Entre deux lignes droites données trouver une
moyenne proportionnelle. Portez chacune des deux
lignes données fur la ligne des parties égales du compas
de proportion, afin de fa voir le nombre que chacune
en contient ; &fuppofé ,par exemple,que la moindre
ligne l'oit de 20 parties égales , & la plus grande
de 45 j portez cette plus grande à l’ouverture du qua-
rante-cinquieme plan, qui dénote le nombre de fes
parties : le compas de proportion reliant ainfi ouvert,
prenez l’ouverture du vingtième plan, qui marque
le nombre des parties égales de la plus petite ligne ;
cette ouverture qui doit contenir trente des mêmes
parties, donnera la moyenne proportionnelle ; car
ao font à 30 comme 30 fontà 45.
Mais comme le plus grand nombre de la ligne des
plans ell 64, fi quelqu’une des lignes propofées con-
tenoit un plus grand nombre de parties égales, on
pourrait faire ladite opération fur Içurs moitiés, tiers
ou quarts, &c. en cette forte : fuppofant, par exemple
, que la moindre des lignes propofées foit de 31
& l’autre de 72 ; portez la moitié de la grande ligne
à l’ouverture du trente-fixieme plan , & prenez l’ouverture
du feizieme ; cette ouverture étant doublée
donnera la moyenne proportionnelle que l’on cherche
. Ufage de la ligne des folides du compas de proportion.
Augmenter ou diminuer des folides fémbiablés quelconques
félon une raifon donnée.
Soit propofé, par exemple, un cube duquel on en
demande un qui foit double en folidité : portez le
côté du cube donné fur la ligne des folides à l’ouverture
de tel nombre que vous voudrez, comme, par
exemple , de 20 à 20 ; prenez enfuite l’ouverture
d’un nombre double, comme eft en cet exemple le
nombre 40 ; cette ouverture eft le côté d’un cube
double du propofé.
Si l’on propofé un globe ou fphere , & qu’on
veuille en faire une autre qui foit trois fois plus grof-
f e , portez le diamètre de la fphere propofée à l’ouverture
de tel nombre qui vous plaira , comme par
exemple de 20 à 20 , & prenez l’ouverture de 60 ,
ce fera le diamètre d’une autre fphere triple en folidité.
' ' t V
Si les lignes font trop grandes pour être appliquées
à l’ouverture du compas de proportion , prenez-en la
moitié , le tiers ou le quart ; ce qui en proviendra
après l’opération, fera moitié, tiers ou quart des di-
menfions que l’on demande.
Etant donnés deux corps fémbiablés, trouver quel
rapport ils ont entr’eux. Prenez lequel vous voudrez
des côtés de l’un des corps propofés ; & l’ayant
porté à l’ouverture de quelque folide, prenez le côté
homologue de l’autre corps, & voyez à quel nombre
des folides il convient ; les nombres auxquels
ces deux côtés homologues conviennent, indiquent
le rapport des deux corps fémbiablés propofés.
Si le premier ayant été mis à l’ouverture de quelque
folide, le côté homologue du fécond ne peut
s’accommoder à l’ouverture d’aucun nombre ; portez
le côté du premier corps à l’ouverture de quelqu’au-
tre folide , jufqu’à ce que le côté homologue du fécond
corps s’accommode à l’ouverture de quelque
nombre desfolides.
Ufage de la ligne des métaux. Etant donné , le diamètre
d’up globe ou boulet de quelqu’un des lix métaux
, trouver le diamètre d’un autre globe de même
poids, & duquel on voudra defdits métaux.
Prenez'le diamètre donné & le portez à l’ouverture
des deux points marqués du caraâere qui dénote
le métal du boulet ; & le compas de proportion
demeurant ainfi ouvert, prenez l’ouverture des
points cotés du caraâere qui fignifie le métal dont
on veut faire le boulet : cette ouverture fera fon diamètre.
Si au lieu de globes on propofé des corps fembla-
bles ayant plufieurs faces , faites la même opération
que ci-deflus pour trouver chacun des côtés homologues
, les uns après les autres, afin d’avoir.les longueurs
, largeurs, & épaifteurs des corps qu’on veut
conftruire.
Ufages des lignes des finus , des tangentes , des fécan-
tes, lorfqiïily en a de tracées fur le compas de proportion.
Par plufieurs lignes qui font placées fur cet infiniment
, nous avons des échelles pour difFérens
rayons ; enforte qu’ayant une longueur ou un rayon
donné, qui n’excede pas la plus grande étendue de
l’ouverture de l’inftrument, on en trouve les cordes
, les finus, &c. Par exemple, fuppofons que l’on
demande la corde , le finus , ou la tangente de dix
degrés pour un rayon de trois pouces ; donnez trois
pouces à l’ouverture de l’inftrument entre 60 & 60
iur. les lignes des cordes des deux jambes , alors la
même longueur s’étendra de 45 à 45 fur la ligne des
tangentes, & de 90 à 90 fur la ligne des finus de l’autre
côté de l’infirument ; enforte que la ligne des
cordes étant mifeà un rayon quelconque, toutes les
autres fe trouvent mifes au meme rayon. C ’eft pourquoi
fi dans cette difpofition on prend avec le compas
ordinaire l’ouverture entre 10 & 10 fur les lignes
des cordes, cela donnera la corde de dix degrés
; en prenant de la même maniéré l’ouverture de
10 en 10 fur les lignes des finus, on aura le finus de
dix degrés ; enfin fi l’on prend encore de la même
maniéré l’ouverture de 10 en 10 fur les lignes des
tangentes, cette diftance donnera la tangente de dix
degrés.
. Si l’on veut la corde ou la tangente de 70 degrés,
pour la corde on peut prendre l’ouverture de la moitié
de ce* arc , c’eft-à-dire 3 5 ; cette diftance prife
deux fois donne la corde de 70**. Pour trouver la
tangente de 70d pour le même rayon , on doit faire
ufage de la petite ligne des tangentes , l’autre s’étendant
feulement jufqu’à 45d : c’eft pourquoi donnant
trois pouces à l’ouverture entre 45 & 45 fur cette
petite 'ligne, la diftance en 70 & 70 degrés fur la
même ligne , fera la tangente de 70 degrés pour un
rayon de trois pouces.
Pour trouver la fécante d’un arc , faites que le
rayon donné foit l’ouverture de l’inftrument entre
o & o fur la ligne des fécantes ; alors l’ouverture de
10 en 10, ou de 70 entre 70 fur lefdites lignes, donnera
la tangente de 10 ou de 70 degrés.
Si l’on demande laçonverfe de quelqu’un des cas
précédens, c’efl-à-dire fi l’on demande le rayon dont
une ligne donnée eft le finus , la tangente ou la fé-
1 cante ,il n’y a qu’à faire que la ligne donnée, fi c’eft
! une corde , foit l’ouverture de la ligne des cordes
■ entre 10 & 10 , alors l’inftrument lera ouvert au
! rayon requis ; c’eft-à-dire que le rayon demandé eft
j l’ouverture entre 60 & 60 fur ladite ligne. Si la ligne
donnée eft un finus, une tangente , ou une fécante,
11 n’y a qu’à faire qu’elle foit l’ouverture dit nombre
donné de degrés ; alors la diftance de 90 à 90 fur les
finus, de 45 à 45 fur les tangentes , de o à o fur les
fécantes , donnera le rayon.
Ufage du compas de proportion en Trigonométrie.
i°. La bafe & la perpendiculaire d’un triangle rectangle
étant données^trouver l’hypothénufe. Suppo-
fons la bafe A C (PI. Trigonom. fig. 2. ) = 40 milles ,
& la perpendiculaire^ B = 30 ; ouvrez l’inftrument
jufqu’à ce que les deux lignes des lignes, c’eft-à-dire
les deux lignes des parties égales , fa fient un angle
droit ; puis pour la bafe prenez 40 parties de la
ligne des parties égales fur une jambe , & pour la
perpendiculaire 30 parties de la même ligne fur l’autre
jambe ; alors la diftance du nombre 40 fur l’unç
des jambes , au nombre 30 fur l’autre jambe, étant
prife avec le compas ordinaire, fera la longueur de
ï ’hypothénufe, cette ligne fe trouvera = 50 milles.
29. Etant donnée la perpendiculaire A B d’un
triangle reftangle A B Cfid- 30, & l’angle B C A —
37d ; pour trouver l’hypothénufe B C , prenez lé
côté A B donné, & mettez - le de chaque côté fur le
finus de l’angle donné A C B; alors la diftance parallèle
du rayon, ou la diftance de 90à 90, fera l’h y pothénufe
B C , laquelle mefurera 50 mr la ligne des
finus.
30. L ’hypothénufe & la bafe étant données, trouver
la perpendiculaire. Ouvrez l’inftrument jufqu’à
ce que les deux lignes des lignes foient à angles
droits ; alors mettez la bafe donnée fur l ’une de ces
lignes depuis le centre ; prenez l’hypothénufe avec
votre compas, & mettant l’une de lès pointes à l’extrémité
de la bafe donnée, faites que l’autre pointe
tombe fur la ligne des lignes de l’autre jambe ; la difi
tance depuis le centre jufqu’au point oà le compas
tombe, fera la longueur de la perpendiculaire.
40. L’hypothénufe étant donnée, & l’angle A C
B , trouver la perpendiculaire. Faites que l’hypothé-
nufe donnée foit un rayon parallèle, c’eft-à-dire éten-
dez-la de 90 à 90 fur les lignes des lignes ; alors le
finus parallèle de l’angle A C B j fera la longueur d u :
côté A B.
50. La bafe & la perpendiculaire A B étant don>- '
nées , trouver l’angle B C A . Mettez la bafe A C
fur les deux côtés de l ’inftrument depuis le centre,
& remarquez fon étendue ; alors prenez la perpendiculaire
donnée, ouvrez l’inftrument à l’étendue
de cette perpendiculaire placée aux extrémités de la
baie ; le rayon parallèle fera la tangente de l’angle
B C A.
6°. En tout triangle rettiligne , deux côtés étant
donnés avec l’angle compris entre ces côtés , trouver
le troifieme côté. Suppofez le côté A C = 20,
le. côté B C = 30 , & l’angle compris A CBsx-i 10
degrés ; ouvrez l’inftrument jufqu’à ce que les deux
lignes des lignes faflent un angle égal à l’angle donné
, c’eft-à-dire un angle de 110 degrés ; mettez les
côtés donnés du triangle depuis le centre de l’infini-'
ment fur chaque ligne des lignes ; l’étendue entre
leurs extrémités eft la longueur du côté A B cherché.
70. Les angles C A B de A C B étant donnés avec
le côté C B , trouver la bafe A B . Prenez le côté C B
donné , & regardez-le comme le finus parallèle de
fon angle oppofé C A B; de le finus parallèle de l’angle
A C B fera la longueur de la bafe A B.
8°. Les trois angles d’un triangle étant donnés ,
trouver la proportion de fes côtés. Prenez les finus
latéraux de ces difFérens angles, & méfurez-les fur
la ligne des lignes ; les nombres qui y répondront
donneront la proportion des côtés.
90. Les trois côtés étant donnés , trouver l’angle
A CB . Mettez lès côtés A C , C B , le long de la ligne
des lignes depuis le centre, & placez le côté A
B k leurs extrémités ; l’ouverture de ces lignes fait
que l ’inftrument eft ouvert de la grandeur de l’angle
A C B .
io°: L’hypothénufe A C ( fig. 3* ) d’un triangle
re&angle fphérique A B C donné, par exemple, de
43d, & l’angle C A B de 20d, trouver le côté C B .
La réglé eft de faire cette proportion : comme le
rayon eft au finus de l’hypothénufe donnée = 43 d 4
ainfi le finus de l’angle donné = zod, eft au finus de
la perpendiculaire C B. Prenez alors zod avec votre
cbmphs fur la ligne des finus depuis le centre, &
mettez cette étendue de 90 à 90 fur les deux jambes
de l’inftrument ; le finus parallèle de 43d qui eft
l ’hypothénufe donnée, étant mefuré depuis le centre
fur la ligne des finus, donnera i3d 30' pour le côté *
cherché.
11°. La perpendiculaire B C & l’hypothénufe A
Tome I II,
C étant données , pour trouver la bafe A B faites
cette proportion : comme le finus du complément de
la perpendiculaire B C eft au rayon , ainfi le finus
du co mplément de l’hypothénufe eft au finus du complément
de la bafe C ’eft pourquoi faites que le
rayon foit au finus parallèle de la perpendiculaire
donnée j par exemple, de 7Ôd 30' ; alors le finus parallèle
du complément de l’hypothénule, par exemple
, de 47d, étant mefuré fur la ligne des finus, fera
trouvé de 49d 25% qui eft le complément de la bafe
cherchée ; de par conféquent la bafe elle-même fera
de 4od 35'!
Ufages particuliers du compas de proportion en Géométrie
, &c. i° . Pour faire lin polygone régulier dont
l’aire doit être d’une grandeur donnée quelconque,
fuppofons que la figure cherchée foit un pentagone
dont l’aire = 1 2 5 piés ; tirez la racine quarrée de -f de
125 que l’on trouvera s 5 : faites un quarré dont le'
côté ait 5 piés, & par la ligne des polygones , ainfi
qu’on l’a déjà preferit, faites le triangle ifocele C G D
( Pl- géomet.fig. 14. n. 2. ) , tel que G G étant le de-
mi-diametre d’un cercle, CD puiffe être le côté d’un
pentagone régulier inferit à ce cercle , de abaiffez la
perpendiculaire G E ; alors continuant les lignes E
G , E C ; faites E .F égalau côté du quarré que vous
avez conftruit, & du point F tirez la ligne droite F
H parallèle à G C \ alors une moyenne proportionnelle
entre G E <k.E F , fera égale à la moitié du côté
du polygone cherché ; en le doublant on aura donc
le côte entier. Le côté du pentagone étant ainfi déterminé,
on pourra décrire le pentagone lui-même,
ainfi qu’on l’a preferit ci-deflus.
2°. Un cercle étant donné, trouver un quarré qui
lui foit égal. Divifez le diamètre en 14 parties égales
, en vous fervant de la ligne des lignes , comme
on l’a dit; alors 12. 4 de ces parties trouvées par la
même ligne feront le côté du quarré cherché;
3°. Un quarré étant donné , pour trouver le diamètre
d’un cercle égal à ce quarré , divifez le côté
du quarré en 11 parties égales par le moyen de la
ligne des lignes, & continuez ce côté jufqu’à 12. 4
parties ; ce fera le diamètre du cercle cherché. -
40. Pour trouver le côté d’un quarré égal à une
ellipfe dont les diamètres tranfverfes de conjugués
font donnés, trouvez une moyenne proportionnelle
entre le diamètre tranfverfe & le diamètre conjugué
, divifez-la en 14 parties égales; 12 f^de ces
parties feront le côté du quarré cherché.
50. Pour décrire Une ellipfe dont les diamètres
ayent un rapport quelconque, ôt qui foit égale en
furface à un quarré donné , fuppofons que le rapport
requis du diamètre tranfverfe au diamètre conjugué
, foit égal au rapport de 2 à 1 ; divifez le côté
du quarré donné en 11 parties égales ; alors comme
2 eft 1 , ainfi 1 1 x 1 4 = 1 5 4 eft à-un quatrième nombre
, dont le quarré eft le diamètre conjugué cherché
: puis comme 1 eft à 2 , ainfi le diamètre conju--
gué eft au diamètre tranfverfe. Préfentement,
6°. Pour décrire une ellipfe dont les diamètres
tranfverfe & conjugué font donnés , fuppofons que
A B de E D ( Planche des coniq. fig. 2/. ) foient les
diamètres donnés : prenez A C avec votre compas ,
donnez à l’inftrument une ouverture égale à cette
ligne, c’eft-à-dire ouvrez l’inftrument jufqu’à ce que
la diftance de 90 à 90 fur les lignes des finus , foit
égale à la ligne A C : alors la ligne A C peut être di-
vifée en ligne des finus, en prenant avec le compas
les étendues parallèles du finus de chaque degré fur
les jambes de l’inftrument, & les mettant depuis le
centre C. La ligne ainfi divifée en finus ( dans la figure
on peut fe contenter de la divifer de dix en dix ) , .
de chacun de ces finus élevez des perpendiculaires
des deux côtés, alors trouvez de la manière fuivan-
te des points par lefquels l’ellipfe doit paflèr ; prenez
C C c c c ij
i