donc que la puiffance Q auroit befoin d’une force
exprimée par le triangle B D E , fi effectivement
les terres s’ébouloient avec autant de facilité qu’un
corps fpherique roule fur un plan incliné bien poli ;
mais comme leur ténacité fait que leurs parties ne
peuvent le détacher pour s’éb ou le r , fans rencontrer
beaucoup d’obftac le s, il eft ce rta in, comme
l’expérience le fait v o i r , qu’elles ne font pas feulement
la moitié de l’effort contre la furface D E ,
qu’elles feroient fi elles étoient ram allées dans un
corps fphérique. A in fi on peut donc considérer la
puiffance Q comme équivalente à un plan qui
feroit exprimé par la moitié du.triangle B D E ,
pour être en équilibre avec la pouffée des terres ;
ce qui convient d ’autant mieux avec la pratique,
qu on ne les em p lo y é jamais pour élever des remparts
, des terraffes, des chauffées , & c . qu’elles ne
foient bien b attu es , & qu’on en ait pour ainfi-
dire augmenté la ténacité.
Comme c’eft fur ce principe que nous agirons
dans la fuite , on remarquera que fi l’on fuppofe
les lignes B D & D E , chacune de deux pieds , la
fuperficie du triangle fera de deux pieds quarrés,
& la puiffance Q n’en foutenant que la m o it ié ,
on peut dire que la force de cette puiffance, dans
1 état d’équilibre, fera exprimée par un pied quarré.
P R O B L È M E .
Trouver la poujfee des terres qui agijfent contre le
revêtement d un rempart, afin d’y proportionner
l ’épaijfeur des murs, qui doivent les foutenir.
Pour fçavoir quel effort font les terres derrière
le revêtement B C D E , ( fig. 2 7 9 .) j e prends la
ligne A B , égalé à B D , pour avoir le triangle
reélangle , & ifocelle A B D , qui comprend toutes
les terres qui pouffent, puifque ( par l’article 31 ) ,
celles qui font fous la ligne A D fe foutiennent
par elles-memes, l’angle A D X étant de 45 degrés,
mais comme ces terres agiffent avec plus ou moins
de fo r c e , félon qu’elles font plus ou moins éloignées
du fommet B , il faut faire enforte de rapporter
toute la. pouffée au point B. Pour ce la , je
divife la hauteur B D en un grand nombre de
parties égales ; par exemple , en autant de parties
qu’elle contient de pieds ; a in fi, fuppofant qu’il
foit queftion d’un revêtement de 15 pieds de hauteur
, on aura 15 parties égales , & fi par chaque
point de divifion l’on mène à la ligne D A , les
parallèles H G , N M , P O , R Q , & c . , on aura
d abord un petit triangle H G B , enfuite une quan-
quantité de trapèzes qui vont toujours en augmentant
, & qu on doit confidérer comme autant de
puiffances qui pouffent le mur. O r , pour fçavoir
la pouffée de chacun , commençons par le triangle
H G B , qu’on peut reg a rder, ( félon l’article 31 )
comme un corps pofé fur le plan incliné L G H ,
qui agjjt contre la furface B H , pour la renverfer. I
Si l’on nomme b l’effort que fait le triangle contre
la furface,on pourra, connoiffant la pouffée du
triangle , connoitre aufîi celle de touts les trapèzes
qui font immédiatement après ; car comme le
trapèze GN eft triple du triangle HGB , fon effort
contre la £irface HN fera 3 b , & la pouffée de
touts les autres trapèzes fuivants pourra être exprimée
par les différences des quarrées des termes
d une progreffion arithmétique, ce qui donne cette
progreffion , b. y b . y b . 9b. 11 b . 13b. l 'jb .
i 7b . 1q b . 21 b . 23b , 25b . 2y b . 29b. Or , fi l’on
fuppofe que l’aélion du triangle HGB , au lieu
d agir le long de la furface BH , foit réunie au
point B , que l’aélion du trapèze G N , foit réunie
au point H , & qu’il en foit de même pour l’action
de touts les autres trapèzes réunis aux points
N j P j R» & c . , on pourra concevoir qu’une puiffance
exprimée par 6 , agit à l’extrémité B du
bras de levier B D , qu’une autre exprimée par'
36 , agit à l’extrémité H du bras de levier D H ,
& qu’en étant de même pour touts les autres trapèzes
ou puiffances, il y aura autant de leviers
que de puiffances. Ces leviers feront dans une pro-
grefïion arithmétique des nombres naturels, dont
îè premier terme fera le levier DB , & le plus
petit le levier D K , de forte que la progreffion dgs
leviers ira en diminuant, tandis que celle des puit-
fances ira en augmentant ; car fi l’on range ces'
deux progreffions l’une fur l’autre , de manière
que chaque puiffance réponde à fon levier , on aura
b . 3b. <^b. y b . 9/>.> 11 b . 13b , i ^ b . t y b . iqb, 15 . 14. 13. 12» 1 1 . 10. 9. 8. 7 . 6.
z v b . 2<b. zyb. z q b ... ; „ r . , _
5* 4* 3 .^ 2 . *• Matslonfçattque les effets:
deplufieurs puiffances appliquées à des leviers qui
font dans la raifon compofée de leur force & de la
longueur de leurs leviers , c’eft pourquoi , afin d’avoir
l’effort dont chaque puiffance eft capable ,
il faudra la multiplier par fon bras de levier , &
la fomme de touts les produits fera égale à l’effort
total de toutes les puiffances appliquées à leurs bras
de levier. Or , comme chaque puiffance pourra
être tranfportée à l’extrémité B du bras D B , en
divifant, ( félon l’article 11 , le produit de fa force
& de fon levier par toute la longueur BD ) , on
n’aura donc qu’à divifer les produits dont nous ye-,
nons de parler par le divifeur commun 15 , pour
avoir -Hff6 — 82 b j 3 de forte que fi l’on fuppofe
$2. f ƒ , l’on aura b f , pour l’effort de toutes les
puiffances réunies au point B.
- Voulant fçavoir préfentement ce que b f vaut en
pieds quarrés, il faut fe rappeller que b a été fup-
pofé égal à la pouffée du triangle H G B contre
la furface BH. Or , comme les deux cotés GB
& BH de ce triangle font chacun d’un pied , fa
fuperficie fera de fix pouces quarrés , & la fur-
face BH n’en foutenant que la moitié , ( par l’article
3 1 , ) à caufe de la ténacité des terres, b fera
donc de trois pouces de pieds quarrés ; ainfi, multîpliant
3 pouces par 82 pieds 8 p o u c e s , le pro- '
duit fera 20 pieds 8 pouces pour la valeur de bf.
Il eft bon que je m’arrête ici un moment, afin
d’expliquer pourquoi la ténacité des terres diminue
leur pouffée de la moitié de l’effort qu’elles
feroient derrière le revêtement, fi au lieu d’agir
comme elles font, elles agiffoient comme un corps
fphérique qui feroit fur le plan incliné A D , ou
comme un coin A B D , dont toutes les parties feroient
parfaitement unies.
Remarquez que le triangle GBH s’appuyant fur
le trapèze M GH N , les terres de ce trapèze font
plus preffées que celles du triangle ; de même les
terres du trapèze OMNP font auffi plus preffées
que celles qui font dans celui de deffus , & les
terres du trapèze QO PR plus preffées encore que
celles du précédent ; ainfi des autres trapèzes ,
qui feront toujours plus preffées à me'fure qu’ils
approcheront du plan incliné A D . Comme touts
ces trapèzes , depuis le plus petit jufqu’au plus
grand , fe furpaffent également, on peut donc
dire que leur preffion ou leur ténacité augmente
dans la raifon des termes d’une progreffion arith-
inétique, & que la ténacité qui eft répandue dans
tout le triangle A B D n’eft que la moitié de ce
qu’elle feroit, f i , fe trouvant uniforme dans chaque
trapèze, elle éroit égale à celle du dernier. Or ,
comme la pouffée des trapèzes , derrière le revêtement
C D , doit diminuer dans la même raifon
que leur ténacité augmente, il m’a paru que pour
y avoir égard , il falloit ne prendre que la
moitié de la fuperficie du petit triangle GPH pour
la valeur de la puiffance b , ce que j’ai fait avec
d’autant plus d’affurànce , que je me fuis apperçu
que touts les calculs que j’ai fiyts pour trouver l’é-
pàiffeur des revêtements , fe rencontreroient parfaitement
bien avec ce que l’expérience a pu auto-
rifer ; ainfi je finis cette digreffion pour reprendre
la fuite de l’article précédent.
Mais comme les pieds quarrés que nous venons
de trouver ne font point homogènes avec ceux
qui doivent exprimer la valeur du poids Y , les
uns provenant du triangle de terre A B D , & les
autres du profil de maçonnerie C D ; il faut donc,
en fuivant ce qui à été dit dans l’article 5 , faire
une réduction dans les premiers , c’e f t -à -d ir e ,
prendre les deux tiers de 20 pieds, 8 pouces , parce
qu’un pied cube de terre pèfe moins d’un tiers
qu’un pied cube de maçonnerie pour-fors b f ,
où la puiffance , ne voudra que 13 pieds 9 pouces
4 lignes.
Préfentement que l’on eft prévenu de la valeur
de la puiffance, il ne s’agit plus que de chércher,
comme on fa fait dans le chapitre précédent ,
quelle épaiffeur il faut donner au fommet B C ,
& à la bafe DF du revêtement , pour qu’elle foit
en équilibre par fon poids avec cette puiffance,
ou, il l’on v eut, avec la pouffée des terres. Pour
çela, oou£ fu'ppoferous que la puiffance > au lieu de
f o r 4 1 9
pouffer de M en B , tire de B en T , ce qui eft
la même chofe , & menant du point d’appui F la
perdendiculaire F S , fur la dire&ion B T , on prendra
cette perpendiculaire à la place, du bras de
levier F B . C ’eft par cette même raifon que nous
avons regardé cLdevant la ligne B D comme un
bras de le v ie r , .dans la longueur duquel etoit appliqué
un nombre de puiffances , parce que cette
ligne eft égale à la perpendiculaire F-S , &■ que
par conléquent on peut prendre l’une pour loutre.
Nous aurons donc le levier recourbé S F Z ; ainfi
nommant S F , ou C E , c ; E F , d \ l’epaifleur B C ,
ou D E , y ; le poids V fera , & le poids Y fera
c y . Si Ton réunit le poids V au poids Y , & qu on
multiplie leur fomme par le bras de levier Z F ,
on aura un produit égal à celui de la puiffance T ,
par fon bras de levier S F , a vec lequel on formera
cette équation -j- c d y -j---- -— — b c f , de laquelle
dégageant l’inconnue , il viendra y —
y 2 b ƒ -} - — d3 qui donne ce que l’on cherche.
J ’ai abrégé les opérations qu’il a fallu faire pour
trouver la valeur d e y , parce qu’elles ont été expliquées
amplement dans l’article 22. ; j’en uferai ainfi
dans la fuite quand il s’agira de la même formule.
Il eft bien aile de mettre à pr-éfent en pratique
ce que le problème précédent vient de nous enseign
er; car la dernière équation nous montre que
pour avoir la valeur d e y , il faut doubler celle de
la puiffance X , ajouter le tiers du quarre de la ligne
de ta lu s, extraire la racine quarrée de la fomme
de cette qu an tité , & en retrancher la ligne de
talus. A in f i , ayant trouvé que bf vaut 13 pieds
, 9 pouces 4 lignes , 2 bf vaudront 2 7 pieds o pouces
8 lignes, & comme la ligne de talus E F eft de
3 pieds, qui eft la cinquième partie de la hauteur
E C , ajoutant donc à la valeur de 2 b f 3 3 qui
; eft/ égal à on aura 30 pieds 6 pouces 8 lignes,
dont la racine quarrée eft 5 pieds 6 pouces 2 lignes,
qui eft l’é p ai fleur qu’il faut donner à la bafe D-F du
revêtement ; par conféquent fi l’on en retranche la
valeur de la ligne de talus , qui eft 3 p ie d s , il
reliera 2 pieds 6 pouces 2 lignes pour l’épaiffeur
du fommet B C .
-E n fuivant la même r è g le , on trouvera qu’un
revêtement de 20 pieds de hauteur doit avoir au
fommet 3 pieds 3 pouces. 5 lignes ; &. fur la retraite
y p ie d s 3 pou ces 5 lignes; qu’un autre de 30 pieds
doit a voir pour épaifleur au fommet4pieds 9 ponces
8 lign e s , & fur la retraite 10 pieds 9 pouces 8
lignes.
R e m a r q u e p r e m i è r e .
O n vo it que la valeur d e y , eft un peu plus.
I grapcie qu’elle n,e devroit être naturellement;
G g g i'j