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' b n peuriauflî déterminer dire&etïienï le.$ deux
axes : on en'trouve la méthode dans 'les'traités
des ferions coniques ; mais la nature de cet ouvrage
ne permet que d*effleurer la matière , 8 c de
renvoyer toutau plus aux fources.
. Les ppints B & C ( fig, 7 j pl. io , Amufemens de
.Géométrie ) font les' adjutoirs des deux bajjins d'un
jardin , & A eft le point qui donne entrée à une conduite
qui doit Je partager en deux pour mener l'eau
en B & C. On demande où doit être le point de partage
, pour que la fomme des trois conduites A D ,
D B 3 D C y & conféquemment la dépenfe en tuyaux,
Joie la moindrepojfible.
* C e problème /qui appartient à l*art du fontai-
<nier étant réduit en langage géométrique , fe réduit
à celui-Ci : Dans un triangle A B C , trouver le
-point duquel menant aux trois-angles autant de lignes ,
la fomme de ces lignes foit la moindre pojfible.'Or il
eft yifible qu'il peut y avoir un pareil point * &
que, fa pofitiôn étant trouvée, la dépenfe en
tuyaux fera moindre* qu’ en établiffant le point de
partage à tout autre point quelconque.
c .eft-a-dire que les diamètres font dans le rapp6f.
de io à 7 j car*, par ce moyen, l’eau fera'toujours
egalement preflee dans le premier & dans les deux
derniers. Nous Cuppofons aufli que le prix de U
toife de chaque efpèce, de ces tuyaux eft dans
le même rapport; car, dans cette forte de problème
économique, c’ eft principalement le rapport des
prix qu’il faut confidérer.
Cela é.tant dpnc ainfî fuppofé, nous trouvons
que le point de féparation des tuyaux de conduite
doit être en un point d ,' tel que le”s angles C d A
B d A , foient égaux, 8 c foient tels que , dans chacun
, fon fin us foit au finus total comme io eft à
14 , ou , plus généralement,'commele prix delà
toife du gros tuyau eft au doublé d e . celui du plus
étroit. D’après cela, il eft facile, dans notre hÿpq.
thèfe, de .déterminer cet angle. On le trouvera
de 132° 56%ou 1 3 3 ° . ■
Si donc l’ on décrit fur les côtés C A , B À , du
triangle A B C , les deux'arcs de cercle4capables
d’ un angle 06133° chacun , leur point de feétion
donnera le point d , ou la principale conduite doit,
fe partager pour mener l’eau en B Ç , en faifant
la moindre dépenfe pofiible en tuyaux.
Il feroit long de développer ici le raïfonnement
au moyen ducÿieLon réfoua ce problème , auquel
il feroit difficile d’appliquer le calcul, fans tom-.
ber dans une prolixité extrême. Il nous fuffira de
dire qu’ on démontré nue le point D cherché doit
être tel que les angles A D C , BDC , C D A , foient
égaux entr’eux , & conféquemment chacun de
12Ô°C
Pour Conftruire donc ce.problème, décrivez
fur le côté A C , comme corde, un arc de cercle 1
comme ADC , capable d’ un angle de 120°, ou
qui foitle tiers du cercle dont il fera partie /faites
la même chofe fur un autre des côtés, comme BC:
l ’interfe&ion de ces deux arcs dé cercle déterminera
le point D que l’on cherche : c’ eft à ce point
que la conduite cfoitfe partager , pour aller de-là
en B & C.
Telle feroit du moins la folution du problème,
fi les trois tuyaux AD , D C , D B , dévoient être
tous les trois du même calibre. Mais un fontainier
-intelligent fe gardera bien de faire ces trois tuyaux
égaux : il fentira que, pour la plus grande hauteur
du j e t , il convient que lës tuyaux DB , D C , réadmettent
pas erifemble une plus grande quantité ‘
d’eau que le tuyau A D ; car autrement , l’ëàü fè-
roit dans ces tuyaux comme ftagnante après être
fortie du tuyau A D , & ne recevroit pas toute
l’impreflion dont elle a befoin pour jaillir à fa plus
grande hauteur.
Voici donc encore la folution du problème ,
dans ce nouveau cas. Nous fuppoferons que le calibre
du tuyau A D , ou fa capacité, eft précifé-
ment double de celui de chacun des deux autres, |
On p eu t, en étendant le problème ci-rdeffus,
fuppofer que la conduite principale doit porter
l’eau à trois points donnés , B , C , E ( fie .9 , pl.
10y. Dans ce cas , on démontre que files quatre
tuyaux de conduite étoient égaux , le point de
partage ne' fauroit être placé plus avantageufe-
ment , au moins pour diminuer la quantité de
tuyaux , que dans l’interfèéUon même des lignes
A E , BC ; mais ce ne feroit probablement pas la
difpofîtiôn la plus avantageufe pour que l’eau jaillît
avec le plus de force ..
D’ailleurs, on peut faire ici là même obferva-
tion que fur la "première folution duproblême précédent.
Il conviendra, pour la force du j e t , que
le calibre du principal tuyau foit à peu près triple
de celui de chacun des autres. Suppofons de plus
que le prix de la toife du premier foit à celui de la
toife des autres , comme m à n } Sc enfin , pour
Amplifier le problème , dont la folution feroit au*
trement fort compliquée , nous fuppoferons que
les lignes A E , B C , fe coupent à angles droits :
cela étanrP je trouve que l’angle EFC doit être tel
que fon finus de complément foit jn y q n n -m - i1,
le finus total étant l’unité ; ou , cë qui revient au
même il faut què le finus de l’angle DGF foit
égal à la quantité ci-deffus.
, Si donc on fuppofe', par exemple, m \n comme
y à 3 , -on aura 1 expreffion ci-deffus égale à 0.7*
496 ; ce qui eft le finus d’ un angle de 45° 38'.
Faites donc l’angle DCF de 43 à 46° , 8 c vous aurez
, dans cette fuppofition , le point F ou la conduite
principale doit fe partager.
G E O
Si m étoit'à- n comme 2 à 1 , l’exprëffion ci-
deflus deviendroit égale à 0,86600 ; ce qui eft le
finus de l’angle de 6o° : c’eft pourquoi il faudroît
dans ce cas faire l’angle DCF de 60 ° , ou chacuri
des anglesDFC, D FB , de 30°.
Il eft évident qu’afia que le problème: foit fuf-
ceptible de folution , il faut’ que mScn foient tels
que l’expreflion ci-deffus ne foit ni imaginaire,
ni plus grande que l’unité. Dafps l’un & l’autre cas,
il n’y auroit aucune folution ; & cela indiqueroit
toutau plus que la divifion deyroit fe faire au point
A même, ou le plus I'oiri poffible dé là ligné BC-
Il faut aufli que cette expreffion ne foit pas égale a
zéro ; ou fi cela ârri v o it , on devroit en conclure
que la divifion doit être prife au point D . '
Paradoxe géométrique -des lignés qui s'approchent
fans cejfe l'une de Vautre 3 fans néanmoins pouvoir
jamais fe rencontrer & concourir enfemble.. .
Il n’eft aucun commençant dans la géométrie,.,
qui ne fâche que fi deux lignes droites dans un,
même plan s’ approchent l’ une de l ’autre, elles concourront
néceflairement dans un point d’interfec-
tion commune. Nous difons dans -un .même plan ,
car fi elles étoient dans des plans différens., il eft
clair qu’elles pourroient s ’approcher jufqu’à un certain
terme fans fe couper, 8 c que de-la elles s’é-
carteroient de plus en plus l’ une de l’autre. Suppofons
en effet deux plans parallèles & verticaux ,
par exemple , 8 c que dans l’un foit tracée une É-
j* gne horizontale, & dans l’autre une inclinée a
1 horizon ; il eft évident qu’elles ne feroient pas
parallèles, 8 c néanmoins qu’elles ne fauroient jamais
fe couper l’une l’autre , leur moindre éloignement
étant de néceffité''la diftance de deux
i plans. Ainfi voila, deux lignes non parallèles , 8 c
cependant qui ne concourent point. Mais ce n’eft
pas dans ce fens que nous l’çntendons.
Il y a en effet, & dans le même plan , plûfiéurs
i lignes qu’on démontre s’approcher fans celfe l’une
de l’autre , fans néanmoins pouvoir jamais fe rencontrer.
Ce ne font pas à la vérité des lignes droites
, mais une courbe combinée avec une ligne
| droite, ou deux lignes courbes enfemble. Rien
[n e“ plus familier à ceux qui font verfés dans une
géométrie un peu rèlevee : en voici quelques
: exemples. _ '
Sur une ligne droite A G indéfinie (fig. 13 , pl.
9 > Amufemens de Géométrie , ) prenez des parties
égalés’AB , BC ; CD , Scc ; & fur les-points B ,
T 3 D , &c. foient élevées des perpendiculaires
^ » Ce, ,E e3 8 cc. qui décroiffent fuivant une
ptogreffion dont aucun terme ne puifle devenir *
^ro , quoiqu’il puifle devenir aufli petit qu’on
poudra: que ces termes, par exemple, décroiffent
^ p t fetteprogreflion , 1 , f JBL i \y f , &c;
• j elt évident que la courbe, pafîant par le fommet
ties % nes décroijfantes fuivant cette progreflion,
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ne fauroit jamais rencontrer la ligne AG , quelque
prolongée qu’elle fo it , puifque jamais fa aiftançe
a cette ligne ne peut devenir zéro : elle, s’en
approchera néanmoins de plus en plus , & de manière
à en être plus près qu’ aucune quantité ,
quelque petite que ce foit. Cette courbe e f t ,
dans ce cas-ci, celle fi connue des géomètres foüs
le nom d3hyperbole , qui a la. propriété d’être renfermée
entre les branches des deux angles reèti-
. lignes oppofés par le fommet, vers lefquelles elle
. s’approche de plus en plus fans jamais les atteindre.
Si la progreflion fuivant laquelle décroiffent ces
lignes Bb, C e , f)d 3 Sec. étoit celle-ci, 1 , i , i ,
| , y Sec. la ligne paffant parles points b , c , d ,
e 3 Sec. s’approcherôit encore de plus en plus de
, la droite AG , fans jamais la rencontrer, puifque,
quelqu’éloigné que foit un terme quelconque de
cette progreflion , il ne peut jamais être égal a
zéro.
Autre, exemple. Hors de la ligne AF indéfinie ,
(fig . 1 4 ,pl. cf ) foit pris un point P , duquel foie
: tirée PA perpendiculaire à! A F , & tant d’autres
lignes que l’on voudra, PB, P C , PD , Sec. de
plus en plus inclinées, fur la prolongation desquelles.
on prendra les lignes Aa , B£, C e , & c .
toujours-égales ; il eft clair que la ligné paffant par
les points a , b , c , d , Sec. ne fauroit jamais rencontrer
la ligne A F ; cependant elle s’en approchera
de plus en plus, Se de plus près qu’aucune
quantité déterminée, puifque F/s’ incline de plus
en plus. Cette courbe eft celle qui eft connue des
géomètres fous le nom de Conchdide 3Se qu’inventa
un géomètre grec nommé Nicomede , pou*' fervir
à la folution du problème des déux moyennes
proportionnelles. •
Nous n’en donnerons pas d’autre exemple, afr*
tendu qu’ il y en a une infinité dans la géométrie
un peu relevée.
I l y avoit dans Vile de Dé les un temple confacré a la
Géométrie. ( fig. l é , pl. 9 ) // étoit élevé fur une
bafe circulaire, & furmonté d'un dôme hémifphé-
rique y percé de quatre fenêtres dans fon contour &
(tune ouverture circulaire au fommet , tellement
combinées, que le refiant de la furface hémifphé-
rique de la. voûte étoit égal a une figure rèclilignem
Quant au tambour du temple , il éteit percé d'une-
porte qui , elle-même , étoit abfolument quarrable ,
ou égale a un efpace reéliligne. On demande comments'y
étoit pris Varchitecte géomètre qui avoit
élevé ce monument.
- Tout le monde, du moins géomètre, fait que
la mefure de la furface d’ un hémifphère dépend
de la mefure du cercle, cette furface étant égalé
à celle d’ un cylindre de même bafe 8 c meme hauteur.
L’artifice de cette conftru&ion étoit donc,
i ° . d’avoir retranché du dôme, par les ouvertures