car quand nous avons fuppofé que l’effort du
triangle H G B étoit réuni au point B , on a
donné un peu plus de force à ce triangle qu’ il ne
de vo it en a v o ir , parce qu’agiffant le long de la
ligne B H , fon aftion diminue à mefure qu’elle
approche du point H , le bras* du levier n’étant
plus fi grand , c’e f t - à - dire , par ex em p le , que le
triangle ne faifant point autant-d’effort au point I
qu’au point B , à caufe que le bras du levier I D
eft plus petit que B D , on a augmenté la force
qui agit au point I en la fuppolant en B , de la
différence qu’il y a du bras 1 D au bras B D ,
ainfi de touts les autres points de la ligne B H.
Comme nous avons agi de même-pour les trapèzes
qui font après le triangle ', en fuppofant leur effort
réuni au point H , .N , & c . , ©n v o it que toutes
les différences des bras de levier jointes eniemble
donnent un peu plus de force à la puiffance qu’elle
ne devroit en avoir ; mais ceci n’eft pas ün défaut
car la puiffance étant un peu au-deffus de ce qu’elle
doit ê t r e , elle obligera de donner au revêtement
lin peu plus d’épaiffeur qu’il n’en faudroit pour un
parfait équ ilibre, & c’eft çe - qui eft abfoiument
neceffaire , puifque quand même l’on auro'it trouvé
dans la dernière jufteffe ce point d’équilibre , il
faudroit toujours donner plus d’avantage à la p u iffance
réfiftante qu’à celle qui agit ; ainfi le calcul
précédent eft fort bon_dans la pratique. Cependant
cela n’empêche pas que l ’on ne p u iffe ,
quand on voudra , trouver la valeur de y , la
plus approchante qu’il eft p o flib le, en divil'ant la
hauteur du mur en un fi grand nombre de parties
que la différence des-bras de levier foit fort
petite ; on en fera quitte pour faire un calcul beaucoup
plus long que le précédent, mais ce feroit
s’arrêter à la vétille que d’y prendre garde de fi
près. A in fi , on ne peut mieux fa ire , que de donner
toujours aux progreffions des puiffances &
des le v ie r s , autant de termes qu’il y a de pieds
dans la hauteur du mur.
R E M A R Q JJ E S E C O N D E . '
Je n’ai fait la remarque précédente que pour
fatisfaire la délicateffe de ceux qui aiment que
tout ce qui fe rapporte aux mathématiques foit
toujours dans la dernière jufteffe ; mais f i l’on
fait attention que quand il s’a g i t 'd e ehofes de
pratiqu e, il faut quelquefois s’écarter d’une trop
grande préeifion , de crainte qu’elle ne devienne
nuifible à ce que l’on yeut exécuter , on verra
què dans le fujet dont il eft ici queftion , on
auroit tort de faire -des revêtements qui fuffent
parfaitement en équilibre avec la pouffée des
terres j fu r - t o u t quand ils fervent pour des
chauffées , des quais , & c . puifque dans ce cas ils
doivent non-feulement foutenir les ter res , mais
encore le poids des voitures , & l’ébranlement
qu’elles peuvent caufer; c’eft p o u rqu o i, quand
on n’y fera pas de contre-forts, je youdrois qu’on
leur donnât un quart plus de force qu’il ne leur
en faudroit dans l’état d’équilibre ; je veux dire
que s’il s’agiffoit , par exemple , d’un miir de
15 p ie d s , la puiffance bf, au lieu-de valoir i ÿ
pieds 9 pouces 4 lignes, doit être de 17 pieds
2 pouces 8 lignes , ce qui donnera 3 pieds
i pouce pour l’épaiffeur dufommet B G , & 6 pieds
1 pouce pour la bafe D F.
A y an t fait fentir., dans plufieurs-endroits, combien
le. talus qu’on donnoit au parement d’un
(mur le fortifiait contre l’effort qu’il avoit à foutenir
, j’a i cru devoir rappoiter ici un profil de'
rempart affez fingulier, imaginé depuis peu par-
des gens qui n’ont p e u t - ê t r e point fait affez
d’attention fur la manière dont ie faifoit la pouf*
! fée des terres : vo ic i de quoi il eft queftion.
Pour ne point trop expoler un revêtement aux
injures des faifons, leur fentiment. eft de faire le
parement à -plom b , & de lui donner un talus du
côté dés terres , dans la penfée que s’appuyant
fur ce talus, il y en auroit une partie qui çontre-
balanceroit la pouffée de l’autre. Pour en ju g e r ,
il faut du point A , (jfg. 2 80 ) v tirer la-perpendiculaire
A E à la ligne H D , & faire B F égal à
cette perpendiculaire, afin, d’avoir le triangle A E F ,
qui renfermera toutes les terres qui agiffent. contre,
la ligne E A , que nous regarderons pour un-
moment comme une furface ÿ dans ce cas , il n’y a
point de doute que fi la ligne E A étoit le derrière
du revêtement, la pouffée ne fe fît comme à.
1 ordinaire : il s’agit donc de fçavoir , fi celles qui
font renfermées dans le triangle E A D fo u la g e n t
le revêtement, ou fi, au contraire, elles fe joignent
aux autres pour en augmenter la pouffée. Si l’o n
divife la ligne E A en autant de parties égales que
la hauteur du revêtement contient de pieds , &,
q.ue l’on faffe les trapèzes des puiffances^ comme à-
l’ordinaire , il eft confiant qu’en prolongeant toutes
les parallèles au-delà de la ligne E A , jufqu’à la-
rencontre de la face D A , toutes les puiffances contenues
depuis F jufqu’en E , fe trouveront augmentés
par les nouveaux trapèzes qui régnent depuis I
jufqu’èn A , les unes p lus , les autres moins ; il y
aura cela de particulier, que les puiffances qui auront
les plüs grands bras- de le v ie r , feront jufte-
ment celles qui auront reçu le plus d’augmentation.
O r , fi dans cette augmentation générale on
comprend encore le petit triangle E f ) I , qui fera
de conféquence , à caufe qu’il agit vers le fommet
de la muraille , il faute aux y e u x que le triangle
A E D , bien loin-d’affermir le revêtement contre
la pouflée des terres qui font derrière la ligne A E ,
ne fait que le charger beaucoup plus qu’il ne le
feroit fi le mur étoit à - plomb de ce côté-là. On'
pourroit même déterminer a vec affez de préci-
fion à quoi peut aller cette nouvelle pouffée ,'
mais ce feroit perdre du temps mal-à-propos.
O n remarquera feulement , qu’’en ne donnant
point de talus aux revêtements de fortification^ il
n’y a point de doute qu’étant battus en b rech e, la
deftruélion ne s’en faffe plutô t, par la facilité ^que
les débris auront de s’éb ou le r; d’un' autre c o t e , j
dans les pays où la maçonnerie n’eft pas^ bien
b o n n e , & où les revêtements font fujets a fur-
plomber ou à fouffler , on s appercevroit bientôt
du mauvais effet de ce fyftème , q u i, a ce que je
c ro is , n’aura pas beaucoup de partifants,
P R O B L È M E .
Trouver Vépaïffeur qu il faut donner aux revêtements
des remparts qui ont un parapet.
Nous n’avons parlé jufqu’ici que de Tépaiffeur
des murs qui foutenoient des terraffes , & non pas
de ceux qui fervent de revêtement aux remparts
des fortificationsil y a des gens qui croyent que
c’eft à-peu-près la même chofe ; mais il y a bien
de la différence ; car comme on élève toujours
fur ces fortes de remparts un parapet de terre qui
fortifie la pouffée de celles qui font déjà derrière
le revêtement, on fent bien que ces rev êtements
ci doivent avoir plus d’épaiffeur que ceux
de tèrraffé. Il eft vrai -qu’il y a un peu de difficulté
à trouver de combien le parapet augmente
cette pouffée ; mais l’on v a voir qu’on en peut
rendre le calcul auffi aifé que le précédent.
. A y an t pris K D égal à B D , (fig. 281 ) , confi-
dérez la p remière ligne comme marquant le niveau
du remp art, au-deffus duquel on a élevé la banquette
& le parapet I G E Q , foutenu par un petit
revêtement E C , auquel on donne ordinairement
4 pieds de hauteur fur 3 d’épaiffeur. Si l ’on divife
la ligne B D en autant de parties égales qu’il y a
de pieds dans la hauteur du rev êtem en t, & que
l’on tire toutes lès lignes comme S T , V X , &c.
parallèles à K B , elles formeront des trapèzes ,
comme dans la figure précédente , & fi l’on prolonge
toutes ces parallèles jufqu à la rencontre des
lignes qui renferment le parapet & la banquette,
on aura un grand nombre de nouveaux trapèzes,
dont chacun pourra être regarde comme la quantité
dont la puiffance qui lui répond eft augmentée.
Ce la p o fé , il faut confidérer d’abord qu’il y a
le long de la ligne E Q , trois trapèzes & un
triangle , dont l’aclion doit être fuppofée réunie au j
point E , M , O , N , extrémité-des bras de levier j
A E , A M , A O , A N , & comme l’effort de eha-
cura de ce s trapèzes doit être réduit à l’extrémité D
du bras de levier B D j il faut multiplier l’expreffion
de la force dont chacun eft capable , par fon bras de
levier , pour trouver chaque trapèze ; ainfi , fuppofant
que le trapèze L M , foit quadruple du petit
triangle , la' pouffée de ce petit triangle étant nommée
b , comme c i-d evant, celle du trapèze L M
fera 4b. On trouvera de même la pouffée des trois ■
autres trapèzes fuivants. Aprè s cela , il faut multiplier
chacune de ces puiffances-par le bras ;de
levier qui lui répond , & écrire les quatre p ro d u is
à part pour les’ ajouter quand il. en fera tem p s,
avec les; autres que nous allons trouver. Il faut
encore chercher le rapport du petit triangle D S T,
ayec touts les autres-trapèzes P Q , R D , Y S , &c,
qui régnent depuis Q jufqu’en 1 , au- deffus de la
ligne D K , afin de voir combien chacun contient
de fois la puiffance b , enfuite écrire la progreffioa
de toutes les puiffances qui font au - deffous de la
ligne D K , comme on a fait dans l’article 32 : on
aura b , fb , $b, y b , y b, 11 b, &c. On cherchera en-
fuite combien chaque terme doit être augmenté ;
par exemple, comme le petittriangîe D S T eft aug-
menté de” tout ie trapèze R D , on doit regarder le
trapèze P T comme la puiffance qui agit au point D^
& leTrapèze P Q agi fiant auffi autour du point D ,
le premier terme de la progreffion doit être augmenté
d’autant d’unités que la puiffance b eft contenue
de fois dans les deux trapèzes P T , & P Q .
De même le fécond terme , exprimant le trapèze
S X , doit être augmenté d’autant d’unités
que la puiffance b eft contenue de fois dans I IV ;
ainfi des autres qui doivent augmenter félon que les
trapèzes qui leur répondent dans la figure contient,
plus ou moins, la puiflance b , jufqu’à ce que Tort
foit parvenu au point I ; parce que pour-lors fi le
triangle K D B contient encore quelques puiffances
qui ne foient point augmentées dans la figure, elles
ne doivent pas l’être non plus dans la progreffion ,
& par confisquent, les termes qui leur répondent r
doivent être écrits comme à l’ordinaire.
Après qu’on aura écrit de fuite toutes les puif*
fiances qui agiffent le long de la ligne D B , & qui
exprimeront par eonféquent la pouffée des terres
du rempart & du parapet, à l’exception de celles
qui agiffent derrière la ligne E Q , il faudra les
multiplier par leur bras de levier-, comme-à l’ordinaire
, & ajouter à'la fomme de touts les produits y
les quatre que nous avons trouvés d’abord au fujee
du revêtèment E C. Alors on aura l’effet total de
toutes les- puiffances qui agiffent derrière le revêtement
E Q D B , le,iq.ueilës:' étant divifées par la:
hauteur D B , 1e quotient donnera la pouffée des-
terres, ou, fi l’on veut, toutes les puiffances réunies
à l’extrémité D du -Jbras- de levier B D ; de forte-
que s’il s’agit d’un revêtement dont la hauteur
B D foit de 23 pieds-, on trouvera que la fomme
de toutes les puiffances réunies au point D fera:
de 34-2 f f ; fuppofant 342 f = ƒ , on aura donc la
valeur de b f , qui eft la puiflance avec laquelle il
faut que le revêtement foit en. équilibre.-
Préfentementy voulant trouveri’ëpaiffeur D C /
ou BZ nous la nommerons y , Q C , a / F C , g j
la hauteur C Z , c , & la ligne de. talus Z H , d?
cela pofé , il faut- réduire la figure Q E F C ,. que-
no us confidérons comme un reélangle, à n’avoir-
qu’une même épaiffeur fur B C , avec le reélangler
B D G Z. Pour cela, il-faut divifer la fuperficie *
qui eft a g , par la ligne DG ( y ) , & ©n aura — -
■ ' ' T
pour la hauteur , dont le reélangle D Z , doit être
augmenté, pour que le petit revêtement E C f©&