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qu’il ne fait en P ; a in f i, je multiplie le poids M {
( " ï i / P ar ^on k fas de levier H P T -7-^ pour avoir le
produit ^ ou bien a qu’il faut divifer par
cdd
le bras H L 2 ^ & le quotient ferale
poids M , appliqué au point L , lequel étant ajouté
edd.
a v ec le poids N , donnera N -f- M Çcy -J-------^
qu’on pourra, fi l’on v e u t , conftdérer comme ne
faifant que le feu! poids Q , qu’il faut fuppofer
être en équilibre a v ec la puiffance K , ( bf). Àinli
le produit de la puiflance K , par la perpendiculaire
H I , ( c ) , qui eft équivalente à fon bras de
le v ie r , (p a r l’article 18 ) , fera égal au produit du
poids Q , par fon bras de levier H L ; pour lors
le premier produit donnera bcf,& le fécond
cyy+ ici y , cdd ,
J--------1— — i car il eit »remarquer qu ayant
3 , . . . . y + i i cy + y + ?d • a multiplier par — , il n’y a
que le premier terme cy à“ multiplier effefHve-
-cdd.
m en t , puifque pour le fécond y+r-d il i f e
de fupprimer tout-à-fait le divifeur — - - , pour
que la grandeur ■ foif multipliée par le bras
de levier L H , car c’eft multiplier une grandeur
par Ion d ivifeu r , que de ne pas la divifer quand
elle doit l’être.
Comme les deux produits précédents donnent
cette équation cyy TJ ‘ d y + ~ - = bcf, U ne
s’agit plus que d’en dégager l’inconnue y , en
faifant paffer du premier membre dans le fer
cond , & d’effacer la lettre ç, pour avoir yy -|-
. j C idd .
2 d y vn- 2 h f ------ — ; mais comme il manque dd9
au premier mem bre. pour faire un quarré pa rfait,
je l’ajoute de part & d’autre, & il vient yy -f-
ïdd
2 4y ~\-dd^=. 2. hf — j -f- fd, ou bien y y -Jr
*dy ddz=: %bf -f- | & extrayant If- racine
quarrée de chaque membre , l’on a y -j- d zst
\^W+ y , qu ?n^n>y ~ y ib/+ y 4.
F O R
Suppofant que la puiffance K , dé quelque part
| quelle puiffe venir , foit exprimée par 52 pieds
& demi , on aura par conféquent bf — 52 ~
O r comme la dernière équation que nous avons
trouvée montre qu’il faut pour avoir l’épaif-
feur B D , doubler la valeur de la pu iffance, ce
qui donne 105 , & ajoutez à cette quantité le
tiers du quarré de la ligne de talus B l ou C H ,
cette ligne ayant été luppofée de 6 p ie d s , fon
i quarré fera 3 6 , dont le tiers eft 1 2 , qui étant
ajoute avec 105 , donne 1 1 7 , dont il faut extraire
la racine quarrée, que l’on trouvera de 10 pieds
9 pouces 8 lig n e s , qui eft lepaiffeur de la bafe
F H , de laquelle retranchant la valeur de i ,
c’eft-à -d ire ja valeur de la ligne de talus , on aura
4 pieds 9 pouces 8 lign es , qui eft l’épaiffeur qu’il
faut donner au fommet de la muraille pour être
en équilibre , par fon poids avec la puiffance K .
Ce tte propofition nous fervira , dans le quatrième
article , à trouver l’épaiffeur. qu’il faut
donner au fommet des murs des remparts, pour
être en équilibre avec la pouffée des terres.
Quand on a plufieurs poids appliqués à diffé-
rens endroits d’un bras de levier , à mettre en
équilibre a v ec une puiffance , il n’eft pas toujours
néceffaire de réunir les poids, ou de les fuppofer
réunis en un f e u l, puisqu'il fuffit de les multiplier
chacun par le bras de levier qui lui répond ;
c’eft-à-dire , par la diftance qu’il y a du point
d’appui aux endroits où ces poids font appliqués,
parce que la multiplication rétablit ce que la di-
vifton peut ôter. A in f i , dans le problème précédent
, au lieu de multiplier le poids M par fon
bras de levier H P , & de divifer enfuite le pr<>-
duit par le bras H L , pour en réunir le quotient
au poids L , il auroit fuffi de multiplier le poids
M & N , chacun par leur bras de levier , c’eft-
à-dire , par leur diftance au point d’a p p u i, puifque
d’une façon comme de l’autre \ on aura toujours cyy + lcd y ccd '
g-----g p ----- -f- pour 1 un des membres de 1 e<-
quation , dont Pautre fera , comme à l’ordinaire ,
le produit de la puiflance agiffante par le bras de
levier qui lui répond. C ’eft pourquoi, dans.la fuite ,
on fe paffera, aptant qu’on le pourra, de ces fortes
de divifions , pour rendre les opérations moins
çompofées.
O n peut s’appercevoir ic i combien le talus
qu’on donne à l’une des faces , d’un mur , changerait
la réflftance de ce m u r , fi la puiffance, au
lieu de tirer de B en K , tireroit de D en iA ,
pour cela il faut chercher le centre commun de
gravité des poids M & N , qui fera dans Un des
points du levier L P , aux extrémités duquel ces
poids font fufpendus , que fon appercevra en divisant
la ligne L P au point R 9 de façon que L R
foit à R P ? çpmmç le poids M eft au poids N ;
mais ces deux poids font l’un à l’autre , comme la
moitié de G H eft à toute la ligne G F . O r , con -
fidérant ççs deux poids M ôç N , comme étant
F O R
reunis dans le feul poids Q , on aura le bras -de
levier R H , quand il s’agira du point d’appui H ,
&. le bras de levier F R quand le point d’appui
fera fuppofé en F , & fl l’on fait attention que le
bras de levier D F a la m ême longueur que I H , &.
que le poids Q ne change point de fituation , on
verra que la puiffance qui tire de B en I , eft à
celle qui tire de D en A , comme le bras H R eft
au bras F R .
Il y a encore une remarque à faire , c’eft
qu’ayant deux murs A D & F I (fig. *71 & i 7 2 )
de même hauteur, le premier élevé à-plomb des
deux cô té s , & le fécond a v ec un talus égal de
chaque coté ; ce dernier , quoiqu’égal au précédent
en Iblidité, réfiftera beaucoup plus que l’autre à
l ’effort d’une puiffance qui voud roit le renverfer
a droite & à gauche. C a r fuppofant que l’épaif-
feur du fommet F G ne foit que les deux tiers du
fommet A B , mais qu’en récompenfe la bafe H I
foit plus grande que C D du tiers de la même
C D , les poids M & N , qui exprimeront les fu-
perficies A D & F I , feront égaux ; & comme
les bras de levier D B & I L font auffi égaux ,
les puiffances P & Q feront donc dans la raifon
des bras de leviers I K & D E ; ainfi la puiffance
P ne -fera que les trois quarts de la puiffance
Q . Par la même raifon , fl l’épaiffeur F G n ’étoit
que la moitié de A B , la puiffance P ne feroit
que les deux tiers de la puiffance Q , ce qui
prouve bien la nécefîité de donner du talus aux
murs.
P R O B L È M E .
Voulant élever un mur dont Vépaiffeur B C , au
fommet, foit donnée auffi bien que fa hauteur B A ,
( % • 2 7 3 ) » on demande quelle doit être la ligne
de talus D E , pour que ce mur étant pouffé de :
M en B , ou tire de C en K par une puiffance , '
le mur A B C D foit en équilibre avec cette
puiffance.
A y an t nommé B Ç ou A D , a ; la hauteur C D , c *;
la ligne de talud D E , y ; la fuperficie du reftangle
A B C E fera ac, qu’on pourra confidérer comme
la valeur du poids H , fufpendu au point F , milieu
de la ligne A D , & le triangle D C E fera qu’on
pourra auffi confidérer comme exprimant la v a leur
du poids I , fufpendu au point G , qui eft
au deux tiers de la ligne D E . O r , fi l’on multiplie
chacun de ces poids par leur bras de le v ie r ,
ou par leur diftance au point d’ appui, & qu’on
ajoute ces deux produits enfemble , l’on aura
a a c + i .a cy ( c y y . n
— ~ -2 -------- 1-j— qui e ft une quantité égale au
produit de la puiffance bf, par fon bras de levier
E L , ce qui donne cette équation £2 ^
— l> cf9 ou bien y y 3 a y = 3 bf — - Pour
F O R 4 M
donc dégager l’inconnue y , il faut ajouter à chaque
membre de cette équation le quarré de la moitié
du coefficient du fécond terme , c’eft-à-dire , le
quarré de qui eft — ; pour lors on aura
yy + j d y + 2 S S - 3 i f _ i ^ . + 9^_ ^ dont
le premier membre eft un quarré p a rfa it; ainfi,
en extrayant la racine quarrée de cette équation ^
l ’on aura y - f .1 5 = ~ ou bien
y— V' Z bf~----- -— \~~f~— > ma^s comme on
peut réduire — ~ * en leur donnant un
dénominateur commun j on aura -j-J*“ ■ p a r .
conféquent l’équation précédente fe r a y —
donne l’expreflion la p in s fimple
qu’on puiffe avoir de la valeur de la ligne D E .
Comme je n’ai voulu omettre aucun des principaux
cas qui p eu vent fe rencontrer dans la conftrnc-
tiori des ouvrages de maçonnerie , j’ai fuppofé ic i
qu’il s’agiffoit de conftruire un mur dont l’épaiffeur
au fommet devoit être déterminée pour des raifons
qui obligeroient d’en ufer a in fi, & que ce mur
ayant à foutenir l’effort d ’une p u iffan c e, de voit
avoir néceffairement un certain talus , pour que
la longueur du le v ie r , qui répond à la bafe
étant augmentée, elle fuppléât au défaut d’épaiffeur
qu’on auroit donné au fom m e t , parce qu’il faut
s’imaginer que fi le mur avoit été fait à - plomb
des deux côtés , lepaiffeur qu’on v eu t lui donner
ne fuffiroit point pour réfifter à l’effort de la puiffance
; par conféquent „ le problème fe réduit à
trouver la ligne du talus D E . O r , comme l’équation
y — y/ yif+ —----- ^ vient de nous la
d on n e r ;-il ne s’agit plus que d’a v o ir des nombres
qui expriment les lettres du fécond membre ;
c’eft pourquoi nous fuppoferons que la puiffance
é f vaut co pieds quarrés, & que a, c’eft-à-dire
la ligne A D o u B C . , eft de 4 pieds. A in fi „ comme
il n y a que ces deux grandeurs qui fe trouvent
dans l’équation , il nous refte à les joindre enfemble
de la façon qu’elles y font ; .c’eft-à-dire
qu’au lieu de 3 bf, l’on aura q c , & qu’au lieu dé
( 1>on aura ou bien 12 , qui eft la même
chofe; ainfi., joignant 150 avec 1 a , l’on aura 162 .
dont il faut extraire la racine quarrée , que l’on
trouvera de 12 pieds 8 pouces 9 lignes. Mais l’équation
nous montre que de cette tacine il en faut
fouftraire - i î - , ou bien 12 divifé par j , qu; eft
6 , & que la différence fera la valeur de y ; retranchant
donc 6 de la racine préc éd en te, il reftera