4 * 8 F O R
Ce tte propofition montre clairement qu’ un mur 1
qui a des contre-forts réfifte beaucoup plus à l’effort
d’une puiffance, quand elle agit dans un fens
oppofé aux contre-forts , que lorfqu’elle pouffe
du côté des contre-forts mêmes, à caufe de la
différence des bras de leviers qui répondent à la
bafe.
O n remarquera encore que fi dans les revêtements
des fortifications & des terraffes l’on n’avoit
égard qu’à la pouffée des terres, il vaudroit beaucoup
mieux faire les contre-forts en-dehors qu’en-
dedans ; cependant cela ne fe pratique point a infi,
pour ne pas choquer la v u e , & pour d’autres rai-
lons qui fe font affez fentir ; mais quand il s’agit de
foutenir les piédroits d’une v o û t e , c’eft alors qu’il
faut abfolument les placer en-dehors, afin qu’ils
■ foient directement oppofés à la pouffée.
Pour faire voir à quel point un mur qui foutient
quelque pouffée , eft capable de réfifter davantage
lorfqu’il y a des contre-forts, que quand il n ’y en
a point , quoique la même quantité de maçonnerie
fubfifte de part & d’autre , augmentons l’é-
paiffeur C D , (fig. 285 & 286 ) , de la muraille
de toute la maçonnerie qui eft employée dans les
contre- forts. Pour ce la , je divife la longueur F C ,
( 2 4 ) par 5 , pour avoir qui fe ra l’épaiffeur
R C , réduite, qui étant a joutée a v e c C D , (fig. 287),
donnera pour toute l’épaiffeur R D , ou P X , du
nouveau p rofil YX , qui étant multipliée par la hauteur
Y P , ( b ) donne pour la valeur du reélangle
Y X , réuni au poids T , fufpendu dansle milieu V , de
la ligne P X . o r , fuppofant le point d’appui en X ,
& une puiffance S , qui tire de R en S , nommant
cette puiffance on aura dans le cas d’ équilibre
R X , ( J ) X V ,
donne — , & comme 49 ne diffère de <0
50 *■ .
que d’une unité , nous fuppoferons a a —
Préfentement, pour comparer la puiffance Q ,
s ü à la puiffance S , on donnera à la fécondé
le même dénominateur qu’à la première, & pour lors
1 3 a a 1 0 a a , .
on aura Q 3 b * * — —— -——— , qui étant réduite,
donne Q , S ; ; 1 3 , 10. On peut conclure de
-tout c e c i , que plus les contre-forts feront longs &
plus le bras de lev ie r fera à l’avantage de la puiflance
réfiftante ; c’eft pourquoi, dans les occafions
où l’on peut fe difpenfer de donner une grande
épaiffeur aux contre-forts, il vaut mieux étendre
fur leur longueur que fur leur épaiffeur , la maçôn-
nerie qu’on leur deftine, afin que l’ouvrag e en foit
encore plus inébranlable.
F O R
P R O B L È M E
Ayant un revêtement de terraffê A B C D , ( fig. 288
& 289 , ) , & Une puiffance P , dont la force e(l
fuppofée beaucoup au-deffus de la réfiflance dont le
revêtement efl capable par fon poids, on demande
de quelle longueur il faudra faire les contre-
forts qu on voudroit y ajouter, afin que le tout foit
en équilibre avec la puiffance.
Pour bien entendre ce prob lème, il faut être
prévenu que la hauteur C E du revêtement eft
fuppofée de 30 pied s , & qu’ainfi, félon la règle
générale , la ligne de talus E D doit être de 6 pieds.
O r , fi ce revêtement avoit des terres à foutenir ,
on verra dans la table que la puiffance équivalente
à leur p ou ffée, c’eft-à-dire la xpuiffance P ,
eft de 52 pieds 6 pouces 4 lignes, &. que pour
mettre le revêtement en équilibre avec cette puiffance
, il faudroit donner 4 pieds 9 pouces 8 lignes
à l’épaiffeur B C du fommet. Par conféquent fi l’on
diminuoit cette épaiffeur de quelque chofe, c’eft-à-
d ire , par exemple, que fi au lieu de lui donner
4 pieds 9 pouces 8 lign es , on ne lui donnoit que
3 pieds , la puiffance étant toujours fuppofée la
m êm e , il eft certain que le revêtement ne feroit
plus en équilibre, parce que le bras de levier ID
feroit raccourci & le poids M diminué, ce qui met-'
troit la puiffance beaucoup au-deffus de la réfif-
tance du revêtement. Cependant comme on veut
maintenir l ’un ê c l’autre en équilibre, on prend le
parti de faire des contre-forts, & la queftion fe
réduit à fçavoir quelle longueur il faudra leur
donner par rapport à leur épaiffeur, ou à la dif-
tance où ils feront p o fés , afin qu’ils fuppléent à
l’épaiffeur qu’on a donnée de moins qu’il ne falloit
au fommet B C .
Pour cela , nous nommerons B C , ou À E , a ;
C E , c ; E D , d ; GA , y ; & nous fuppoferons que
n marque toute l’épaiffeur A D de la bafe , afin d’avo
ir n — a -j- d9 & que la puiffance P eft toujours
exprimée par bf. C e la é tan t, le poids M fera ac y
& le poids N fera ~~ ; à l’égard du poids L , il feroit
exprimé par cy, fi le reélangle F A étoit le
profil d’un mur qui régnât fur toute la longueur
du revêtement ; mais n’étant que celui des contre-,
forts , il faut ( comme nous l’a-v&ns dit dans l’article
40. ) avoir égard à leur diftance & à leur
épaiffeur. O r , fi l’on fuppofe que de l’efpace
L M O N , qui règne derrière le rev êtem en t, il n’y
en ait qu’un quart qui foit occupé par les contre-
forts 1 c’eft-à-dire, que donnant, par exemple ,
4 pieds à l’épaiffeur B C , ou E F , de chaque contrer
f o r t , on en laiffe 12 d’in tervalle , de C en D
touts les contre-forts pourront être exprimés par
7^-* de même que tout le revêtement A B C D
par a c -J- ; il ne s’agit donc plus que de réunir
F O R
les poids L & N a vec le poids M , pour ne faire
enfemble qu’un feul poids O , qui faffe le même
effet étant fufpendu au point I , par rapport au
point d’appui D , qu’ils font étant iufpendus en H
ôc en K . Pour y parvenir , on fçait qu’il faut
multiplier le poids N , par f ° n bras
levier K D , > de même que le poids L ,
9 P ar f ° n bras de levier H D , Çn -f- | j l|
& divifer chaque produit par le bras ID , &. qu’alors
on aura -f- à c , pour la
a-•+■ z d
Valeur du poids O . O r , multipliant ce poids par
fon bras de levier ID , on aura un produit égal
.à celui de la puiffance P , ( b f) , par fon bras de
levier D Q ( c ) ; p a r conféquent cette équation
HHÜMIBBBl»*. II■ ■ bcf, d’ob S M ; ■ 1 a J
effaçant c , & faifant paffer du premier membre
dans le fé co n d , les termes o ù l ’inconnue ne fe
" y y r i - i n y L r a a — z a d
trouve p o in t , on a u ra ----------------? ƒ - “*- — :------ -
—. — —. Si de cette équation on fait évanouir la
fraéfion du premier mem b re , & qu’on ajou te«»
de part & d’autre, pour rendre le premier membre
un quarré parfait , on aura y y -j~ 2. « y -j- nn —
Sbf— 4aa — % ad — d’où extrayant
la racine quarrée , & dégageant l’inconnue , il
vâend rap ou rd e rn iè re éq u a tion y= V — 4 aa-
— 0 , %dd . ç> a d ------------ 1- nn
3 ‘ r
» , qui donne ce que l’on
cher choit.
Pour fçavoir en nombres qu’ elle doit être la
longueur des contreforts, il faut fe rappeller que
l’on a fuppofé que la puiffance bf valoit 5 2 pieds
6 pouces 4 lignes , que a v a lo it 3 pieds *, d, 6 ,
a -J- d ou » , vaudra donc 9 pieds. A in f i , en fui--
vant ce qui eft enfeigné dans la dernière équation ,
l ’o n aura 8 bf = 420 pieds 2 pouces 8 lignes ,
4 a a zzz 3 6 , Sad=. 144 S dd .
3
: 9 6 ,& « » = 8 i .
Mais cette équation montre auffi qu’il faut ajouter
a v e c » » , c’eft-à-dire ; 420 pieds 2 pouces
8 lignes avec 81 , pour avoir 501 pieds 2 pouces
8 lignes , & qu’ il en faut fouftraire 4 « « , 8 ad &
, ou leur valeur 3 6 , 1 4 4 , 9 6 , qui font 2 7 6 ,
& de la différence, qui eft 225 pieds 2 pouces 8
lign es , en extraire la racine quarrée, qu’on trouv
e r a d’environ 15 pieds, de laquelle fpuftrayant n
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qui vau t 9 pieds, la différence fera 6 p ie d s , pour
la valeur de y, o u , fi l’on v e u t , pour la longueur
qu’il faudra donner aux contre-forts.
Si l’on vouloit que les contre-forts & le revêtement
, au lieu d’être en équilibre par leur réfiftance
avec lapu iffan c eP, fuffent capables de foutenir l’effort
d’une autre puiffance qui feroit plus forte d’un
quart de c e lle-ci, il faudroit, au lieu de fuppofer bf
égal à 52 pieds 8 pouces, le fuppofer de 65 pieds 8
pou ces , pour lors les contre-forts auront 9 pieds 6
pouces 4 lignes de longueur, & non pas 6 pieds.
Nous venons de fuppofer que l’efpace L M N O ,
(fig. 289. ) qui règne derrière le rev êtemen t, étoit
rempli par un quart de maçonnerie , & par trois
quarts de terre , parce que l’intervalle A B , d’un
contre-fort à l’au tre , eft triple de l’épaiffeur B C de
chaque contre-fort, & c’eft pour cela que nous
avons divifé“i a longueur EB par 4 , pa fce qu’en
effet la ligne A C , qui Vaut quatre parties ég a le s,
peut être regardée comme le dénominateur d’une
fraéfion , dont le numérateur eft égal à la partie
B C , qui eft un quart de toute la ligne A C ;
mais fi l’on vouloit que les contre-forts iuffent plus
près les uns des autres , en forte qu’ils ne fufl'ent
éloignés , par e x em p le , que du double de leur
épaiffeur, pour lors l’étendue qu'occuperont touts
les contre-forts, fera à celle qui règne entre les deux
parallèles LM & N O , comme 1 eft à 3 ; ce qui
fait v o ir qu’au lieu de divifer la longueur inconnue
des contre-forts, c’eft-à-dire , y , par 4 , il ne faudroit
la divifer que par 3 , ou par 2 , fi l’on vouloit
que les contre-forts ne fuffent diftants les uns
des autres que d’un intervalle égal à leur épaiffeur.
Enfin , fi l’on vouloit que l’étendue occupée
par les contre-forts fût à tout l’efpace renfermé
par les parallèles, comme 2 eft à 5 , il faudroit
multiplier y par 2 , & le divifer enfuite par
5 , parce qu’alors on aura qui exprimera la
réduéfion des contreforts ; o r , comme 5 marque
tout l’elpace renfermé entre les parallèles, & 2
celui qui eft occupé par les contre-forts ; fi l’on
retranche 2 de 5 , ftreftera 3 , & les nombres 2 & 3
marqueront le rapport de i’épaiffeur des contre-
forts à leur diftance. Il eft bon de faire attention à
c e c i, quoique ce ne foit qu’une baga te lle, parce
que dans le problème fu iv an t. où nous chercherons
quel doit être le rapport de l’épaiffeur des contre-
forts à leur diftance, cela pourra nous fervir.
P R O B L È M E
Ayant déterminé la longueur A G ( f ig .2 8 8 , ) , des
contre-forts , Vépaiffeur B C du revêtement, 6* fa
ligne de talus E D , on demande quelle épaiff eur
il faudra donner aux contreforts par rapport à la
diftance où il faudra les éloigner les uns des autres,
pour que toute la maçonnerie foit en équilibre
avec la puiffance P , qui tirerait de C en Q .
O n fuppofe encore ic i , comme on l’a fait ail;