donné j étoient fort iné.gaqx, il faudroit énoncer
à les divifer en un même nombre de parties , car
alors elles ferôient trop inégales; & , pour une ,
pareille plantation , il faut que les carrés foient à
peu de chofe des carrés parfaits. Par exemple , fi
un côté a b étoit de yo' toifes 3 8c l'autre de 20 ,
en les divifant chacun en 10 , les divifîons d'un
côté ferôient de y 3 8c de l'autre elles ferôient de :
2 toifes î ce qui formeroit des carrés trop oblongs.
Il vaudroit mieux alors divifer le premier en 16 3 .
8c lè fécond en 6; ce qui donneroit des divifîons
prefqué quarrées j fçàvoir , de 3 toifes § en un
feus 3 8c 3 toifes f dans l'autre ; mais alors il n'y
aura aucune ligne d'arbre en diagonale , foit dans
le quarré long a b c D 3 foit dans le quadrilatère
propofé ABCD. Du refte, en divifant alors l'une
dès lignes GD; D H j en 16 parties', & l'autre
en' 6 , on aura toutes lés lignes d'arbres de la figure
irrégulière j en lignes droites.
Si l'on vouloit avoir un véritable quiconce (1) ,
il fuffiroit ^ après cette première opération , de
tirer dans chaque petit quadrilatère de la plantation
y. les deux diagonales , :8c de planter un arbre
dans ieur interfedion : tous ces nouveaux arbres
fermeront auffi des lignes droites.
P R O B L E M E IX.
Côfijlrïiciion d’une charpente qui , fans entrait ( î ) ?
na aacûfie pouffee fur les murs.fur lefquels elle
" repofe.
• J'ai vu à Paris , dans un jardin du fauxboùrg
Saint - Honoré. 3 un petit bâtiment formant une
efpèce de tente, dont les murs n'avoient que quelques
pouces d'épaifleur 3 8c qui étoit couvert d'un
toits fans entraits : le tout étant tapiffé intérieurement
3 on eût cru être dans une tenté. C'étoit
l ’appartement d'été pendant la journée,, & un lieu
vraiment délicieux.
Une des furprifes qu'occafionnoit cet endroit
à ceux qui avoient quelque connoifîance de la
conftruétion , étoit comment on s y étoit pris pour
établir fans entrait le toit de ce petit bâtiment :
car 3 quelque -léger qu'il fû t, les murs étoient fi
peu épais, que toute toiture ordinaire les au'roit
renyerfés. En voici l’artifice , qü'on nous a dit
être i’ouvrage de M.;. Ài-noiüt-, chargé de la manoeuvre
des. théâtres - des lylenus-Plaifirs. , .
~1 r)' lie véritable quinconce eft celui où, au milieu de
chaque èarré, il y a un-aibre’j: car ;le mot ,de quinconce
Vient At quincunx, qui annonce cinq arbres en cafré 5
ce qùi ue peutêtre autrement. .
■' • (z)!Ôn; appelle archifeétùre entrait\ cette poutre hq-
fiforrtraîé ' qùon pôfe fur les muts d'un bâtiment ,: 0c
fur laquelle oïl établit les piècés montantes ÔC inclinées
«pu,forment le faîte.
Sur les deux fablières A B , a b 3 (-fg. 14 , pl. 2 ,
d‘Architecture, ) foient d’abord établis & foutenus
les deux arrêtiers C D , E D , affemblés fondement
l’ un avec l'autre au fommet. D. Des angles que
font en C & F ces deux arrêtiers, partiront auffi
deux autres pièces F H , G I , fermement affem-
blées eri G & F avec les fablières, en I & H avec
les arrêtiers, 8c l'un & l'autre en K , par une
entaille double artiftement faite..Enfin, pour.plus
de fureté, qu'en M 8c L foient placées deux petites
traverfes., l'une, liant les pièces CD , FH , 8c;
l'autre les pièces F D , GI : il eft évident que ces
quatre pièces inclinées n.e fçauroient avoir aucun
mouvement pour s'écarter, 8c pouffer les murs
fur lefquels font pofées les fablières A B ; car
elles ne peuvent s’écarter qu’en rendant l'angle D
plus obtus. O r , pour cela, il faudroit que l'angle
en K le devint lui-mêmè 5 mais les affemblages
en I 8c H s'oppofent à un pareil mouvemen.t: ainfi
cette travée de charpente pofera fur Iqs fablières
A B , ab, fans les écarter en aucune manière, &;
elles n'exerceront aucunè pouffée contré les murs.
Il eft aifé de fentir combien cet artifice peut
avoir d'ufages dans l’architeéhire. H peut être précieux
toutes les: fois qu'on voudra couvrir un grand
emplacement, en diminuant l’épaiffeur des murs,
8c en évitant l’afpeét défagréable dès entraits apparents.
P r o b l è m e X.
Du toifage des voûtes en cul-de-four 3 furhaujféee
& furbaijfées.
On appelle en architeêhire, voûtes-en cùl-de*
four3 les voûtes fur un plan ordinairement circiH
laire, 8c dont la coupe par l'axe eft une ellipfe,
o u , en terme de l'art, une anfe de panier. Elle«
diffèrent d'une voûte hémifphérique, en ce que,
dans célle-ci, la hauteur du fommèt au deffus du
plan de la bafe, eft égale au rayon de cette bafe ,
au lieu que, dans les autres, cette hauteur eft,plus
grande ou moindre. Si elle eft plus grande, la
voûte fe nomme cul-de- four furhaujfé ; fi elle
eft moindre / on l’appelle cul - de- four furbaijfé,
Telles font celles qu'on voit (fig, 15 & 16 3 pl. 2 ,
d1architecture j . La première eft une Voûte en cul-
dé-four furhauffé, 8c la fécondé en cul-de-four
furbaiffë. En langagè géométrique , celle-là eft
un demi - fphéroïde allongé, ou formée par
la circonvolution d'une derhi-ellipfe autour de
fon demi-grand axe : celle-ci eft le demi-fphéroïde
formé par là circonvolution de la même demi-
ellipfe. autour de- fon demi-petit axe..
. Les livres d'architecture, donnent vulgairement
des règles fi fauffes pour le. tpifage de la furface.
de oes voûtes 3 que nous ne pcmvoias réfifte.r à
l'envie dé donner des méthodes plus, exactes.
Bullet, par.exemple, 8c Sayot, donnent tout fim-
»îement pour rè g le , de multiplier la circonférence
de la bàfe par la hauteur p comme il la
voûte à toifer étoit hémifphérique. L'erreur eft
groffière 5 8c il eft étonnant qu'ils ne. fe foient pas
apperçu q u e , fi cela étoit ex a&,-.iFy a telle
voûte eu cul-de-four Turbaiftéi qui feroit moindre,
en furface que le cercle quelle .couvre ; ce. qui
. Car fuppofons;, par exemple, une voûte d’un
pied de hauteur fous cle f, fur un cercle de 7 pieds
de diamètre j Faire de ce cercle fera, fuivant l'approximation
d'Archimède, égale à 38 pieds quar-
rés 8c demi : mais, en multipliant la circonférence
22 par un pied de hauteur, on n'auroit que 22
pieds quarres, ce qui n'eft pas même les deux tiers
de la furface de la bafe. L^entrepreneur feroit ici
Jezé de plus du tiers de ce qui doit lui revenir.
Nçus allons doiTc donner, pour toifer la furface
de ces voûtes, des règles allez exactes pour l'u-
fage commun de l'architeêlure..
I. Pour les Coûtes en cul-de-four furhaujfé.
Le rayon de la bafe 8c la hauteur d'un cul-de-
four furnauffé étant donné, faites d’abord cette
proportion y comme la hauteur eft au rayon de la
bafe , ainfi celui-ci à une quatrième proportionnelle,
dont vous prendrez le tiers, que vous ajouterez
aux deux tiers du rayon de la bafe.
‘ Cherchez enfuite la circonférence qui répon-
droit à un rayon égal à cette fomme , ,8c multipliez
cette circonférence par la hauteur : vous
aurez, à peu de chofe près, la furface du cul-
de-four furhauffé.
Exemple. Soit la hauteur de 10 pieds, 8c S pieds
le.rayon de la bafe, Faites, comme 10 eft à 8 ,
ainfi 8 à 6 7^, dont le tiers eft 2 J les deux tiers
de 8 font y f , q ui, joints avec 2 ^5, font 7 * 7 ,
ou- 7 pieds j pouces 7 lignes.
' Or la circonférence répondante à 7 p. y p 7 1 de
rayon, ou à 14 p. 11 p 2 1 de diamètre, eft 44 p.
u p i l , o u 7 * i i p ï I , ce qui doit être multiplié
par 1 toifes 4 pieds, hauteur de la voûte : on
aura au produit 12 e 2 p. ib ? 5 h
On eût trouvé par la règle de Bullet, 13c y p.
<>p 8 1, dont la différence en, excès eft une toife 8c
demie, ou près d'un 8e du total, 8c cela dans un
cas où la voûte ne s'écarte pas beaucoup du plein
cèintré ; car fi elle s'en écartoit beaucoup, l ’erreur
pourroit bien monter à un tiers.
II. Pour les Voûtes en cul-de-four furbaijfé.
Qu'on propofe. préfentement un cul-de-four
furbaiffé. La règle fera encore, à fort peu de chofe
près, la même. On cherchera, comme ci-deffus ,
uoe «oifième- proportionnelle à la hauteur 8c au
rayon de la bafe, on en ajoutera les deux tiers au.
tiers du rayon de la bafe, 8c on cherchera la cir-*
conférence répondante à un rayon égal à cette
fomme : cette circonférence étant multipliée par
la hauteur, on aura, à peu de chofe près, la fur-
face» cherchée, „
Soit un cul-de-four fürbàiffé , de 10 pieds de
rayon de bafe, 8c 8 pieds de hauteur fous clef.
Faites d'abord, cônime 8 font à 10 , ainfi 10 font
à 12 pieds 6 pouces, 'dont les deux tiers font 8 p.
4P ; le tiers de 10 pieds eft d'un autre côté 3 p. 4P,
8c la fomm'é eft 11 p. 8 p.
Or la circonférence répondante à un rayon; de
11 p. 8 p, ou à un diamètre de 23 p-4?, eft 73 p.
4P, ou 12*- 1 p. 4P : multipliez ce nombre par la
I hauteur 8 p, ou U 2 P vous aurez 16* 1 p. p l 41. »
En fuivant la règle de Bullet , on n’eût trouvé
; que 13 * y p. 9 p 8 1 y ce qui fait 2e 1 p. 11 p 81 d’ér-
. reut en défaut, ou environ y de la furface totale.
- Mais auffi il faut convenir que Bullet 8c Savot ne
fe doutent même pas de géométrie tant foit peu
au-deffus de la plus élémentaire.
Il feroit*facile de donner pour les géomètres"
■ des, règles 'plus exaètes; car on fçait que,la di-
menfion des fur faces de fpheroïdés allongés., dépend
de. la mefure d’un fegment elliptique ou
circulaire tronqué, 8c celles des fürfaces de fphé-
roïde applatis, de la mefure d'une efpace hyperbolique
; conféquemment la première peut être déterminée
au moyen d'une table de fînus 8c d'arcs
rde cercle, 8c 1 autre èn employant une table de
logarithmes.
Quant à: la méthode que nous avons donnée
ci-deffus, elle eft déduite d'après les mêmes principes
5 mais en regardant un fegment de cercle ou
d’nyperbole de médiocre étendue, comme un arc
"“de parabole, ce qui n’expofe qu'à une fort p etite.
erreur, quand ce.fegment ne fait lui-même qu'une
petite partie de l ’efpace à mefurer 5 cette cqnfidë-.
ration fournit, dans une infinité de cas, des règles
pratiques fort commodes..
Quelques archite&es diront peut-être ; que nous
importe de connoître avec precifion la furface de
ces voûtes ? Ce n’eft pas quelcpiés toifes de plus
’ou de moins qu’on doit confîderer ici. Je leur répondrai
que, par la même raifôn, ils devroieat
bannir toute efpèce de toifé exaél ; ils devroieat
s'embarraflêr peu qu Archimède ait démontré que
la furface d'un hémifphère eft égale à celle du
cylindre de même bafe 8c de même hauteur; ou,
pour m'énoncer en leurs termes, que la furface
«d'une voûte en cul-de-four en plein ceintre, eft
égale au produit de la circonférence de la bafe
par la hauteur. S'ils employent , à l'égard des
voûtes dont nous parlons, des règles auftx fautives,
c’eft qu'ils les croient exaétes, 8c qu’elles
leur ont été tracées par des gens qui ne fçavoieaç
O 2r