fait la confti'UÛion générale enfejgnée au commencement
de la Colntion , la ligne FD excède
la ligne A i , ou en foit multiple tant .de fois qu’on
voudra , avec ou fans relie. Dans ce c a s , pour
jeloudve le problème , prenez autant de fois
que vous le pourrez , la ligne AF lut FD. Pour
liroplifîer , nous luppolèrons ici que la première
n'eit contenue dans la fécondé qu’une -lois avec
le rade LD. Tirez LM parallèlement à EF ;
vous aurez le parallélogramme LM E F , que,vous
pourrez ranger en FANO : faites enfuite EG
égale à DL , & tirez GH perpendiculaire à A E s
çoppe? enfin le reâangie ABCD par les lignes
A l . , 1.F , M L , G H , dans ces cinq parties,
fçavoir, le triangle AEF ; le parallélogramme FL
M E , les trapèzes LDGM , AHG B , & le triangle
GHE , que nous défignerons refpeâivement
par a , b, c , d, t : ces cinq parties s arrangeront
en un quatre parfait ; ainfi qu’on le voit dans
le quarré A IK E , ( fig. 6 , n°. } ) formé du triangle
a , du parallélogramme i , des trapèzes e &
d , & du petit triangle e.
Il faudroit iix parties, dont deux, parallélogrammes
, comme b , fi AF étpit contenu deux
fois en FD.
On pourra , vice verset , & par une forte
dé marche rétrograde , réfoudre le problème
fuivant.
Un quarré étant donné , U couper'en '4 ', j , n î ,
6V. parties dijfcmblaBles a i t / elles , & qui puijfeiit
par leur arrangement former un rectangle.
Qu’ il s’ sgiiïe d’ abord de divifer ce quarté,
par exemple (fig. 6 , n ° . I ) AEKI , en quatre
parties fufceptibles d’ un pareil arrangement. Pour
eet e ffe t, fur le côté EK de ce quarré , prenez
EF plus grande que la moitié du côté E K , &
tirez AF , faites AO égalé à EF , tirez OM
parallèle à AF ; enfin , du point où OM rencontre
IK , tirez MN perpendiculaire à AF : les
quatre parties cherchées feront les triangles AEF ,-
OMI , & les deux ttapezes A OM N , MNFK ,
qui s’arrangeront , fi on le veut , de manière
à former le reâangie ABCD ; ce qui fera évident'
â quiconque aura compris la folutiôn du problème ,
précédent.
Si vous voulez cinq parties , prenez EF-telle
qu elle (oit contenue dans EK deux fo is , avec
un refte quelconque ; que ces parties de là ligne.
£ K foient EF , F O , & le refte OK ; tirez AF ,
& , prenant. AN , NP > égales chacune à E F ,
(fig. S ) tirez NO , PQ , parallèles à A F , dont
la dernière rencontrera le côté Kl en Q ; dè
c e point menez la perpendiculaire QR fur NO :
vous aurez deux triangles, un parallélogramme
& deux trapèzes, qui feront évidemment fufceptibles
de former un quarré long tel que A B CD ,
puifque ce font les mêmes parties dans lefquefi^
on ppuèrpit partager Cequarré,.lpng , pour en
former j parleur traïupofitionj, le quarré ÀEKl;
donc , & c 5
Divifer une ligne en moyenne & extrême raifon. >
Une ■ ligne eft divifée en moyenne 8 c extrême
raifon , lorfqùe la ligne, entière eft'à un 'des feg-i
ments dîe; fa divifiôn , comme ce Tegment 'eftau
reliant dêlaligne. Un grand nombre{dè problèmes
de géométrie fe réduffent à ceiüê divifiôn' ce
qui lui a fait donner par quelques géomètres du
leizième lïècle 3 le .nom .de fcction divine. Sans
adopter une dénomination aufli emphatique ,
voici la ■ folutiôn du piroblême. 1 -
Soit la ligne AB ( fig. 19 3 pl. $ 3 Amufemens
4 e géométrie f . à: divifer en moyenne & extrême
raifon, Faites BÇ perpendiculaire à fon extrémité
3 8 c égale à la moitié de AB 3 tirez A C ,
& prenez CD égale ' à .CB' 5 faites enfuite AE
égale au reliant AD : la ligne AB fera divifée
comme on le demande 3 .8 c on aura ce rapport f
AB eft à A E , comme A £ ;à EB,
ab (fig: 10 , n9. 1 3 ibid ) étant divifée en
moyehne’ & extrême raifon V fi on lui ajoute fou
grand iegment 3 alors'on'a une ligne' bc pareillement
divifée en moyenne & extrême raifon en
a enforte què Æceft à b a comme ba â ac'.
- Si , ba ( fig. 20. n°. 2 , ibid ) étant divifé,
comme on Ta dit 3 en c , on - fait R é g a le au
petit legment $c" 3 alors on aura 'c.a divifé de la
même manière, ç’eft-à'-diré que cafèçâ à cd comme
cd a da. '
Sur une bafe donnée 3 décrire un triangle reliait*
gle tel que les trois ’ côtés foient en proportion
continue..
;S.ur la baie AB ( fig. 12 p li y , .)• fôit.décrit
un demi-cercle 5 puis foit AB divifée en moyenne
& extrême raifon en C f élevée la perdiculaire
CD * jufqu’a fa rencontre avec le cercle
en D ; qu'on tire enfin- lesalignes. AD &DB:
le triangle ABD fera celui qu'on1» cherche ; Si
il y aura même rapport de, AB à A D , que de
AD à DB. Ce qui elfaifé-à démontrer.
Deux hommes' qui courentiégalèrfienl bien , panent
a qui arrivé fa le premier' 'die A en B 3 aPrcs
avoir été toucher le mür CD. On demande quelle
route on doit tenir pour gagner le pari.
Il eft aile -de voir qu’il faut pour cela trouve!
la polîtiop des lignes AÉ , EB , {fig. f
Amufemens de géométrie ) telles que leur fomm
foit moindre que cellès de fôutès' àutres, eommô
Âe 3 eB, (pr en déixumtxe que cette fomme-e
j* moindre polfible j lorfque l’angle AE C eft égal à
l'angle BED.
Car concevez la perpendiculaire A C menée
fiir CD , 8c prolongea enforte que CF foit égale
à A C , & tirez EF , EB ; les angles A E C , C E F ,
feront égaux. Mais AE C eft égal a BED par
U fupofition : donc les angles CEF & BED le
feront aufti : d’où il f u it.que CD étant une ligne
droite > FEB en fera aufti une. Mais BEF eft
égale à BE , E A , prifes enfemble 3 comme B*
8c eV le font à Bc & cÀ : le chemin BEA fera
donc plus court q je tout autre BcA , par la
même raifon que BF eft plus courte que les lignes
Bc, <eF.
Pour trouver donc le point E , il faudra tirer
les perpendiculaires A C , B D , à la ligne ÇD ;
enfuite divifer CD en E , de forte que C E foit à
ED comme C À à DB.
tfn point ,s un cercle & une ligne droite étant
donnés de pofition 3 décrire un cercle pajfant par
le point donné 3 & tangent au urcle & h la ligne
droite. v
Par le centre du cercle donné foit tirée la
erpendicùlaire BE ( fig. 15 , pl. y ) à la ligne
onnée, 8 c qu elle coupe Le cercle en B & F ,
foit encore tirée B A au point donné A j qu’ on
prenne enfuite B G , quatrième proportionnelle
a B A , BE , BF : par les points A & G , foit
décrit un cercle qui touche la ligne CD : il touchera
aufti le cercle donné.
La conftruétion fera la même , fi le point A
eft au dedans du cercle ; dans lequel cas il eft
évident que la ligne qui doit être touchée par
le cercle cherché 3 doit aufli entrer dans le
cercle donné : il y aura même , dans ce cas ,
deux cercles qui refondront le problème 3 comme
on le voit dans la (figure 21 pl. y ibid).
Deux cercles & une ligne droite étant donnés 3 tracer un
cercle qui Us touché tous. 1
Ce problème eft évidemment fufceptible de
plufieurs cas , car le cercle tangent à la ligne
droite peut renfermer les deux cercles 3 ou un
feul j ou les lailfer tous deux dehors ; mais ,
pour abréger, nous nous bornerons au dernier
cas, lai (Tant les autres à la fagacité de nos lecteurs
, qui n’auront pas beaucoup de peine à
les réfoudre 3 après avoir bien conçu la iolution
du dernier.
Soient donc les deux cercles , ( fig. ly ^ p l.
$ t Amufemens de géométrie ) dont les rayons font
CA. â C4 , donnés , ainfi que la ligne DE 3 de
pofition. Prenez 3 dans le cas que nous traitons
, fur le rayon C A , la portion AO égale à
Amufemens des Ssicjtces.
ca} 8 c tracez du rayon C O un nouveau cercle j
tirez aufli au-delà de DE n»e ligne de parallèle
à DE 8 c qui en foit éloignée d'une quantité
égale à ca ; tracez enfuite par le problème ci-
dçiïus un cercle qui pafife par c 3 8 c .qui touche
le cercle au rayon CO 8 c la ligne droite
de j que le centre de ce cercle foèt B ; diminuez
fon rayon de la quantifié AO cte ca : le
cercle décrit avec ce nouveau rayon fera évidemment
tangent aux cercles donnés, ainfi qu'à’ la
droite DE..
De l'infcription des polygones réguliers dans le cercle.
On lit dans plùfieurs livres de géométrie pratique,
une méthode générale pour l’infcription
des polygones réguliers au cercle, que voici. Sut
le diamètre AB du cetcle donné, {fig. 1 > pl.
Amufemens de Géométrie. ) décrivez un triangle
équilatéral, 8 c partagez ce même diamètre en
autant de parties égales que lé polygone derr/ancé
doit avoir de côtés ; enfuite, du fommet E du
triangle par l'extrémité c de la féconde dîvi-
fion, tirez la ligne E t , que vous prolongerez
jufqu’à la circonférence du cercle en D : la corde
AD fera, difent-ils, le côté cherché du polygone
à inferire.
On ne parle ici de cette prétendue méthode ,
que pour dire qu’elle eft défe&ueufe, 8 c n’ a jamais
pu être l’ouvrage que d’un ignorant en géométrie
; car il eft aifé de démontrer qu’elle eft faufle ,
même lorsqu’on l’applique à la recherche des polygones
les plus fimples, de l’o&ogone, par exemple.
En effet, pn trouve aifëment, par le calcul
trigonométrique,, que l’angle D C A , qui devroic
être de 4 5 ° , eft de 48° 14'; d’où il fuit que la
corde AD n’eft pas le côté de l’o&ogone inferit.
Il n’y a de polygones réguliers 'infcriptible«
géométriquement & fans tâtonnement, au raoyea
de la règle & du eonrpas, que le triangle , 8 c
les polygones qui en d é r iv e n td o u b la n t le nombre
des CQtés,comme l’hexagone,le dodécagone,
8 cc.
Le quarré, & les polygones qui en dérivent de
la même manière, comme i’o&ogone,de fédéca-
gone, & c.V
Le perfagone, 8 c ceux qui en dérivent, comme
le décagone, le 20-gone, 8 cc.
Le pentédécagpne 8 c fes dérivés, comme le
polygone de 30 côtés, 8 cc.
Les autres, tels que I’eptagone, Tennéagone ,
rendécagojjje, 8 cc. ne fçauroient être décrits par
le moyen feul du compas & d,e la régie , fans
tâtonnement 5 8 c tous ceux qui ont cherché à le
faire y ont échoué, eu n’ont enfanté que des para-
logifmes ridicules.
B b b b