leurs, que la puiflance P eft beaucoup au-delïus de
la reliftance dont le revêtement À B CD eft capable
par ion poids, & qu’ainfi il faut faire des contreforts
pour donner au revêtement la force qui lui
manque. O r , comme dans le problème précédent,
nous avons cherché quelle longueur il fal-
loit donner à ces contre-forts pour rencontrer le
point d équilibre ; ici Ton fuppofe que cette longueur
a été déterminée, & qu’il s’agit feulement
de fçavoir quel rapport il doit y avoir de l’épaif-
feur des contre-forts à leur diftance, afin qu’ils
compofent enfemble un maffif fuffifant pour rendre
le revêtement capable de foutenir l’effort de la
puiflance.
Ayant nommé G A , // ; B A , c ; AE , a ; E D ,
d-, A D , « ; c’eft-à-dire , n — a - f d , & la puiffance
P , b f , comme à l’ordinaire, on aura —
pour le poids N , & a c pour le poids M ; quand
au poids L , comme il ne doit exprimer qu’une
partie du rectangle GFBA , on ne peut pas dire
que c h foit la valeur de ce poids, parce que c h
doit etre divife par une certaine grandeur qui
détermine le rapport de l’épaiffeur des contre-forts
avec leur intervalle. Comme on ne connoît pas
cette grandeur , nous la nommerons x , & pour
lors le poids L fera Préfentement fi l’on réunit
les trois poids L . M. N. en un feul O , & qu’on le
multiplie par le bras de levier ID, on aura un produit
égal a celui de lapuiffanceP, par fonbrasde levier
D Q , qui donnera cette équation -chh ïcnh
X X
a a c + Xadc c d d ,
‘ 2 “r~ T ~ = b f c . Je n’expliquerai
Çoint ici les opérations qui ont fervi à former cette
équation, parce qu’elles iont les mêmes que celles
de la propofition précédente : il fuffira feulement
de dire que pour avoir la valeur de l’inconnue * ,
il faut d’abord effacer c de toutes parts, & faire
rr a a -h 2 a d dd
paner ----- -------- {- — du premier membre dans
le fécond, afin d’avoir n- — b f ~~~ —^
d ou faifant évaaouir la fraéfion du premier membre
, il viendra hh-{-a nh-~ x x bf —xaa— xxad —
x x d d _ |
• Or > fi l’on divife cette équation par x b f—
€ a — x a d ------- , elle fera changée en celle-ci ,
hh + z n h
î é f — a a — 2 ad — ~ x 3 qui donne la valeur
de x.
Suppofant que la puiflance P foit de 66 pieds
que G A , ou h. t foit de 7 pieds , E D , ou d , de
6 ; A E 5 ou a, de 3 , on aura 9 pour la valeur
de n, C e la p o f é , le dividende de l’équation précédente
fera 175 , & le divifeur fera 63. Ainfi;
1 faifant la divifion , on aura pour quotient 2 -f- r i
; o u , ce qui eft la même ch o fe , ^ — x , c’eft-a-
d ire , qu’il faut divifer ch par j mais comme
~ eft la même chofe que , on vo it que fup-;
T* primant c h , qui eft inutile , & retranchant le numérateur
du dénominateur , il v ient y j , qui marque'
le rapport de l’épaiffeur qu'il faut donner aux
contre-forts, a vec l’intervalle dont ils doivent
être éloignés les uns des autres, c’eft-à-dire, par
exemple , que fi l’on donnoit 4 pieds d’épaiffeur
aux contre-forts, il faudroit les conftruire à 8 pieds
les uns des autres.
P R O B L È M E
Ayant déterminé la longueur G A , ( ffg. 288. ) , des
contre-forts , leur épaijfeur & leur diflance3 de
même que la ligne de talus E D , & la [hauteut
C E , / on demande quelle épaijfeur il faudra donner
au fommet B C du revêtement, pour qu’il foit en
équilibré , par fon poids, avec une puijfance qui
tireroit de C en Q .
Nous nommerons G A , h j E D , d \ la hauteur
C E , c ; l’epaiffeur B C , ou A E , x y & la puiflance ,
b f comme à l ’ordinaire. O r , comme on fuppofe
que 1 efpace occupé par les contre-forts, eft à toute
1 étendue L M N O , comme 2 eft à 5 ; la réduâioii
des contre-forts, on fi l’on v e u t , la.valeurdu poids
L fera donc -y- , le poids M fera x c, & le poids N ,
Préfentement , fi l’on réunit ces trois poids
dans un feul O , & qu’on multiplie enfuite ce poids
par le bras I D , l’on aura-, comme ci-devant ,
un produit égal à celui de la puiflance P , par fon
bras de levier D Q , & par conféquent cette équa-»
tionliLc + * f ^ . ^ ^
x J ' 5 ~ S . 5
bfc 9 d’où faifant paffer du premier membre dans
le fécond les termes où l’inconnue ne fe trouv
e p o in t , & divifant le tout par c , l’on aura
• xx t „ j ~— \~xd -\1— 2 —xb —_r brf ----h--h-- ---- -x-h--d-- -----d- —d . Mais
fi l’on fuppofe n z z d - {- —~ ~ 9 on aura n x rr: dx
— 9 & mettant nx à la place de fa valeur , dans
l’équation, & multipliant le tout par 2 , pour faire
évanouir la fra&ion elle fera changée en cellec
i , * * - t - î n * = 2 é / _ i ü _ ± l ^ î Ü i l lai
quelle ajoutant un de part & d’au tre , il viendra
-f Ϋt -j- nn — ib /4 -n n — îAL- iîî-
W > S i ’
t )r , fi de cette équation l’on extrait la racine quar-
r é e , & qu’on dégage enfuite l’inconnue , on aura
jeette dernière équation, - _______.
x—myÉ iÊbÊfm+ nn xhh , mmI 2 dd ----- ----- — ------- - n * qui
donne ce que l’on cherche.
S i l ’on fuppofe que la puiflance bf foit de 55
p ie d s , que Cj A (A ) loit de 5 , & la ligne de talus
E D , de 4 , on n’aura qu’à faire les mêmes opérations
par les nombres que celles qui font indiquées
dans la dernière équation, & l’on trouvera que
Tépaiffeur B C , ou A E , doit être de 4 pieds 5
pouces 4 lign e s , pour que le revêtement, joint aux ■
contre-forts, foit en équilibre avec la puiflance.
Aprè s qu’on aura trouvé le point d’équilibre au
fujet de quelques-uns des problèmes précédents, on
pourra m ettre le revêtement & les contre-forts au-
deffus de la pouffée des terres, foit en donnant un
peu plus d’épaiffeur au fommet, ou en augmentant
la ligne de talus, ou la longueur des contre-forts ;
je n’en donne point d’ex em p le , parce que ce c i peut
fe faire fans aucune difficulté.
£xamen des différentes figures qu'oit peut donner
_ à la bafe des contre-forts.
O n a infinué , au commencement de cet art
icle , qu’il falloit avoir égard à la figure qu’il con-
ven o it.d e donner à la baie des contre-forts, félon
les différents ufages des murs auxquels ils feroient
appliqués. Comme c’eft ici l’endroit d’en examiner
toutes les circonftances, vo ic i ce qui m’a paru
qu’on pou voit dire fur ce fujet.
Qu and il s’agit des murs qui ne foutiennent
aucune pou ffée, comme font ceux de c lôtu re, &
q u ’on juge à propos d’y faire des contre-forts, il
femble qu’il eft affez indifférent de donner à leur
bafe telle figure qu’on vo u d ra , parcê^ que, dans
c e c a s , les contre-forts ne fervent guère qu’à
donner plus d’afliette aux murs ; comme on a coutume
de faire leur bafe re&angulaire, il ne fera pas
mal de fuivre l’u fag e, c’eft pourquoi nous ne nous
ÿ arrêterons point.
Mais quand les contre-forts font appliqués derrière
des revêtements qui doivent foutenir des
terres & autres poids confidérables, la bafe qui
convient le mieux eft de la faire comme E C D F ,
( fig. 290. ) , c ’eft-à-dire de lui donner plus de
largeur à la queue C D , qu’à la racine E F , parce
que le centre de gravité au lieu d’être dans le milieu
d e fa longueur, comme au re&angle A B , fera plus
éloigné du point d’appui, par conféquent le bras
.de levier qui répond au poid s, devenant plus long,
l e revêtement fera capable d’une plus grande réul-
tance qu’anparavant, avec la même quantité de
maçonnerie. Si j ’ai fuppofé reftangulaire la bafe
des contre-forts, qui ont eu lieu dans les propofi-
tions précédentes, ce n’eft pas que j’aie voulu
montrer qu’ il falloit la faire ainfi, ça été feulement
^pour agir avec plus de fimplicitç.
Si lés contre-forts font en-dehors , c’eft-à-dirt
oppofes a la pouffée de la puiflance qui agit j
comme aux piédroits des voûtes , il faut au
contraire faire leurs bafes plus larges à la racine
qu’à la queue, comme IH G K , parce que le centré
de gravité fera plus éloigné du point d’appui quel«
bras de le v ie r , qui répond au poids , & fe trouvera
encore allongé’ , comme dans le cas précédent,
mais dans un fens contraire, ce qui donnera beaucoup
plus de force aux piédroits & aux contre-
forts. Je ne parle pas de plufieurs autres figures
qu’on poûrroit donner à la bafe des contre-forts ,
pour fortifier encore davantage les re v ê tem en s,
parce que ces figures dépendroient de certaines
courbes qu’il feroit bien difficile de faire entendre
non-feulement aux maçons, mais même à ceux
qui les dirigent ; j’ai de la répugnance, auffi bien
qu’e u x , pour tout ce qui n’ëii pas d’une utilité
effentielle, fur-tout dans les chofes qui demandent
d’être exécutées par des vo ies Amples.
Mais pour juger exa&ement de la réfiftanca
dont les revêtements peuvent être capables, par
rapport a la figure qu’on donnera à leurs contre-
forts , nous fuppoferons que le profil L Y , ( / g . 290
& 2 9 1 . ) , appartient à trois revêtements différents
, dont le premier auroit touts fes contre-forts
comme A B ; le fécon d , comme C F ; & le troi-
fièm e , comme H K ; que ces co n t re - fo r ts font
égaux en fuperficie, & que par conféquent la quantité
de maçonnerie eft égale pour chacun des revêtements.
C e la p o f é , remarquez que dans le rectangle
A B , le centre de gravité eft au point O ,
au milieu de la longueur L R , (p a r l’article i er}
qui répond aufli au profil \ m ais qu’il n’en eft pas
de même de l’autre plan C F , puifque pour avoir
fon centre de g ra v ité , (fé lo n l’article 10 ) il fau t
divifer la ligne L R en trois également y enfuite
couper la partie du milieu M Q au point N , de
manière que N M foit à N Q , comme EF eft à C D .
O r , ayant fait C D , double de E F , N Q fera double
de N M , par conféquent le point N fera le centre
de gravité ;mais dans le pro fil, le poids qui exprimera
le contre-fort, pèiera plus en N qu’en O ,
dans la raifon de N Z à O Z , qu’on doit regarder
comme des bras de levier dont le point d’appui eft
en Z , par conféquent le contre-fort C F réfiftera
plus que A B , dans la raifon des lignes N Z & O Z .
. Cependant le contre-fort C F réfiftera encore
bien davantage que H K , fi la ligne G K eft double
de HI ; car pour lors MP fera double de P Q , parce
que le centre de gravité fera au point P , & le
poids qui y fera fufpendu ne pèfera pas tant que
s’il etoit en O , & encore moins que s’il était ©a
N , dans la raifon que P Z fera plus petit que N Z . •
Il fuit de ce que l’on vient de dire , que plus les
lignes égales C D & G K feront plus grandes que
E ? & H I , plus le contre-fort C F aura fa réfiftance
au-deffus de H K , quand les bafes de ces deux contre
forts feront égales en fuperficie.
.Voulant exprimer d’une manière générale la j’é*