parce qu’elle eft toujours la même dans chaque
p ro fil, & que d’ailleurs elle n’eft plus gueres d’u-
tage , nous nommerons l’épaiffeur A C ou B D , a •
la hauteur C D , c ; la ligne de talus D E , d; la
longueur G B des contre-forts , h ; la diftance K E
du centre de gravité des contre-forts au point d’ap-
p in , « ; & le rapport de l’efpace qu’occupe chaque
contre-fort a l ’intervalle où ils font du milieu de
1 un au milieu de l’autre , fera exprimé par —<—,
C e la p o fé ,xfi l’on multiplie ch par — l’on
aura pour la valeur des contre - forts réduite ,
laquelle'étant m ultipliée par le bras de levier E K ,
( æ) , il viendra n. • multipliant de même le
poids K , ^ par fon bras de levier M E ,
& le poids Q , (<zc ) par le fien L E , ajoutant ces
trois produits enfemble, on aura Pctin~L a acd+aac
? 2 , cdd
* r ~ 9 pour la valeur des poids P , Q , R , réunis
au point L , & multipliée par le bras de levier LE, (fe-
*on p c * 1' 2,2r) eê ale au produit du bras de levier A B ,
ou E S , par la puiffance que l’on cherche, laquelle
étant nommée * > donne, en effaçant c, 4 -
| *
2 tl d H- a a , d d
p - = * > qui eft une équation générale
qui conviendra à tel profil de revêtement que
1 on voudra , puifqu’il ne faudra avoir égard qu’à
la valeur des lettres.
Voulant appliquer cette équation à un revêtement
de 20 pieds de hauteur, on aura recours à
la table de M . de V a u b an , pour vo ir les me-
fures qui lui appartiennent, & l’on trouvera que
4>a 7 7 5 n — ii pieds 9 pouces 6 lig.
Gommé lépaiffeur des contre-forts eft les deux
tiers clé celle de la ra c in e , & que par conféquent
ces contre-forts ont leurs bafes trapézoides, remarquez
que prenant le profil G C , pour celui
fur lequel nous opérons préfentement, la ligne
( félon l’art. 10 ) , doit être divifée en trois
parues égales , & celle du milieu H I , coupée de
te lle façon au point K , pour avoir le centre de
gravite ; que K l foit à KH dans la raifon de l’é-
paifleur de la queue à celle de la ra c in e, j ’entends
comme 2 eft à 3 ; ainft K l fera-les f de H I , ou
IB ; mais comme la ligne G B vaut 6 , H I , ou
- “ rn™U<?-a ^ 1 à quoi ajoutant les f du
meme IB , Ion aura 2 pieds 9 pouces 6 lignes
pour la valeur de K B , qui étant jointe à B E , i
(a + d) , on aura 11 pieds 9 pouces 6 lignes pour
là valeur de n. Pour fçavoir aufli ce que doit valoir
~ > confidérez que p doit m arquer l ’épaiffeur de
{ chaque contre-fort, & q, l’intervalle, de leur milieu
; a ’outant donc les dimenfions de la racine
a v ec celles de la q u e u e , telles qu’on les trouve
dans la table , je v eu x dire 4 p ie d s , a v ec 2 pieds
8 pouces , l’on aura 6 pieds 8 p ou ce s , dont la
m o it ié , qui eft 3 pieds 4 p o u ce s , feraTépaifleur
moyenne 'des contre-forts ; par conféquent la v a leur
de p . Quant à celle de q , elle fera toujours
18 ; parce que c’eft la diftance du milieu d’un
contre-fort à l’autre ; ainft, •£_ fera la même
chofe que , ou bien ; multipliant cette quantité
par la valeur de n h, l’on trouvera 12 pieds
5 pouces pour - ; on trouvera aufli que ^-ad + a-* q ^ 2.
vaut 32 pieds 6 p ou ce s , 8c 3 pieds 4 pouces.
Joignant donc touts ces nombres enfemble i
il viendra 30 pieds 4 pouces 10 lignes pour la
valeur de x; c’eft-à-dire, pour la puiffance a v ec
laquelle le revêtement de 20 pieds du profil général
, peut être en équilibre. C ’eft en faifant les
mêmes calculs, avec toute la précifion imaginable ,
que j ’ai trouvé que le revêtement de 10 pieds de
hauteur étoit en équilibre a vec une puiffance de
28 pieds 10 p ou ces ; celui de 20 , a v ec 50 pieds
4 pouces io lignes; celui de 3 0 , avec 81 pieds
1 pouce ; celui de 40 , avec 123 pieds 10 pouces ;
celui de 3 0 , avec 173 pieds 10 pou ces ; en fin ,
celui de 6 0 , a vec 237 pieds 7 pouces.
Pour fçavoir préfentement le rapport de la réfiftance
de chacun de ces revêtements, avec les
puiffances qui exprimeroient la pouffée des terres
qu’ils ont à foutenir , il faut chercher la valeur de
ces puiffances pour 1 0 , .20 , 30 , 40 , 30 & 60
pieds de hauteur , dans la Uoiftème colonne de
la table que nous avons donnée ( article 37 ). O n
trouvera qu’elles font équivalentes à 13 pieds
7 p ou ce s ; 41 pieds 3 p ou ce s , 75 pieds4 pouces ,
1 1 7 pieds 8 p o u ce s , 170 pieds 1 p o u c e , 8c à
233 pieds , q u i , étant comparés a v ec la réfiftance
des revêtemen ts , on aura j|-, 7 7 , f f - , 777>777»
0 ’ °» à P«™ Pf ès%, i , t î vy =' ce clui
fait voir que le revêtement de 10 p ie d s , félon
le profil général , eft en état de foutenir une
pouffée double de celle qu’il foutient naturellement
; que celui de 20 eft au - deffus de l’équilibre
d’un quart de la réfiftance qu’il lui faut ; celui
3x° n*e“ au - deffus de l’équilibre que d’un
huitième ; celui de 4 0 , d’un dix-neuvième; celui
de 30 , d’un vingt-unième, 8c celui de 6 0 , d’un
cinquante-huitième.
Comme les rapports précédents ont été trouvés
par des règles inconteftables , on ne peut donc
douter q u e , dans le profil général, la réfiftance
des revêtements ne diminue à proportion qu’ils
ont plus d’élévation ; puifque , tandis que celui de
10 pieds eft au-deffus de l’équilibre de toute la
pouffée qu’il devroit foutenir naturellement ; celui
de 60 n’a fa réfiftance que d’un cinquanté-huitième
au-deffus de l’équ ilib re, qui étant une différence
fort petite , on peut regarder ce revêtement comme
en équilibre a vec la pouffée des terres. Ainft ,
dans ceux qui font plus é le v é s , il eft à préfumer
q u e , fuivant les proportions du profil g én é ral,
la pouffée deviendra au-deffus de la réfiftance , au
lieu qu’il faudroit que le revêtement fût toujours
capable de réfifter avec une force plus grande que
la pouffée , afin de n’avoir rien à craindre des
accidents qui peuvent arriver , foit de la part des
grandes pluies , qui au bout d’un certain temps
peuvent augmenter confidérablement le poids des
terres ; foit par les ébranlements qui arrivent quelquefois
par le bruit du tonnerre ou du canon qu’on
tire fur les remparts , qui pourroient produire des
fecouffes capables de caufer le renVerfement de
quelque face d’ouvrage. D ’aiileurs , quand même
touts ces mouvements ne furviendroient points il
y a encore une raifon pour mettre les rev êtements
beaucoup au-deffus de la pouffée ; c’eft
qu’en temps de fiège , quand un ouvrage eft battu
en brèche , la violence du canon ne peut manquer
de caufer un grand mouvement dans les
parties de la maçonnerie 8c dans les terres qui
pourroient précipiter l’avancement de la b rè ch e ,
parce que le revêtement fe trouvant au-deffous de
la p o u ffé e , comme je le fuppofe , il auroit plus
de penchant à culbuter. O n me dira peut-être que
c ’eft vouloir examiner les chofes trop phyfique-
ment ; mais dans un fujet comme ce lu i-ci, il faut
avo ir égard à tout.
O n fera encore attention que fi au lieu de donner
cinq pieds d’épaiffeur au fom m e t , on n’en donnoit
que quatre 8c demi dans les endroits où la maçonnerie
feroit fort b on n e , comme il eft dit dans le
premier article de l’explication de M. de Vauban ,
ce feroit alors qu’on auroit tout à craindre du peu
de réfiftance des revêtements de 4 0 , 3 0 , 60 8c
70 pieds de hauteur , puifqu’elle fe trouveroit au-
deffous de la pouffée des terres ; car , comme je
l’ai dit ( a rticle 13 ) la liaifon doit être fuppofée
ici la meilleure qu’il eft p o flib le , & on ne doit
avoir égard qu’au poids & à la longueur du bras
de levier qui répond à la bafe du mur , ce qui
feroit croire que M. de Vauban n’a pas eu cette
confidération.
Malgré ce que je viens de d i r e , je ne regarde
pas le profil général affez défeélueux pour ne pouvoir
pas s’en fervir ; l’expérience qui prouve le
contraire ne feroit pas de mon côté ; je voudrois
feulement qu’on ne donnât pas tant d’épaiffeur
au fommet des petits revêtements, & que pour plus
de fureté , on en donnât davantage à celui des
plus élevés .. En e f fe t , je ne vois pas la néceflité
de donner cinq pieds au fommet de celui qui n’en
auroit que dix en hauteur, comme-s’il en avoit
qua tre-vingt, puifque fi l’on y fait attention , c’eft
juftement de-là que vient le défaut du profil généra
l; car comme il faut que les proportions de
F O R 437
toutes les parties de chaque revêtement augmentent
ou diminuent dans la même raifon , félon que l’élévation
eft plus grande ou plus petite , afin que la
réfiftance foit toujours proportionnée à la pouffée ,
il n’y a point de doute que fi une des dimenfions
du profil demeure confiante, comme eft ici celle
du fommet ( fig. 294) la pouffée des terres ne
foit au-deffous de la réfiftance des petits revêtements
, & ne devienne au - deffus de celle des
phis grands^ Il faut donc que le bras de levier
L E (fig. 293 ) augmente dans la raifon de lahau-
i teur A d pour que la proportion ne foit point
interrompue , au lieu qu’elle ne peut manquer de
l’être, tant que les lignes B D . A C , demeureront
toujours de cinq pieds , & que les trois autres
A B , B G , D E , augmenteront ou diminueront.
O r , pour fçavoir de combien il faudroit augmenter
l’épaiffeur du fommet des grands revêtements
, & diminuer celle des petits , pour les
bien proportionner à la pouffée des terres , &
rendre régulier le profil général, nous prendrons
pour exemple celui de la figure 193 , & nous nommerons
GB , h ; KB , g ; B D , y ; en aura g -{-
y 4 - d , ôt^-^fera la valeur q des contre-forts réunis
autour du centre de gravité C K , qui étant
multipliée par le bras de levier K E » donnera
f-fAU l P cfiy.T 11 — pour le produit'. De même, fi
?
l’on multiplie le poids Q , ( y c ) par L E , ÇZ _|_
& le poids R par M E ( J ^ ) joignant
ces trois produits enfemble , la fomme fera égale
au produit de la puiffance h ƒ par fon bras de levier ;
ce qui donne , en effaçant c de part & d’autre
phg + phy +pbd + y d + ~ b f
fi l’on fuppofe n d. , l’on aura *y=s
+ dy , & mettant ny à la place de fa valeur ,
O
phy
dans l’équation précédente , l’on aura + P hd 1
? “
~j~ -b ^ ~ -f" n y ^ f 9 d’où faifant paffer du premier
membre dans le fécond les termes où y ne
fe trouve point, & multipliant le tout par 2 , il
vient y y — 2 ny — 1 b f — ~ _ _ 2 ± h i^ ± h ± ou
y y -\-zny — ----- -------- iphg — 2p hd
“b
nn , en ajoutant nn de part & d’a u tre ,ce qui donne
__ /——. 2 dd -phg - %phd
y— —’’TT”- -- ~b n n — n , qui
eft une équation qui conviendra à tel revêtement
que l’on voudra du profil g én é ra l, puifqu’il n’y
aura que la valeur des lettres qui en fera la différence,