l ' intérêt du.premier inftant etânti.cinq pour cent,
ou à ce que ce premier inftant eft à Tannée
entière.
Il fembléroit d'ahorü que cet intérêt compofé
& furcojnpofé devrôit beaucoup accroître les cinq
pour cent/fcependantbn trouve qu'il en réfulte à
peine .un accroiiTement lèhfible : c a r , fi le capital
eft i , le même capital , accru de Tintérêt fîmple
à cinq pour cen t, fera i-f-75 3 ou tandis
qu'augmenté de Tintérêt accumulé à chaque
inftant , il fera i , -5^^ T-ouyplasiJ exactement,
* > Tooôôo-' - -
- f P R O 'B-L E» (M -‘E r XJ X.
Un fommelier. infidèle^ k - chaque fois' qu i l va a la
cave y vole une pinte d’un tonneau- particulier qui
contient cent pintes , & la remplace par une égale
quantité d’eau. Après un certain temps , par exemple
trente jours , ori 's’appèrfoit de fa friponnerie5
on le ckajfe. JSLais'ùh-dimkride quelle' efi la quantité
de vin qu il a prife , & celle qui refie dans le tonneau
? . 1 l 3 3 7 C O 3l li
ïl eft aifé de voir qu'il n'a pas pris 30 pintes :
car , dès la fécondé fois qu'il piiife dans le tonneau
, & qu'il prend un centième de ce qu'il contient
j il y a voit déjà fine pinte d'eauq «'comme
chaque jour il fubftitue à ce qu'iTprend une pinte
d'eau, chaque jour aüffi il Yole moins' d'unè pinte
de vin. Il eft donc queftion,p'ôùr ré foudre le problème,
de déterminer dans quelle ptogreflion décroît
le vin qu’il vole à chaque fois.
Pour y parvenir, je remarqué qü'après Tex-
traétion de Ta premièrepintede -'vin'y il n'eîi rèflë
dans le tonneau que 99 , & la pinte -d-ëau qui y à
été verfée r-donc, lorfqu'on tiré Une pinte du mélange
, on ne tire en effet que lé s i^ 'd 'u n e pinte
de vin : mais il y avoit auparavant -99 pintes dé
vin : donc , apres cette extraction , il ne reliera
que 99 pintes moins , c'eft-à-dire 3 ou
98 pintes plus 753. A la troifième extraction , la
quantité de vin contenue dans la pinte tirée fera
feulement cê q u i , étant ©te de la
quantité de vin qu'il y avoit , favoir 98 733 ,
fera ~ § § § - , ou 97 pintes &
On doit préfentement remarquer que eft
le quatre de 99 , divifé par iôd'^’& qûé'
eft le cube de 99 , diviié par le quarré de ip o ,
& c . Conféquemment, apres la fécondé extraction
, Ii quantité de vin reliante fera lé quarré de
99 , divife par la première puiftançe dp 100 : après
la troifième , ce fera le cubé dé 9 9 dîvifé par lé
quarré de 160, &c. D’ou il fuit qu'après la trentième
extraction , la quantité dé -vin 'réflante-lerâ
la trentième puiftançe .-de 99 , divifgf.^î}^ la
vingt-neuvième de 100. Or 'on trou ve , parie
moyen desT logarithmes, que cette quantité eft
73 fd-, Conféquemment, la quantité dé vin prife
eft 26733 ( 1 ) ..
.P R . O B L Ê M E X X | |
I l y d trois ouvriers que j ’appelle Jacques f Jean &
Pierre. Les deux premiers' , travaillant énfemble t
ontfait un certain ouvrage en huit jours , Jacques
& Pierre n’ont pu le faire qu’en neuf jours , & les
deux derniers n en ont fait un femblable qu’en dix
. joursi II eft. queftion de déterminer combien chacun
d’eux meitroit de jours a faire le même ouvrage.
Rêponfe. Le premier ' le ' fera en 14 joiirs. J f ,
le fécond en 17 & jjf, &~le'troifième1 en 23 jours:
. 1 : : | l ; . 0 . 1
P R O B L È M E Ï X I I .
Un efpagnol doit a unfranfois 31 livres : mais Un ay
pour s’acquitter, que des piafires qui valent y livres,
& le franfois n’a que des ÛUs de 6 livres.. Comment
s ’arrangeront-ils,. c’efi-a-dire combien l ’ejpagnot
donnera-t-il au franfois de piafires , 6* combien
celui-ci lui rendra-t-U d‘écus , pour que la différence
foit égale a 31 livres , enjorte que cette dette'fait
• 'acquittée ?
Rêponfe. Les membres les plus Amples qui fatisJ
font à la queftion , font onze piaftees- & quatre
écus > car il" piaftreS font y5 livres, & les quatre
écüs font 24 livres. Conféquemment, leur différence
, dont le françoîs eft avantagé dans cette
efpèce d'échange , eft de 31 livres.
Ce problème eft> au refte., fufceptïble d'une
infinité de folutions;- car on trouve qu'on fatisfera
encore au problème avec dix-fept piaftr.es & neuf
écus de 6 livres , avec vingt-trois piafires & quatorze
écus, en augmentant toujours le nômbre de
piafires de fix , & celui des écus de cinq.
Remarqué'.
Voici la foîutîbn’-de ce problème', en-faveur
des jeunes analyftes. Je nomme x le nombre des
{ 1 ) En fai feint le .ciIÇuh à la manie e ordinaire , il
fatidroir -calculer la .trentième puiftançe de 9 9 , qui
n’ auroit pas moins de“ j9 chiffrés , &da divjfer par
l’unité fuivie de 5:8 zéro : au lieu qu'e’n opérant * par
le moyen des logarithmes , il fuffit.de multiplier le lo-
gmthhré dc'99' par^G*> ce qt)irdonne , &
ci’en retrancherle produit.du logarithme- de 100 mulci*
plié par qui eft y8@0oq.opo. . Le reftant
c f lle logaiithme de la-quantité.cherchée, qu'on couve,
dans la rab|e! des loga’ i.limes, être 73 , , à bicq.
1 peu de chofe près.
La fécondé valeur de u qui remplit la condition
réquife , eft 11 : car cinq fois 11 font y y , q u i,
diminués de l'unité , donnent y 4 , lequel nombre
divifé par è donne 9. ;.Ainfi 9 eft la fécondé valeur
de y , & l'o n trouve 17 pour.la valeur çorref-
pondante de x.
La troifième valeur de x qiii réfout la queftion,
eft 17 : ce qui donne pour les valeurs eorrefpon-
dantes dey & x , les nombres 14 & 23. Ainfi les
nombres a'écus qui réfolvent la queftion à l'infini
font 4 , 9 , 14 19 , 24 , & c . : & les nombres
correfpondàns de piafires font 1 1 , i j y 23
13 J j &c.
( O z a n a m ).
Voye{ Calcul, Nombres , Quarrés magiques
, Progressions Arithmétiques. .
Addition fingulière d’Arithmétique. :
On propofe quelquefois aux enfans qui étu-
p ent l'arithmétique , une efpèce à’addition qui
étonne,;parce qu'on .écrit d'avance la-fomme
i es nombres qu'il leur plaira de choifir au hazard,
Pourvu toutefois, qu’ils fe bornent a un certain
^ombre de chiffres, & qu'il foit permis d'en écrire
Rapidement un parëiTnombre au-deffous des leurs.
Pour plus de clarté, ffippofofis -qu’on' préfènte
à quelqu'un • quatre rangées de points avec un
rang de chiffres d© la manière fuivante î
Total. . 1 9 9f. 9 9 8.
Suppofons que cette perfonne écrive fur les
deux rang de points les chiffres qui lui viennent
dans l'id é e , par exemple, les fuivans:
3 7 1 1 0
2 9 6 0 7
Total. . . . 1 9 9 9 9 8
Auffi-tôt après, on-peut'écrire promyteme?^
au-deffous, deux autres rangées de chiffres, l
manière que la fomme de ces quatre nombiesf
trouve, préçifément le rang de chiffres qui a éî$
écrit le premier au-déffo fis des points, ce mire
dans .cét èxèniplé
3 7 1 .1..P.:.
2 9 6 6 '7 ■ ’
é 2 7 8 9
. ? o .3-9-2 .
Total- • -,• • 'L 9 ' 9 S. 9 $
Pour apprendre à faire ce petit tou r , il fuffit
d’obfervèr que lé nombre écrit d'avance'n'eft
autre chofe que l i fomme de deux rangs dë chiffrés
compofés: de. 9 , .comme pn peut le voir dans
l'exemple que voici , où on verra le même total
que .daifs ^e précédent,
,9 . 9 9 9 9
9 9 9 9 9
Tofal. . .' . 1 9 9 9 9 8
Par epnféquent tout l’art confifte z fuppofer
què celui à quiop propofe le. tou r , écrira deux
rangées de 9 , s’il lés écrit réellement, on n’ a plus
rien à faire, & 4 ’addirion eft .faite : mais, s’il ecrft
d’autres chiffres, on:en écrira de nouveaux qui fup-
pléént à -.ce 'qui manque aux premiers pour valoir
9 5 par exemple, fi le premier chiffre eft ^daiys