termes i 3 5 , | , 7 , d e l a progreffion des nombres
impairs.
Après cette expofîtion, voici quelques problèmes
fur les nombres polygones.
P r o b l è m e I,
nombre étant propofé , trouver s 'i l eft triangu■*
• Loire 4 quarré 3 pentagone * &c.
La manière de trouver fi un nombre eft quarré,
eft connue de tout le monde, & fert de bafe pour
reconnaître les autres nombres figurés. Cela fup-
pofé , pour déterminer fi un nombre prOpofé eft
un nombre polygone, voici la règle generale.
« Multipliez par 8 le nombre des angles du polygone
diminué de i , & par ce premier produit multipliez
l^nombre propofé, & enfin, à ce nouveau
produit ajoutez le quarré du nombre égal à celui
des angles du polygone diminué de 4} fi la fomme
eft un quarré parfait, le nombre propofé eft un
polygone de l’efpace déterminé ».
II eft aifé de voir que le nombre des angles étant
5 pour le triangle, 4 pour le.quarré, 5 dans le
pentagone, & c . on aura pour le multiplicateur du
nombre propofé, dans le cas du nombre triangula
ire , S i pour le nombre quadrangulaire , 165
pour le pentagone, 245 pour l’exagone , 52.
Pareillement le nombre des angles, diminué de
4 , étant pour le triangle — * 1 , pour le quarré ô ,
pour le pentagone 1 , pour Texagone 2 , &e. les
nombres à ajouter au produit cndeffus feront, pour
le triangle , 1 , ( car le quarré d e -* 1 eft 1 )j pour le
quarré o } pour le pentagone 1 ; pour Texagone 4 3
pour heptagone 9 , & c . : d'où dérivent les règles
fuivantes, que nous éclaircirons en même temps
par des exemples.
On demande fi 21 eft un nombre triangulaire.
Multipliez 21 par 8, au produit ajoutez 1 fia fomme
eft 16 9 , qui eft un quarré parfait: conféquem-
nænt 21 eft un nombre triangulaire.
Voulez-vous reconnoitre fi 3y eft un pentagone
?_ Multipliez 55 par.24 , le produit eft 840 >
a quoi ajoutant 1 , on a 841 qui eft un quarré :
donc on peut affûter que 35 eft un nombre pentagone,
•
P r o b l è m e II,
Vn nombre triangulaire ou figure quelconque étant
donne 3 trouver fa racine , ou le nombre de termes
de la progreJJiqji arithmétique dont i l eft la fomme.
Il faut d’abord faire ^opération indiquée dans
le problème précédent3 & après avoir trouvé la
raçino quarrée , dont la pofiibiîité indique fi le
pombts eft figuré Ou non, ajoute^ a cette rac\nç
an nombre égal h celui des angles du polygone pro\
poféj moins 4 , & diviferer cette fomme par Le double
du même nombre des angles diminué de 2 ,* le quotient
qui en proviendra fera la racine du polygone.
Le nombre à ajouter eft donc pour lé triangle
— 1 , c eft-à-dire 1 à ôter j il éft o pour le quarré,
l pour le pentagone, 2 pour l’exagone, & ç .
Quant au divifèur, il eft aifé de voir qu’il eft 2
pour le triangle, ( car le doublé de 3 diminué de
2, eft 2) ; pour le quarré c eft 4 , pour le pentagone
6 y pour l’exagone 8, &c.
Soit donc demande la racine du nombre triangulaire
36. Àçrès avoir fait l’opération développée
par le problème précédent, & avoir trouve le
produit 289, dont la racine quarrée eft 1 7 , ôtez
de ce nombre F unité, & divilez le reftant par 2 5
le quotient 8 fera la raçin.e ou le côté du nombre
triangulaire égal à 36.
On demande maintenant quelle eft la racine
du pentagone,3y. Ayant trouve,comme ch-deffus, I
la racine-29 , ajoutez-y 1 , ce qui donne 30 , & I
divifez par 6 5 le quotient y fera la racine de ce I
nombre pentagone, c’eft-à^dire qu’ il eft formé par
l’addition des y nombres 1 , 4 , 7 , 10, 13.
P r o b l è m e I I I .
La racine d'un nombre polygone étant donnée , trouver
cç noqibre^
La règle eft fort {impie*ct Prenez le quarré de 1a
racine donnée, ôtez-en le produit de cette même
racine , par le nombre égal à celui des angles diminué
de 4 j la moitié du reftant fera le polygone
cherché, ,
Donnons quelques exemples de cette règle.
Quel eft, demande-t-on, le' nombre triangulaire
dont la racine eft 12? Le quarté de 12 eft 144;
le nombre égal à celui des angles moins 4, eft— î ,
qui multipliant 12 , donne —=.12: or il faudroit,
fuivant la règle, ôter — 1 2 , ce qui eft la meme
chofe qu’ajouter-123 on aura donc iy ê , qui étant
partage par la moitié, donne 78.
Quel eft le nombre eptagone dont la racine eft,
20?. Pour le trouver, je prends le . quarré- d e 20,
qui eft 400 j je multiplie enfiiite 20. par. 3 , qui eft
le nombre des angles diminué de 4 ; j’ ai 6io., que
j’ ôte de 400 î le relie eft 340, que je divifé pat 2.}
le quotient 70 eft le nombre çheçché, ou l’epta?
gone dont la racine eft 20,
Remarquons, ic i, avant- de finir,, que,le même
nombre peut être polygone ou figuré de différentes
manières. Et d’abord tout nombre plus grand que
3, eft polygone d’un, nombre dé çôtés on ft’angles
égal à celui de fes unités,
Ainfi 3 6 eft un polygone dé 3(3 côtés , dont U
racine eft I j car les deüx premiers termes .de la
Bioereflion font î I l <Le même nombre 36 eft
ouarré, enfin ü eft triangulaire, ayant pour racine
8. - ’
Pareillement i l eft,à.la fois polygpne ,de i r
côtés; il eft aufli triangulaire il eft enfin.oéto-.
gone.
P r o b l è m e I V .
i Trouver la fomme de tant de nombres triangulaires,
: pu de. tant de nombres quarrés, oq de tant de
nombres pentagones quon voudra.
\ x)e même qu’ en ajoutant fucceflivement les
Itermes de différentes progreffions arithmétiques,
f il en eft réfulté de nouvelles progreffions de nombres
qu’on a nommés triangulaires, quarrés, pentagones
, &c. on peut aufii fommer ces dernières
f progreffions.} ce qui donne naiffance à^ des nom-
j bres figurés d’ un ordre fupérieur, qu’on appelle
[pyramidaux. On donne le nom de pyramidaux du
premier ordre, à ceux qui viennent de la progreffion
des nombres triangulaires : les pyramidaux du
I,deuxieme ordre. font ceux qui viennent dé la fom-
jmation defc nombres quarrés : ceux du troifième
ordre proviennent de la progreffion des penta-
[gpnes. On peut enfin faire la même fpéculation
fur lés nombres pyramidaux ; ce qui engendre les
\pyramido-pyramidaux. Mais le peu d utilité de ces
I nombres, qui peuvent tout au plus donner lieu à
ides recherches propres à exercer & développer
1l’efprit analytique, ne nous permet pas de nous
I étendre davantage fur ce fujèt. Nous nous borne-
Irons à donner une règle générale pour fommer
[tant dé nombres figurés qu’ on voudra.
[ Prenez le cube du nombre de termès à fommer,
& multipliez-le par le, nombre des angles du polygone
diminué de 23 ajoutez à la fomme trois fois
le quarré du même nombre de termes à fommer 3
fouftraifez enfin le produit de ce même nombre-,
par celui des angles diminué de -5 3 vous aurez
une fomme qui, étant toujours divifée par 6 , donnera
celle des termes de la progreffion.
ï . Soient les huit premiers nombres triangulaires
[ dont on demande la fomme. Le cube de 8 eft 5125
[ce qui, multiplié par le nombre des angles du po-
rlygone diminué de 2, ou par 1, donne encore 5125
ajontez-y le triple du quarré de 8 ou 192 5 enfin,
Icomme le nombre des- angles moins y donne— 2
: qui doit multiplier le côté 8 , ce qui donne — 16 ,
ajoutez à la fomme ci-deftus 704 ce nombre 16 3
Ivous aurez 72,0, q u i, divifé par.6, donnera 120
j pour la Comme des huit • premiers nombres trian-
Igulaires. f.
O n la tro u v e r a au r e fte p lu s f a c i l em e n t , en
multipliant de fuite le nombre 8 des termes demandés
par, 9 , Sc le produit par 10} ce qui donnera
également 720, qu’il faudra divifer par 6 , & l’on
aura/120, comme ci-deffus.
Dans le cas d’une fuite de quarrés, que je fup-'
pefe au nombre de -10, il n’y aura qu’ à faire le
produit du nombre de termes, fçavoir4 0 , de ce
même nombre, augmenté de l’unité ou 11 , &
enfin du double du même nombre, plus 1 , c’eft-
à-dire 21 j le produit de ces trois nombres 2510,
divifé par 6 , donne 385, qui eft la Comme des
dix premiers nombres quarrés 1 , 4 , 9 , i é , &c»
Des triangles reft;angles en nombres.
On appelle triangle te&angle en nombres à
trois nombres tels que la Comme des quarrés de
deux eft égale au quarré du troifième. Tels font j
par exemple, les trois nombres 3 , 4 , ƒ , qui
expriment le triangle reétangle le plus fimple de
tous 5 car le quarré de 3 qui eft 9 , étant ajouté
a celui de 4 'qui eft 1 6 , la fomme eft 2y qui eft
le quarré de 5. Les nombres 3 , 4 , y , expriment
donc les trois côtés d’un triangle re&angle. ;
Ces nombres au refte doivent nécefiai rement
êtfe inégaux 5 car fi deux de ces nombres étoient
égaux, ce feroient les deux côtés d’un triangle
reétangle ifofeelé : or il eft démontré que, dans
ce cas, l’hypo thénufe ne fçauroi t ê tre ex primée,
par un nombre rationel, entier ou fraétionaire,
puifqu’un pareil triangle eft la moitié d’un quarré
dont les deux côtés égaux font les côtes , &^la
bafe ou l’hypothénufe eft la diagonale : or la diai
gonale eft incommenCurable au côté.
Il eft encore nécefîaire que les trois' nombrés
qui forment le triangle foientxationaux, foit entiers,
foit fraétions 5 car fans cela il n’y auroit
aucun art à trouver tant de nombres de cette ef-
pèçe qu’on voudroit, puifqu iln y auroit qu a prendre
deux nombres quelconques, comme 2 & 6 y
dont la fomme des quarrés eft 40 , & l’hypothé-
nufe feroit ^ 4 0 5 mais ^ 4 0 ne fignifie rien de
précis, & ce n’eff qu’un ligne de l’extradion delà
racine de 40, qui eft impofiiblë.;
Après ces détails, nous allons propofer fur les
tr iangles re (Tangles en nombres, quelques-uns des
problèmes les plus curieux & les moins épineux.
P r o b l ê m e T .
Trouver ’ tant de triangles' reft angles en nombres
. qu'on voudra.
Prenez deux -nombres à yolonte, que nous
nommerons générateurs, par exemple, 1 & 25