe de diminuer ou d’au g-*
menter, on fera fur fon diamètre l ’opération qué
nous venons de décrire.
Etant données deux figures planes femblables
(.fié- ' 4-)>trouver quel rapport elles ont entr’elles*
Prenez lequel vous voudrez des côtés de l’une dé
ces figures , & le portez à l’ouverture de quelque
plan ; prenez enfuite le côté homologue de l’autre
figure, & voyez à l’ouverture de quel plan il convient
; les deux nombres auxquels conviennent les
deux côtés homologues, expriment la raifon que les
plans propofés ont eritr’eux : fi le côté a b , par exemple
, de la plus petite convient au quatrième plan ,
& que le côté homologue A B de l’autre convienne
au fixieme plan, les deux plans propofés feront en-
tr’eux comme 4 eft à 6 , ou comme 2 eft à 3. Mais fî
le côté d’une figure ayant été mis à l’ouverture d’un
plan, le côté homologue ne peut s’ajulter à l’ouverture
d’aucun nombre entier, il faudra mettre ledit
côté de la première figure à l’ouverture de quelque
autre plan , jufqu’à ce qu’on trouve un nombre en-*
ti'er, dont l’ouverture convienne à la longueur du
côté homologue de l’autre figure , afin d’éviter les
firaftions.
Si les figures propofées font fi grandes qu’aucun
de leurs côtés ne fe puiffe appliquer à l’ouverture
des jambes du compas do proportion, prenez les moitiés
, les tiers ou les quarts, &c. de chacun des deux
côtés homologues defdites figures, & les comparant
enfemble yous aurez la proportion des plans.