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étolt pofable, en biffant toujours à l’alvéole la
même capacité ; & , le croiroit-on ? c’ eft celle
que ces infeétes ont adoptée , 8c exécutent avec
une allez, grande précifion.
Pour exécuter cette difpolîtion , il fa llo it, i ç .
que les deux rangs d’alvéoles qu'on fait former les
gâteaux de miel , 8c qui font adoffés les uns aux
autres, ne fuffent pas arrangés de manièie que leurs
axes fe répondiffent, mais epcore que l'axe de
l ’un s’alignât avec la jointure commune des trois
poftérieurs. Comme l’on v o i t , dans la {fig. 15 3pU
d 3 ) l’hexagone en ligne pleine répondre aux trois
hexagones en lignes ponctuées , qui reprél'entent
le plan des cellules poftérieures, c’eft ainii que les
cellules des abeilles font arrangées pour donner
lieu à la difpofition de leurs fonds communs.
i ° . Pour donner une idée de cette difpofition,
qu’on fe repréfente un prifme hexagone dont la ba-
Fe fupérieure foit l’héxagone ABCDEF {fig, 1 4 ,
pl. 6 ) 3 avec le triangle infcrit AE C ; que l’axe
GO foit prolongé en S , & que, par ce point $T&
le côté A C , on mene un plan qui abattra dans le
prifme l’angle B , en formant une face rh'omboï-
dale A SC T : tel eft un des fonds de l’alvéole j 8 c
deux autres plans, femblablement menés par S 8 c
les côtés AE , E C , forment les deux autres , en-
forte que la. fond eft terminé en une pyramide
triangulaire;
Il eft aifé devoir que, quelque foit le point S ,
comme la pyramide A C OS {même fig. 14) eft toujours
égale à ÀCB T , & ainlï des deux autres , la
capacité de l’alvéole ne variera point, quelle que
foit l’ imlinaifon du fond tournant fur A C . Mais il
n’ en eftpas ainii de la furface ; il y a une incli-
naifon telle que la furface totale du prifme 8c de
fes fonds fera plus petite que dans toute autre in-
clinaifon. Les géomètres l’ont recherchée, & ont
trouvé qu’il falloit pour cela que l’angle formé •
par ce fond avec l ’axe , fût de 54° 44' d’où refaite
le petit angle du rhombe , A T C ou A S C ,
de 70° z z '3 8c l’autre SA T ou SC T , de i o $ 9
28'. ■
Or telle eft précité ment l’inclinaifon des côtés
dti parallélogramme que forme chacun des trois
plans inclinés des fonds des cellules des abeilles j
c ’eft ce qui réfultê des dimenfions prifes far une
multitude de ces alvéoles. D’ou l’on doit conclure
que les abeilles forment les fonds de leurs cellules
de la manière la plus avantageufe pour qu’elles
aient le moins de lurface poffible, d’une manière
enfin que la géométrie moderne feule eût pu déterminer.
L e pentagone régulier , infcrit au cercle , eft
auffi la plus grande de toutes les figures à cinq
côtés qu’on peut lui infcrire ; 8c la même figure
circonicrite eft la moindre de tous les pentagones
cirçonfcriptibles, E tc.
GEO
la Vigne A B ( fig. 1 7 , pl. 6 ) efl la féparatm 4
deux y laines 3 t une A G 6 , qui ifi d‘un fable mou-
vaut , ou un cheval vigoureux peut fculcmeut fairt
une lieue par heure j Cautre ejî une belle pelofe
ou le même cheval peut faire , fans fe fa tigu er davantage
, ccte lieue en une demi-heure s lu deiÿc
lieux C & D font donnés de pofition .> c‘eft-a-dire
quon connoit tant les difiances CA , D B , ou Us
. font de la limite A B y que lapofttion & la grandeur
de AB : enfin un voyageur doit aller de D en C,
On demande quelle route il tiendra pour y mettre
le moins de tempspoffible.
Il eft peu de perfonnes q u i, jugeant de cette
queftion par les lumières ordinaires, ne penfaffent
que le chemin que doit tenir le voyageur en queftion
eft la ligne droite. Elles fe tromperoient I
néanmoins, & il eft aifé de le faire fentiri car,
en tirant la ligne droite C E D , on concevra faci- j
lement qu’il doit y avoir davantage à gagner, de
faire dans la première plaine , où l’on marche
plus difficilement, un chemin «CF un peu moindre
que CE , 8 c d’en faire au contraire dans h
fécondé, où l’on peut aller le plus v ite , un tel
que F D , plus long que D E , c’eft-à-dire que celui
qu’on auroit fait en allant dire&ement de C &D{
en forte qu on emploie réellement moins de temps
à aller de C en D par CF , F D , que yar CE, j
ED , quoique le chemin par ces dernières foit
plus court.
C ’ eft effectivement ce que démontre le calcul:
on trouve, par fon moyen, que l’on ira de C en
D dans le moins de temps pomble, quand, ayant
tiré par le point F la perpendiculaire H G à AB,
les finus des angles CFG , D FH , feront entr eux
refpeétivement en rayon inverfe des vîtefles avec
lefquelles le voyageur en queftion peut aller dans
les plaines CAB , A B D , c’eft-à-4ire , dans le cas
préfent, comme i à z . Ainii il faudra , dans le
cas particulier, que le finus de l’angle CFG, fou
la moitié de celui de l’ angle DFH.
Sur une bafe donnée, décrire une infinité de tr i art fies.,
tels que la Jomme des quarrês des côtés foit confia*'
ment la même » & égale a un quarré donne.
Soit AB (fig. I & 1 pl» 7 , amufemens de Mfâ
trie ) la bafe donnée, que vous diviferez en deux
également en C , puis des points A & B, avec
un rayon égal à la moitié de la diagonale du quarr
donné, décrivez un triangle ifdfcèle dont
met fait F. ; tirez C F , & du point C avec
rayon C F , décrivez un demi-cercle fur AB* Prc#
longé s’il en eft befain : tous les triangles avant
AB pour bafe, & leurs fommets F , ƒ * <P * dal?
la circonférence de ce demi-cercle, auront
famme des quarrés de leurs côtés égale au quarr
« • B * jM
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Tout le monde fait que, lorfque la famme des
quarrés des cotés eft égale à celui de la bafe , le
triangle eft reétangle, 8c a fon fommet dans la circonférence
du demi-cercle décrit fur cette bafe.
Ici l’on voit q u e , fi la famme des quarrés des
côtés efl plus grandè ou moindre que le quarré
de la bafe, les fammets des triangles, qui dans
le premier cas font acutangles, & dans le fécond
obtufangles, font auffi toujours dans un demi-
cercle, ayant le-même centre, mais fur un diamètre
plus grand ou moindre que la bafe du triangle,
ce qui eft une généralifation fort ingénieufe
de la propriété fi connue du triangle reâangle.
Sur- une bafe donnée , décrire une infinité de triangles
, tels que le rapport des deux côtés fur cette
bafe foit confiamment le même.
La bafe donnée étant A B , { fig. 3 3 pl. 7 , amufemens
degéooCétrie ) divifez-la en D , de manière
que AD fait à DB dans le rapport donné. Suppo-
lons-le ici de 2 à ,i. Faites en fuite comme la différence
de AD 8c DB eft à D B , ainfi AB à BE ,
laquelle BE fe prendra dans le fens A B È , fi AD
excède DB j partagez enfin DE en deux également
en C , & j du centre C , décrivez avec le
rayon GD ou CE un demi cercle far le diamètre
DE : tous les triangles, comme A F B , A/B ,
A<pB', &c. ayant la même bafe A B , & leurs
fommets F , r , <p, dans la circonférence de ce
demi-cercle, auront leurs côtés A F , FB } A / ,
FB j A<p , 0B , dans le même rapport, favoir ,
celui de AB à.DB, ou A E à E B , qui eft le même.
Mais on trouvera plus facilement le centre C
par la eonftruétion fuivante, Sur AD décrivez le
triangle équilatéral À G D , & fur DB le triangle
pareillement équilatéral DAB : par leurs fommets
G H , menez une ligne droite qui, étant prolongée
, coupera la prolongation de AB en un
point C , qui fera ce centre cherché.
Bans un cercle ,fi deux cordes AB , CD , ( fig. 4 , pl.
7. ) fe coupent h angles droits , la fomme des
quarrés de leurs fegmens CE , AE , ED , EB 3
fera toujours égale au jquarré du diamètre.
La démonftration de ce théorème, qui eft affez
curieux & élégant, eft néanmoins fort facile j
•car il eft aifé de v o ir , en tirant les lignes BD ,
A C , que leurs quarrés font enfemble égaux aux
quarrés des quatre fegmens dont il s’agit. De plus,
en prenant l’arc FC égal à A D , on aura l’ arc FD1
égal à A C , & conféquemment l ’angle FDC égal
a ACE, qui eft lu'i-meme égal à ABD : donc l’angle
FDB fera droit, puifqu’ il eft égal à EDB .&
qui enfemble font un droit : par conséquent
lés quatre's de FD , DB , font égaux
au quarré de l’hypothénufe , qui eft le diamètre :
flu .ic , 8cc.
■ âmqfemens des Sciences^
G E O
II faut remarquer qu’il en feroit de même , fi
l ’on fuppofoit le point de rencontre e des deux
cordes hors du cercle : on auroit, dis-je, également
, dans ce cas , les quatre quarrés. de ea ,
eb , ec 9 ed t égaux enfemble au quarré du diamètre
} ce que nous ne démontrons pas ic i, pour
biffer à nos leéteurs le plaifir de fe le démontre?
eux-mêmes.
Les cercles étant comme les quarrés de leurs
diamètres, il eft évident que f i , fur EB, EB , E C ,
ED , comme diamètres, on décrit quatre cercles
, ils feront égaux enfemble au cercle ACBD»
& , de plus, ces quatre cercles feront proportionnels
j car on fait que BE eft à E C , comme
ED à EA. O r , fi quatre grandeurs font en proportion
, leurs quarrés le font auffi. De plus, il
efl: évident q u e , quelle que fait 1a pofition de
ces deux cordes, leur fomme fera toujours tout
au plus égale à deux diamètres, favoir , fi elles
paflent toutes deux par le centre î & au moins
égale à un, favoir, fi l’une paffe par le centre ,
& l’ autre prefque à la diftance d’un rayon. Ou
pourra donc , au moyen du theorême ci-deffas 3
réfoudr^facilement le problème fuivant.
Trouver quatre cercles proportionnels qui 3 pris enfemble
, foient égaux a un cercle donné, & ■qui
foient tels que la fomme de leurs diamètres fois
égale a une ligne donnée.
Il eft évident, par les raifons ci-deftusi, qu’ il
‘ faut que la ligne donnée foit moindre que deux
fois le diamètre du: cercle donné , 8 c plus grande
que ce diamètre, ou , ce qui eft la même chofe,
ue 1a moitié de cette ligne foit moindre que la
iamètre du cercle donné, 8 c plus grande que
fonrayon.
Cela pofé , que 1a ligne donnée, ou la fomme
des diamètres des cercles cherchés, foit ab, dont
la moitié fait ac ; {fig. 5 , pl. 7 ) que ABDE foit
le cercle donné, dont AB , DE , font deux diamètres
perpendiculaires l’un à l’autre j prenez fur
les rayons C A , C E , prolongés, les ligries CF ,
C G , égales à ac , 8 c tirez F G , qui coupera né- •
ceffairement le quarré CH du rayon du cercle ;
fur la partie IK de cette ligne comprife dans ce
quarré , fait pris un point quelconque L , duquel
foient menées les lignes L M j , LN/-, l’une parallèle
, l’ autre perpendiculaire au diamètre AB 3
par les points M & N d’iriterfeétion avec la circonférence
du cercle , foient tirées MR., NQ ,
l’une perpendiculaire 8 c l’autre parallèle à AB ;
les cordes N S , M T , feront les deux cordes
cherchées.
' Car il eft clair que N Q 8 c MR font égales à
Lq 8 c L r 3 qui .font enfemble égales à CG ou
i-CF , ou-à là moitié àéàk: donc les'cordes entières
font enfemble égales à ab ; donc , par l.vprécé-
/ C c c c