autant.de. parties femblahles à Tare AP , que le
p e tit ce rcle eft contenu de fois dans le grand 3 ce
qui fera, toujours fufceptible- d 'exécution g éométrique
, 11 la raifon d'un cercle à l'autre eft
comme de i à 2 , ou à 3 ; ou à 4 , & c . La fup-
pofant j par exemple , ici de 1 à 3 , on aura les
trois cordes égales n o, oE 3 EN 3 8c la portion
d e lunulle en queftion fera égale à la figure reéti-
ligne A no3 E N A , puifque les trois fegments fur
no j oE , 8cc. font égaux enfemble au fegment AP.
De divers autres efpaçes circulaires absolument
quarrables.
i» Soient deux cercles concentriques 3 au trav
ers defquels foit tirée la ligne è B , tangente ou
le can te au ce rcle intérieur (Jig. 1. pi. 9. Amufe
mens de Géométrie )'. Qu e l'on . tire C A , C B , fai-
fant l'angle A C D ; qu'on falfe enfuite l'arc DF
à- l’arc D A j comme le quarré de C D à la différence
des quarrés de C B 8c C D , 8c qu'on tire
C E ,: on aura l'efpace mixtiligne A B F E égale au
triangle reétiligne A C B .
Il eft évident que ■ , pour que lap o fition de C E
fo i t déterminable au moyen de la géométrie ordin
a i r e , il faut que là raifon en tre'le s arcs A D ,
D F , fe it celle de certains nombres , comme de
l à 1 , 1 à 2 , 1 à 3 ,-8cc. ou 2 à 1 , 2 à 3 , >:8ce.,
31 f a u t , par con féqu en t, que la différence des
quarrés de rayons des deux cercles fa it au quarré
du moindre , comme 1 à 1 , ou 2 à / i o u 3 à
1 . , & c . Alors les feéteurs de différent cercles
étant en raifon compofée des quarrés .de leurs
rayons , & de leurs amplitudes , on aura le' fec4
teu r B C E égal à A C F : donc,, ôtant le feéteur
commun D C F , <Bc ajoutant de part 8c d'autre 1
l ’efpace AD B , on aura le triangle rectiligne À C B
éga l a l'efpa çe AFEB.
2. Soit un fecteur quelcoriquè, comme ACB
C A dont là cordé eft A E j j t g . 2 , p i : 9 <). Dans^in
ce rcle double , ou quadruplé p o u oftup le , pren
e z un feéteur acbga dont l’ angle fo it la moitié
ou le-quart , ou la huitième partie de l'angle
A C B ,. ce qui eft toujours. poffible avec là réglé
& lé compas 3 que ce fécond feéteur fo if difpofé
comme l'o n v o it dans .• la figure , c'eft-à-dire de
manière que l’arc a g,b porte fur la corde A B :
vous aurez l'efpa.ce hagb. BGA égal à la figure
reétiligne ECFc , moins les deux triangles A a
EABF. \ *'• \ ' #
C e la eft prèfoue évid ent 5 ca r , par la conftruc-
tio n ci-deflus, le feéteur A C B G eft égal à a c b g :
donc , ôtant ce qui leur eft commun , il y aura
éga lité entre ce qui refte d'un c ô t é , fa v o i r , Tef-
p ec e de lunulle A G B\bga3plus les deux triangles 1
A Æ , B b F , & ce qui refte dé l’autre ou la figure I
je&Higne E fF C ; donc c e n e efpeçe de lunulle eft |
égale à la figure reétiligne ci-deffuS , diminuée
des deux triangles*.
3. Si deux cercles égaux fe coupent en A & B
{jig. 3 p l 9 ) , 8c qu'on mène une ligne quelcon-
que A C , coupant l'arc intérieur en E & r ex-
terieur en'C , il eft évident'que l'arc EB fera éeal
à l’arc BC , confiquemment le fegment EB au
fegment BC : d’où il s'enfuit; que le triangle
tonné des deux arcs EB , B C , 8c de E C , fera
égal au triangle reétiligne EBC ;• enfin , que fi
AD eft tangente en A à l'arc AEB , le mixtiligne
AEBCDA fera égal au triangle reétiligne ADB.
4. Si deux cercles égaux fe touchent en C (Jig,
é , p l 9 ) & que par le point de contaét on mène
un troifième cercle égal aux premiers , Fefpace
courbe AFCEDBA fera égal au quadrilatère rectiligne
ABDC.
Car , - menez la tangente GB aux deux cercles.'
On a fait voir plus haut que l'efpace compris par
•les arcs C A , AB, & la droite CB, eft égal au triangle
reétiligne CAB. Il en eft de même de l'efpace
mixtiligne CEDB , eu égard au triangle CDB :
donc , Sec.
j . M. Lambert a fait,dans les AB a Helvetica3tom,
m m remarque ci-deffus 5. mais on peut encore
; trouver d'autres efpâces de la même forme, égaux
à des figures reétilignês, quoique bornés par des
.arcs de cercles dont deux- feulement font égaux.
. Soit À !C D le cërçle duquel doit être retranché
par deux autres arts de cercles un efpace abfolu-
ment quàrrablé’ de l'éfpece ci-deflus. Prenez fur
une droite indéfinie les parties C E , E F , FH,
égales Chacune au côté du quarré inferit dans le
cercle donné (jig. 4 , p l 9 ) , & que la troifième
FH foit divi fée en deux également en G 5 fur
l'extrémité de CE foit élevée la perpendiculaire
E l , laquelle foit coupée en I par le cercle décrie
du centre O au rayon G G 3 tirez C I & que
CK lui foit égale 5 enfin foit fur F C un demi-
cercle coupant en L la perpendiculairé KL à FGj
•qu'on tire'la ligne HL , 8c qu'on lui faffe , dans
•le cercle propofé, les cordes A B , AD , égales.
Si vous tracez avec un rayon égal à C E , les
arcs paflant par les points A & B , A & D , tournant
leur convexité vers C , vous aurez l'efpace
borné par les arcs A B , AD 8c BCD ( même jig. 4)
égal à l'efpace reétiligne formé par des cordes AB,
A D , & aes quatre cordes DM , M C ,C N , NB,
des quatre portions égales de l'arc'BCD.
De la mefure de Vellipfe ou ovale géométrique , &
de fes parties.
On démontre facilement que l’ellipfe (jig- ƒ s
pl. 9 ) , eft au reétangle de fes axes A B , DE j
comme le cercle reétangle des ftens, ou au quarré
(le fon diamètre A B , puifque chaque, a i e eft égal
au diamètre.
Ainfi le cercle étant les f î , à Peu de chofe •
firès, du quarré de fon diamècre, fe llip fe eft aufli
es t î du reétangle de fes axes. '
Il n’y a donc qu’ a multiplier lé reétangle des
axes de l’ellipfe donnée par 1 1 , 8c divifer le produit
par 14 , le quotient donnera l’aire.
Ajoutons que chaque fégment ou feéteur d’el-
lipfe, eft toujours en raifon donnée avec un fecteur
ou fegment de cercle facile à déterminer.
Etant donné , par exemple , le feéfceur elliptique
FCG ( j i g - 7 'y p l 9 ) ou le fegment FBG , fur l ’ axe
AB foit décrit un cercle du centre C » en prolongeant
G F en D & E , on aura le feéleur' elliptique
FCGB au fe&èur circulaire D C E B , comme FG à
D E , ou comme le petit a x f de l'ellipfe au gm id :• I
le fegment elliptique BFG fera au fegment’
circulaire D B E , comme FG à-DE , ou comme
le petit axe de l'ellipfe au grand axe.
Soit encore dans l'ellipfe un fegment quelconque
, comme nop. Soient abbaiffées de n &rp
deux perpendiculaires à l'axe , qui foient proion-
gées;jufqu'au ce rcle N & P , & qu’on tire N P 3
on aura le fegment nop au fegment circulaire
NOP , dans la même raifon du petit axe au grand
axe.
De-là fuiç la folution du problème fuivant.
Divifer un feBeur d'ellipfe en deux également.
S o it , par exemple , le feéteur d'ellipfe D C B , .
à divifer en d eux également par une ligne , comme
CG.
Décrivez fur le diamètre A B un ce rcle (jig. 8
pi- 9) & ayant tiré D I perpendiculaire à A B ,
prolongez-la en E , 8c tire z E C 3 ce qui vous
donnera le fe&eur circulaire E C B 3 d ivife z en
deux également l'arc EB en F , & tirez FH perpendiculaire
à l’axe A B 5 tire z enfin du centre C
au point G , où ce tte perpendiculaire coupe l’el-
lipfè , la ligne G C : on aura le feêleur elliptique
BCG égal à G C D , comme le feéteur circulaire
BCF l'éft à F C E .
C e feroit la même chofe II le feêteur é to it égal
au quart d’e llip fe , ou plus grand 5 comme aufli fi
c etoit un fe a e u r compris entre deux demi-dia-
uietres quelconques de l ’e llip fe , comme D C ,
A lors , des points D 8c d 3 abaiflfez fur l'a xe les
perpendiculaires D I , di 3 qui p ro lon g ées, - cou pent
le demi-cercle A EB en E 8c e-, divife z l'a rc
E e en deux également en ƒ , 8c menez la perpendiculaire
ƒ A à A B , qui coupe l'ellipfe en g : là
Egne C g divifera le feêleur DC^ en deux égale,-
|nent. •
Un charpentier a une pièce de bois triangulaire y 6 t
voulant en tirer le meilleur partipojfible, il cherche
le Moyen d‘y couper la plus grande table quadrangulaire
reBangle qu’il fe puijfe. Comment doit-il s y
prendre ?
Soit ABC le triangle donné, ( jig- 12., pl. 9. }
Divifez les deux côtés B A , BC , en deux également
en F 8c G , 8c tirez FG 3 puis des points F ,
G , menez les perpendiculaires à fa bafe FH ,
G J : le reélan gle FI fera le plus grand poffible
qu^on puifle inferire dans le triangle , 8c en fera
‘précifément la moitié.
Si le triangle eft rectangle en A , il y aura dçux
manières defatisfairé à la queftion , 8c Fon pourra
avoir les deux tables reétai1gles F i &: FI Çfig. 9^
p l 9 ) , qui font chacune, les plus grandes iuferip-
. tibies dans le triangle donné, 8c toutes deux égales.
Si le triangle a tous fes angles aigus, fuivane
qu'on prendra pour hafe un des côtés y on aura
une folution différente. Il y en aura conféquem-
ment trois , 8c chacune donnera une tablé plus
ou moins allongée:, 8ç toujours de même étendue
, faqs quoi la plus grande réfoudroit le pro^
blême à l'exclufion des autres, tels font les rectangles
F I , GL , KM (jig. 11 , pl-9).
Mais notre charpentier ayant confulté un géomètre
, celui-ci lui obferve. qu’il, y aura encore u à
plus grand avantagé à tailler dans fa pièce de bois
une table ovale On demande en conféquencè comment
i l faudra s!y. prendre pour y tracer la plus grande
ovale pojjiblQ.
Soit donc le nouveau triangle ABC (fig. 10 ,
pl. 9 ) la planche de bois propofée. Divifez d'abord
chaque côté en deux également en F , D , E 3 ces
trois points feront les points de contaét de l'el-»
lipfe avec les deux côtés du triangle : tirez aufli
lés lignes A E , CF , BD , qui fe coupent en G 3 c©
fera le centre de l'ellipfe.
Faites enfuite GL égale à G E , 8c tirez par O
la parallèle GO à B C , 8c par le point D la parallèle
DQ à AE 3 prenez enfin GP moyenne géomé*
trique entre GQ 8c GO : les lignes GL , G P , feront
les demi-axes de l'ellipfe , fi le triangle B A G
èftifofcèje, Or on a vu plus haut comment on peut
décrire une ellipfe dont les deux axes font donnés.
Mais fi l’angle LGP eft aigu ou obtus, on pourra
encore décrire l'ellipfe par un mouvement cor.*
tinu, car il importe peu que l'angle des deux diamètres
donnés foit droit ou non. Le moyen décrit
réuflit toujours également, avec cette ftule
différence que , lorfque cet angle n'eft pas droit ,
les portions d'ellipfe décrites dans les angles de
fuite LGP j LGR., ne font pas égales Ôe femblable$.