■4 i 6 F O R
6 pieds 8 pouces 9 lignes pour la ligne de talus
D E „ -que Ion cherche.
P R O B L Ê M E .
1 Ayant le profil A B C D (fig.^274 & *75 )
mur'élevé à-plomb des deux cotes , 6* dont l€paif-
feur B C foit tellement proportionnée à la hauteur
c D,.que ce mur foit en équilibre par f in poids
aver la puiffance P , qui tire de C en E , on demande
de changer ce profil en un autre IG H L ,
qui Lui foit égal en fuperficie & en: hauteur, &
dont le côté G I foit perpendiculaire , pour que ce
fécond foit en ■ équilibre, par fa réfifiance , a une
puiffance Q , dont la force feroit double de la puiffance
P.
Pour cela , nous nommerons B C , a 3 C D de
même que G 1, c ; G H ou I K , ^ > K. L 3 y \ la
puiflance P fera £ ƒ , comme a 1 ordinaire 3 ôc la
puiffance Q , 2 b f ; cela pofé', la fuperficie du
reâangle 1GHR 3 o u , fi l’on v eut, le poids N ,
fera x c 3 6c celle du triangle K H L , ou le poids S ,
fera — , & ces deux poids étant* multipliés par
leur bras de levier , en réunifiant leur produit ,
on aura une quantité, égale de la puiffance par
fon bras de levier , c’eft-à-dire 3 — - ——^r- - J - y -
£= 2 b f c , ou divifant touts les termes par c , l’on
aura * x — -2’J- = z b f ; mais comme le rectangle
BD , ( a c ) eft fuppofé égal au trapézoïde
I G H L , il viendra encore cette équation a c z z
e x fSffc., .d’oùdégageant l’inconnuey, l’on aura
y — 2 a — 2 x , 6c fubftituant la valeur de y dans
qurj , étant réduite , donne 4 a a — % a x •
— 6 b f , pu bien — + 20 * = 4 aa — 6 bf. Faifaut
évanouir la fraéïion, on aÆ.r-{-4 a x —— ^ 12 a
_ n é / ; »quoi ajoutant 4 a a de part & d’autre
pour rendre le premier membre un. quarré parfait - „
il viendra ¥ x -j- 4 a x ~j~4 aa=— **a ~
d’où l’on tire ‘ x — y 'i z a a — j i b f— o.â , apres
avoir extrait la racine quarrée; , ..ù.
OnCçaifque la puiffance P , étant en équilibre
avec le .poids O , l’on a a ^ -1 bf', ainfi, fup-
’ pofant i / = 72 , il vient 1 % — l/ ai/; par çoiifé-
jquent l’épaiffeur B C fera de 1* pieds ; quand à.la
hauteur C D , nous la fuppoferons de 30, quoiqu’on
puiffe s’en paffer ici. Préféntement ; pour pon-
'noître la valeur de j'entends l’épaiffeur G H ,
F O R
il ne faut que fuivre ce qui eft indiqué dans le-«’
quation dernière, c’eft-à-dire, ôtei*cfe 12 a a , qui
valent 172.8 , 12 b f , qui eft 864, & extraire la
racine quarrée de la différence , pour avoir 29
pieds 4 pouces 8 lignes ; d’où fouftrayant la valeur
de 2a y qui eft 24 pieds, l’on aura 5 pieds-
4 pouces 8 lignes pour la valeur d e * , ou l’épaiffeur
G H , par le moyen de laquelle il fera facile
d’avoir la ligne K L , ou y , que l’on trouvera de
13 pieds 2 pouces, 8 lignes , à quoi ajoutant la
valeur de x , il viendra 18 pieds 7 pouces 4 lignes
pour la bafe I L du mur. O r , comme le reéiangle
A C , ayant j2 pieds de b^fe fur 30 de hauteur,'
vaut 360 pieds de fuperficie , & que celle du
trapézoïde IG H L en vaut autant, ( comme il eft
aifé de s’en convaincre, fi l’on en fait le calcul ) ,
il s’enfuit donc qü’on a fatisfait exactement aux
conditions du problème. -
{ On pourroit encore rendre le fécond profil
capable de. foutenir l’effort d’une puiffance plus
grande que 2 b f ; car moins le fommet du revêtement
aura d’épaiffeur, & plus la ligne de talus
augmentera fa longueur du bras de levier M L ,
& par conféquent la réfiftance du mur ; cette augmentation
pourra même toujours aller en croiffant
jufqu’à ce que le point H foit confondu avec le
point G , c’eft-à-dire , jufqu’à^ ce que la ligne GH
foit réduite à zéro , parce qu’alors le profil deviendra
un triangle reCtangle, qui a la figure capable
de foutenir la plus grande puiffance qu’il
eft pofiible , comme on l’a vu dans l’article 20 ; 6c
je trouve ici que fi le premier profil étoit changé
en triangle , au lieu de foutenir en équilibre une
puiffance de 72 pieds, il en foutiendroit une def
145 un tiers.
P R O B L È M E .
Ayant, comme dans le problème précédent, un profil
rectangulaire A C (fig. 274 6c 276 ) en équilibre
■* pur fin poids devant une puiffance V,an demande
un autre profil G H I K , qui ait la même hauteur
que le précédent, mais dont la fuperficie n en foit
que les trois quarts, avec cette condition, que le
mur G H IK foit encore én équilibre , par fa
réfifiance , à l'effet de la puiffance R , quonfup-
pofe agir toujours avec la même force.
Nommant les lignes B A ou H G , c ; A D , a , HI
ou G L , x ; L K , y ; on aura ac, pour le reÇtangîè
BD ; ex , pour le reâangle H L , ou , fi l’on veut ,
pour le poids Q ; & — pour le triangle 1L K , ne
doit être que les trois quarts du reâangle B D ;
on aura donc-^ -^ z zcx -l- — , 6c fi l’on réunit
4 ^
le poids Q avec le poids P , après les avoir multipliés
par leur bras de levier , on aura une quantité
égale au produit de la puiffance P , qui eft
toujours^/, par leur bras de levier KR ,'ce qui
donne;
F o r
donne cette fécondé équation - --\ -x y c - 1-- 3 À
zz b c f 3 ou , en effaçant de touts les termes la
lettre c » y - -f- x y -j- b f ; mais fi , dans la
gage y » on aura
6
: c x -j-
l’on dé-
- — 2 x = y , 6c fuppofant
~6a
première équation
h a T
== n3 pour plus de facilité , l’on aura n — 2X zzy.
Si préfentement on fubftitue la valeur de y dans
l’équation -f- x y -f- z z b f , elle fera chan-
1 ; f. . x x . . n n ~ 4 n x + 4xx
gée en celle-ci, - y -\-nx — 2x x-\- --------—;------
z z b f 3 d’où faifant évanouir la fraélion , l’on a
3 xx -f- 6 nx — i z x x - \ - 2nti — 8/mc-j- 8 x x zz 6fb3
qui, étant réduite, donne 2 nn — xx — 2 nx z z 6 b f
ou bien 2 nn — 6 b f z z xx 2 nx. Or , fi à cètte
- équation l’on ajoute nn de part 6c d’autre , on aura
3 nn — 6 b f 'zz x x -f- 2 nx -j- nn , dont extrayant la
racine quarrée , 6c dégageant l’inconnue , il vient
enfin \/ynn -ù b f — n z z x 3 qui donne la valeur
d^l’épaiffeur HL Pour avoir l’autre inconnue y ,
nous fuppoferons \ / 3 nn - 6b f— n z z d , pour lors
on aura 2 d z z 2 x , 6c mettant la valeur de 2 x
dans l’équation n — 2 x z z y 3 on aura n — 2 d z z y .
Comme nous avons fuppofé .fJL z z n , 6c que
A vaut 12 pieds de même que dans le problème
précédent, «feradonc de 18 ; par conféquent 3 nn
vaudront 972 pieds. O r , comme b^raut encore
72 , fi Ton fouftrait 6bf, c’eft-à-dire, la valeur, qui
eft 432 , du nombre précédent, on aura 40 $ pour
la différence , dont extrayant la racine quarrée ,
on la trouvera de 23 pieds 3 pouces, de laquelle
ôtant la valeur de n , qui eft 18 , on verra que
l’épaiffeur H I doit être de 5 pieds 3 pouces, 6c
que par conféquent la ligne de talus L K , c’eft-
à-dire y , vaut 7 pieds 6 pouces, à laquelle ajoutant
G L , je veux dire 5 pieds 3 pouces , on aura
i:2 pieds 9 pouces pour toute la bafe G K , ce qui
eft bien évident, puifqu’un trapézoïde qui auroit
30 pieds de hauteur , 6c pour côtés parallèles une
ligne de 5 pieds 3 pouces, &. une autre de 12 pieds
9. pouces , vaudra zyo-pieds de fuperficie , ce qui
fait juftement Içs trois quarts du reftangle B D ,
qui en doit valoir 360,
On pourroit, fi Ton vouloit, diminuer encore
la maçonnerie-,du problème précédent, en ne fuppofant
la fuperficie du fécond profil que des deux
tiers de celle du premier, & pour lors on trouvera
que x , 011, fi Ton v eu t, le fommet du mur, ne
doit avoir que deux pieds d’épaiffeur. Mais, comme
il y a des cas où cette épaiffeur ne fuffiroit pas
pour des murs qui ont à foutenir certaine pouffée,
on fera le maître de ne diminuer le mur que d’un
quartNou d’yn cinquième,, plus du moins , félon les
Art militaire. Tornç II.
F O R 417
occafions. Tout ce que Ton doit remarc|aer, c’eft
que fi la diminution qu’on'v-oudroit faire étoit trop
grande , on s’en appercevroit , en donnant aux
termes du premier membre de l’équation ]/% nn —
6 b f — n z z x , la valeur en nombres des lettres qui
le compofent ; car fi Ton trouve, par exemple
que 3 n n foit moindre que 6 b f , c’eft une marque
que ce problème eft impoflible ; que fi Ton trouve
y $nn~ 6b f z z h , c’eft un figne que * eft égal à
zéro , c’e ft-à - dire que le fommet du mur fera la
pointe d’un triangle dont Tépaiffeur fera zéro.
De la maniéré de. calculer la pouffée des terres
foutenues par les revêtements des terraffes & des
remparts , 6* l’épaiffeur qu il faut leur donner«
Si Ton a un poids H , (fig* 277.)*ftir un plan
incliné H C , 6c une puiffance K , qui foutienne
ce poids félon une direéHon E K , parallèle à l’ho-
rifon , il eft démontré , dans la méchanique, que
la puiffance K eft au poids , comme la hauteur
AB du plan incliné, eft à la longueur B C de la
bafe. O r , fi Ton fuppofé que la hauteur AB foit
égale à la bafe B C , c’eft-à-dire, que la ligne A C
foit la diagonale d’un quarré , la puiffance fera
égale au poids ; mais comme c’eft la même chofe
que la puiffance tire de E en K , pu qu’elle foit appliquée
au poids même, comme eft la puiffance
P , qui pouffe par une direâion diamétrale EG ,
parallèle à Thoriêsn , on peut donc dire que la
puiffance P a befoin d’une force égale au poids
pour la foutenir en équilibre.
C ’eft une chofe démontrée par l’expérience, que
les terres ordinaires, quand elles fout nouvellement
remuées & mifes les unes fur les autres , fans être
battues ni entrelacées par aucun fafeinage, prennent
d’elles-mêmes une pente ou talus, qui fait avec
Thorifon un angle de 45 degrés , ou qui fuit la
diagonale d’un quarré. Je dis que cela arrive aux
terres ordinaires , car nous n’ignorons pas que fi
elles étoient fablonneufès, elles feroient un angle
plus aigu, 6c qu’au contraire, fi elles étoient greffes
6c fortes , elles en feroient un plus ouvert, mais
pour tabler fur quelque chofe de fix e , nous avons
; fuppofé une terre qui tiendroit un milieu entre ces
deux-ci.
Prévenus de cela f imaginons que contre une
muraille A 3(fig. 278.1 on ait ramaffé des terres
: foutenues de l’autre coté par une furface D E ,
qu’une puiffance Q , qui la maintient, peut ôter
librement; ces terres étant renfermées dans l’efpace
B CDE , comme dans une caiffe dont le profil C D
feroit un quarré, il eft confiant que fi Ton ôtoit la
furface D E , pour laiffer aux terres la liberté d’agir,
! il s’en ébouleroit- une partie , & qu’il ne refteroit
que celles du triangle GBE , & que par conféquent
la p'uiffance Q foutient toute la pouffée des terres
du triangle B D E , je veux dire l’éffort qu’elles font
i pour rouler le long du plan incliné B-E. 11 s’enfuit
g s g